高中数学概念课的有效教学策略

■河北省滦州市第一中学 何艳丽

近年来，应试教育对我国教育界的发展产生了严重的限制，部分数学教师将重点放在了讲题上，却忽略了一些概念问题，导致解题过程严重脱离数学概念。在新颁发的《高中数学课程标准》中提出了以下要求：教师在教学中要加强对基本概念和思想的把握，将核心概念与思想始终贯穿在教学过程中，加深学生的印象与理解。由此可知，在数学教学中，概念教学是最重要的教学环节之一，只有深入引导学生学习概念，才能达到有效数学教学的效果。那么，怎样有效提高高中数学课程中概念教学的质量呢？这是本文研究的重点内容。

一、数学概念的定义与划分

（一）数学概念的定义

数学研究的过程是以数学概念为出发点，其研究对象是通过概念来确定的。尤其是对数学这门学科而言，概念的地位极为重要，因而学习数学概念始终是数学的一个重要研究课题。但是在数学概念上，数学界始终没有对其进行标准的定义。曹一鸣教授提出了“反映对象的本质属性”的“思维方式论”，即将数学概念是思维的载体、科目的基本成分，其自身具有深层次的抽象以及概括的特性。而刘咏梅教授根据哲学思想提出了“本质属性反映论”。数学的研究对象大都是抽象的，但是对象又能够通过概念来确定研究，从而进一步分析问题、发展思维，以此来解决诸类数学问题。概念的存在，是为了诠释研究对象内在原有的属性，即内展和外延两部分，也就是明确它的本质属性。依据概念的特点，文中定义的数学概念是对数学对象的本质反映，涵盖了数学界所有的现象。如此，数学概念的内在延展就是反映所有对象的本质属性，即以“质”为主要内容。而外延则是指全体的数学对象，即以“量”为认知范围。数学概念在人脑中以思维的形式反映，是人类对现实中的数量和空间的了解和把握。数学概念的表达是通过定义的形式进行的，经过了长期的思考和修改过程，最后形成简洁而又生动形象、定形而又定性的论述内容。数学概念是基础内容，包括公理、定理、公式和法则等，是开展数学运算和开发逻辑思维以及推理判断的前提条件和基础内容。

（二）高中数学概念的划分

1.原始的概念。原始的概念是一门学科或者课程体系最初的发起点，相当于万物之始，不能用其他的概念来定义概括。数学概念是一种科学的概念，其定义必须是准确无误且有一定的意义的，必须是有研究轨迹的，否则会引发大问题。由此可知，学者与教师不可以用表意不明的概念去定义新的概念，避免错误的结果出现。高中数学的教学过程中，有关原始概念的部分，必须依据公理化的思想明确引入概念的必要。高中数学内容涵盖了点、线、面、集合、元素等基础内容，都属于原始概念，由此可见原始概念的重要性。

2.合取与析取概念。学界依据概念反映对象的数量与相互关系，将概念划分为合取以及析取概念两种。合取概念在高中数学中的体现可以理解为结合几种属性来对概念下定义，彼此之间属于相互联合的关系。而析取概念则是在多种不同事物的属性中寻找一种或多种共有属性对概念进行定义，属于单一属性的概念。

3.关系概念。对被定义概念反映的对象联系另一对象的过程进行定义，就是关系概念。比如，教材中对单位向量的定义是“长度等于一个单位的向量”，即为一种关系概念，在学生已有的单位长度认知的基础上，更容易理解单位向量的意思。从中可以看出，高中数学的关系概念之间的依存性极高，且都不是直接定义，而是通过将与其有关系的概念的部分外部属性进行联系，以此达到概念更加明确且具体的效果。在已知的高中数学课本中，就有很多直接明确关系的数学概念，例如，立体几何章节中“点、线、面”的位置关系，其中的各种位置关系就比较清楚明了。因为其自身的抽象特点，学生并不会因为概念的定义不清而觉得学习困难。又如，在学习“直线与圆”的位置关系一章时，圆与直线的位置概念是由具体的对象来直接对其关系直接定义的，教师可以通过拆分将总体分解，将抽象的内容具体化，帮助学生开展学习。

二、高中数学有关概念教学的基本原则

（一）理论与实践相联系的原则

数学概念作为一种现代社会中系统化的学科体系，不仅有广阔的外延范围，还与我们的现实生活有着很深刻的联系。数学这门学科有着非常强的应用性，特别是高中数学，若只会背诵公式和概念却不会使用，那么在解题过程中会非常被动。所以，教师在建构高效教学的课堂模式时，必须立足于现实基础，加强与理论的联系，充分调动学生研究概念的兴趣，积极引导学生主动参与学习，及时安排好课后的巩固练习。如此可以帮助学生在实践中应用所学的概念，并能够反复引用，加强巩固，有利于学生形成自己的解题思路。学习概念属于理论知识层面，而应用概念则属于实际层面，理论与实际相结合，才能实现学生对概念真正的把握，明确概念的起源以及应用概念的方法。在坚持理论与实际相联系的原则时，教师应当摒除传统的说教教学方式，突出学生的主体地位，加强学生对概念的自由探索，以概念指导实践。

（二）结合抽象与具体的原则

在高中数学的概念中，抽象化是一个很明显的特征，给学生的数学学习增添了很大的难度。然而，事实并非如此，在结合抽象与具体的原则条件下，抽象化的内容完全可以具体化。教师在教学过程中应当引导学生将感性认识与理应思维结合到一起，相互融合、相互支撑，不可在认识数学问题过程中太过感性，导致概念错误。而其他的概念，其应用大都区别于数学概念，通常用来总结特定视觉图像下的抽象思维活动。教师应该有意识地引导学生思考，以便直观地理解这些概念。比如，在“棱柱”一课中，教师可以引导学生观察三棱镜，并描述棱柱的主要特征，以此简单地了解棱柱的概念。经过这一过程使抽象概念具象化，强化学生的视觉图像认知，对其内存的深入把握非常有利，也更便于学生使用概念。由浅层的理解，到深层的把握与生成，思维以此为起点，这也是抽象事物具体化的基础。如果缺少了这个基础，学生对概念的理解把握不到位，在使用效果上也会事倍功半。

三、有效开展高中数学概念教学的策略

（一）分析现实学情，寻找问题的切入点

高中教材里的数学概念，大都和“解决问题”密切相关，尤其是概念的形成和推理过程，更是主要应用于解决问题方面。由此可知，要想有效开展概念教学，就要立足于设计和解决问题。所以，如何在教学过程中设计问题，就成了研究的重点内容。下文对此提出，相关问题的设计要立足于学情，从实际出发，对学生的认知起点进行分析，教师以此来制定教学目标，寻找问题的正确切入点。

1.设计的问题需能引起学生的深入思考。以“偶函数”一课的教学为例，教师应该先分析学情，让学生熟悉二次函数y=x2的图像，并且判断其图像关于竖轴（也就是y轴）对称。那么设计问题时就要以此为基础，以教学目标为参考，可以设计关于y轴对称的函数包不包括，因为此函数虽为上面那个二次函数的倒数，但是无法像y=x2那样可以直观判断。这个问题有待进一步探究，所以很容易引起学生的思考。此时，教师再借助数学术语展开对轴对称的讨论，比如“关于y轴对称的函数需要满足的数量条件”等，再借助解析式来深入判断“函数有关于轴对称的特性”的准确性。

2.设计的问题难度要适中。教师设计的问题应该难度适中比较好，而且应该有比较强的吸引力，以此来引起学生的兴趣并引发学生自主思考。以“最简三角方程”概念为例，问题“探究sin x=a的解集”的难度对初学者来说比较大，为了激发学生的积极探究欲望，本文建议从解一个具体的三角方程入手，例如，求sinx =的解集，以此问题为框架，引导学生逐步思考，经过推演计算得到答案。从最终的教学效果来看，如此设计问题更适合学生，更能促进学生逐步发展，以具体可操作的问题为切入点，通过使用已有的知识来顺利解决问题。

3.设计的问题需能迁移延展。教师要明确一个事实，那就是设计问题并不是单纯地为了概念，还有通过引导学生深入研究问题的过程，来培养学生解决并获得概念的自主能力，为学生巩固数学基本知识和获取相关技能奠定基础，同时为下个阶段学习知识的类比与迁移做好铺垫。此处以“设计等差数列的概念教学”为例，教师应该引导学生把日常解决问题的经验和方法迁移到等差数列的问题研究中去，逐步探讨等差数列的概念。教师应注意问题的设计需要满足前瞻性和系统化的条件，以此保证学生以往的解题经验与方法能够对新问题进行类比迁移。教师在设计问题过程中要做好“什么”与“为什么”的小问题安排，究根结底，不断地对问题进行优化。

（二）在概念的多重表征中引导学生深入理解

1.通过解读多层次的外在表征了解概念的内涵及外延。数学概念还有一个比较重要的特征，那就是具有丰富的表征。在教学过程中，大部分经验丰富的教师都会借助大量的示例来帮助学生理解或使用概念。若诸多示例都属于同一类别的表征，那么对学生理解概念的实用性就大打折扣。以“函数”为例，如果教师将重点都放在公式法的表征上，那么学生很难理解甚至想象变量之间的动态平衡关系。若只是使用公式法和图表法，学生也很难想到函数在集合元素间的对应关系。由此可见，教师举例时不仅要注意示例的数量，更要注意不同示例在不同表征中的代表性。丰富示例的表征，有利于学生打开思路，理解概念的含义和外延。

2.辅助学生从数学符号中获取表述的个体化意义。有相关专家的研究表明，学生对概念表征的表述系统分为内外两个，联系两个系统的教学才更为有效。部分教师能做到为学生提供自主语言描述概念的示例，效果比较好，属于联系内外表征的实践教学的一种有效方式。然而，这种联系方式并没有发挥作用在概括的最终阶段，这对学生的要求过高了，有脱离现实之嫌，学生无法将内外表征的符号有意义地联系到一起。所以，教师强调内外表征联系的最好时机就是在概念初形成的过程中。此处以“函数单调性”的概念为例，教师可以为学生提供一个关于一天内气温变更的函数图像，让学生以此为根据表述一天内的高温和低温变化时间点。这个问题与学生的现实经验相符，回答时学生只需要回答时间点即可。然后，教师可以进一步引导学生思考在数学教学中有关经纬气温的上升和下降，分别具体的含义是什么？学生要回答这个问题，就必须明确自变量时间和因变量温度之间的关系。此时，教师可以进一步引导学生用数学符号表述这一关系，如此学生就会根据自己的思考以及经验，将认识到的关系用已有的符号表述出来。

3.在表征系统中寻找目标概念。数学最重要的学科特征就是严谨性。数学的严谨性要求其推理过程严密、得出的结论要有依据，还要求各部分内容联系紧密，相互依存。在数学学科中，不存在孤单的数学概念，其存在必定与诸多概念挂钩。比如，集合的概念，其与变量、函数、映射等概念紧密相关，并不是单独存在的独立个体。教师在教学过程中应该提供多种示例，包括正例反例等，让学生辨析地认识相关概念，帮助学生明确目标概念与相关概念之间各种主势、受势以及上下位的关系，以此建立清晰的关系认知。

4.重点关注符号操作性含义，使内在表征精细化。内在表征精细化是指深入加工概念的内伸和外延，搜集多方面、多类型的示例，加深对概念细节的把握，明确其中存在的限制条件，进一步全面了解概念，如此学生才会获取更深层次的内在表征。概念过程的二重性是数学概念的又一大特点。对于数学概念来说，既可以代表某个静态的数学结构，又能代表某个动态的操作过程。例如，函数的单调性概念中既给出了定义，又明确了证明的方法。在函数以及其周期性和奇偶性等定义都具有这种特性。这种精细化的过程实际上需要用概念进行实操方能完成。这就要求教师在教学过程中重视学生的自主练习，既要增强学生本身对概念的理解，又要培养学生使用概念解决问题的能力。因此，教师在进行概念教学过程中应该让学生体验初步运用概念的各种变式，而非急于解释如何应用概念解决各种复杂问题。

5.在循序渐进的学习过程中，养成概念经验系统。对概念的学习不是一步登天的过程，而理解也不是能用简单的懂不懂就可以描述的，它是阶段性的、有层次的，是一个漫长的学习认知与积累过程。教师在开展概念教学课程时，要有选择地给学生提供示例和学习机会，可以找比较经典的正反示例，如此学生才会做到不断联系概念的内外表征，并在此过程中积累与目标概念相关的经验和示例，养成一个同外部逻辑思维体系相对应的内在经验系统。

四、结语

综上所述，高中数学教师应不断地对教学中的概念教学进行探究，引导学生对数学概念进行学习并思考，带领学生体验概念的起源，以此来增强学生的自主学习意识和能力，不断强化和培养学生新的思维方式，激发学生的探究欲望，注重概念体系的培养，大幅度提升课堂的教学效率，以此保护学生自主研究数学的意识，提高课堂的效率和自由度。