一类新的正规矩阵及其性质

刘慧娟，秦建国

(郑州商学院 通识教育中心，河南 巩义 451200)

矩阵在求解线性方程组,特别是超大型线性方程组时起着很重要的作用,但人们更期待的是那种能够对角化的矩阵.众所周知,正规矩阵就是一种可以对角化的矩阵,但哪个(类)矩阵属于正规矩阵,人们心中并非有数.利用共轭转置矩阵，得到Hermite矩阵,这种矩阵在矩阵论与解析函数插值中有许多应用[1-5].受Hermite矩阵和文[1]的启发,本文找到了一类正规矩阵,并进一步研究了它的性质.

1 基本结论

引理[2]设A∈Cn×n,则A为正规矩阵当且仅当A酉相似于一个对角矩阵D,而D的对角元素为A的n个特征值λ1,λ2,…,λn.

定理1 设A∈Cn×n,A*=-A2,则A可以对角化.

证明 由于

A*A=(-A2)A=A(-A2)=AA*,

(1)

所以A为正规矩阵.由引理，A可以对角化.

定理2 设A∈Cn×n,A*=-A2,则A的谱是下述集合

的子集.

证明 设λ0=a+bi,a,b∈R是A的一个特征值，则有0≠x∈Cn,使

Ax=λ0x.

(2)

由于

即

a-bi=-(a+bi)2=(b2-a2)-2abi,

(3)

下面分情况讨论：

(1) 若b=0,得a=0,-1,这时,λ0=0,-1是A的特征值.

于是,

因此,任意此类矩阵的谱都是下述集合

(4)

的子集.

定理3 设A∈Cn×n,A*=-A2,则A的属于不同特征值的特征向量正交.

证明 由定理1，矩阵A是正规矩阵，所以，A的属于不同特征值的特征向量正交[2].

(5)

这里GiGj=δi,jGi,i,j=1,2,3,4.

便有

并且满足GiGj=δi,jGi,i,j=1,2,3,4.

定理5 设A,B∈Cn×n,且A*=-A2,B*=-B2,则

(A⊗B)*=(A⊗B)2.

(6)

证明 (A⊗B)*=A*⊗B*[2]

=[(-A2)⊗(-B2)]=[(-A)⊗(-B)](A⊗B)

=(A⊗B)2.

定理6 设A,B∈Cn×n,且A*=-A2,B*=-B2,则

(A⊕B)*=(A⊕B)2⟺(B⊗A)=0⟺A=0或B=0.

(7)

证明 (A⊕B)*=(I⊗A)*+(B⊗I)*[2]=(I⊗A*)+(B*⊗I)=

-(I⊗A2)-(B2⊗I)=-(A2⊕B2).

-(A⊕B)2=-[(I⊗A)+(B⊗I)]2=-[(I⊗A2)+2(B⊗A)+(B2⊗I)]=

-(A2⊕B2)-2[(B⊗A)]=(A⊕B)*-2(B⊗A).

(8)

所以，(A⊕B)*=(A⊕B)3⟺(B⊗A)=0⟺A=0或B=0.

定理7 设A∈Cn×n,且A*=-A2,则存在n阶酉矩阵U、V使

证明 由定理1，适合条件A*=-A2的矩阵A为正规矩阵且A*A=-A3.故存在n阶酉矩阵P使得

(9)

(10)

矩阵的奇异值分解在线性系统理论，最小二乘问题，广义逆矩阵，实验数据处理等方面具有重要应用[7].

(11)

事实上，由于σ(A)={0,-1},故存在可逆矩阵P,使

A=Pdiag[-1,…-1,0,…0]P-1.

arctanA

2 结 语

利用共轭转置矩阵和参考文献[1]的方法证明了适于A*=-A2的矩阵A可以对角化及属于A的不同特征值的特征向量正交；计算出了这种矩阵的可能特征值的具体值；给出了公式(A⊗B)*=(A⊗B)2以及(A⊕B)*=(A⊕B)3成立的充要条件，还有这种矩阵的奇异值分解式.这些都是一般矩阵所不具备的.