用教材教：跨学科融合的数学教学

摘 要】 以高中数学教材中跨学科素材为载体，以跨学科思维打破高中数学与各学科的学科壁垒，进行情境化、用数学、项目化等方式的教学组织，让数学教学真正实现学科交融和跨界，让跨学科教学真正利于发展学生数学核心素养，提升学生数学应用意识，培养学生综合实践能力.

【关键词】 教材；跨学科融合；数学教学

数学课程改革的重要目标是培养学生数学核心素养.数学核心素养具有整合性、综合性和交融性，这就需要在数学课程设计和教学组织中克服封闭性、碎片化的倾向，适时地进行跨学科教学. 数学具有方法的普适性、文化的丰富性、应用的广泛性及理性思维的独特性，使得任何学科领域都与数学有着千丝万缕的联系. 因此，数学与其他学科的教学融合既是新时代赋予的，也是由数学的本质决定的.

研究发现，2019年各版高中数学教材中存在大量的跨学科素材，它们分布在章引言、节首的问题情境、章（节）末的阅读材料以及例题、习题等栏目中. 整体而言，这些跨学科素材可分为两大类：一类是以其他学科知识为载体创设科学情境，为数学概念的建构提供认知背景；另一类是以数学知识为主导，运用数学知识和方法解决其他学科的问题，或运用数学眼光和思维去理解其他学科的奥秘. 这便为用教材进行跨学科的教学组织提供了可实施的尝试，下文具体谈谈.

1 “情境化”跨学科教学组织，发展学生数学核心素養

数学学科核心素养在学生与情境、问题的有效互动中得到提升. 情境和问题是多样化的，包括现实的、数学的、科学的. 教学组织时，可结合教学任务及蕴含的数学核心素养创设跨学科情境，引导学生对情境中的现象或结论进行数学抽象、逻辑推理与数学建模，让学生经历科学研究的完整过程，同时引导学生进行猜想、归纳、概括、演算、推理、论证等思维活动，发展逻辑推理、数学运算和数据分析等核心素养.

案例1 平面向量教学中运用物理情境进行整体的数学抽象.

苏教版教材将“斜面上的木块”这一物理模型作为贯穿整个向量单元的大情境，充分体现了“向量来源力学”的历史事实，在“向量的概念”“向量运算”“向量基本定理及坐标表示”等课时的教学组织时可以以“木块”作为统一的教学情境. 这样处理的目的是选择学生已学的典型模型，让他们在一以贯之的科学情境中经历不同对象（运算）的抽象过程，这是连贯的、统一的、完整的抽象活动，能帮助学生在概念建构中学会数学抽象，进而理解和掌握数学抽象的“基本套路”.

案例2 “对数的概念”教学中创设跨学科情境，发展数学建模素养.

人教B版必修第二册第4.2节的节首情境：

地震的里氏震级是根据最大振幅计算出来的. 2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级. 震级相差0.2，最大振幅之间具有什么关系？

化学学科中，我们用pH表示溶液的酸碱性，pH是由c（H）（即溶液中H）决定的. pH=7和pH=8的两种溶液，它们的c（H）有什么关系？

以地理中的地震震级、化学中pH值计算作为问题情境，旨在引导学生思考这些跨学科问题背后的数学本质. 在进行教学组织时，可以选其一作为问题情境，也可以两者同时呈现. 比如，以地震震级创设情境，首先，适当介绍地震学家里克特的研究经历及里氏震级，再呈现地震释放出来的能量与地震里氏震级关系的表格，让学生对表格中的数据进行分析、归纳与猜想，并借助信息技术对这些数据进行拟合，作出散点图，让学生在直观想象中“确认”自己的猜想，完成数学模型的建立，理性建构对数的概念. 在这样的教学组织中，经历了以跨学科素材为导向的数学建模过程，同时还发展了学生的直观想象、数据分析等素养，更重要的是学生经历了科学研究的一般过程（现象—问题—猜想—验证—推理—应用）. 当然，在情境化跨学科教学组织时，我们可以灵活处理教材中的跨学科素材，例如：

案例3 在“基本不等式”教学时，可将人教A版必修第一册习题2.2的第7题作为问题情境，引导学生经历科学研究的完整过程.

一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客. 你认为顾客购得的黄金是小于10g，等于10g，还是大于10g？为什么？

该情境贴近生活又富有趣味，从学习心理上容易激发学生学习的兴趣和探究的热情. 要解决这一问题，需要运用物理中的杠杆原理找到学习对象（设两次称得的黄金质量分别为ag，bg，由杠杆原理可得ab=25，问题实质是在此条件下比较a+b与10的大小）. 接下来，可先借助信息技术手段进行数值的验证，为学生创建猜想的机会，然后再引导他们进行严谨的逻辑论证. 这样的认知过程体现了知识生成与发展的完整过程，也是科学研究的一般过程，利于学生科学素养的养成.

2 “用数学”跨学科教学组织，提升学生数学应用意识新课标明确指出：“引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界（简称“三会”）”. “三会”集中凝练了数学学科育人的三个重要特征：数学眼光、数学思维和数学表达，这些行为表现的本质是数学的抽象、推理、建模、运算、直观想象、数据分析等思维品质和关键能力的体现.

2.1 用数学的眼光观察其他学科现象

胡晋宾认为数学的眼光是在现实与数学之间进行的思维切换，就是立足知识储备，关涉活动经验，借助数学抽象和直观想象，从现实案例“看到”数学内涵，从数学内涵“想到”现实案例. 由此可见，用数学的眼光观察并欣赏其他学科知识，不仅可以让学生体会到数学应用的广泛性，还着重提升了学生的理性思维水平.

案例4 用数学的眼光欣赏音乐的奥秘.

2.3 用数学的语言表达其他学科概念

数学语言分为文字语言、符号语言和图形语言，数学语言具有科学性、简洁性和通用性等特点，教学组织时可以运用适当的数学语言来表征其他学科中难以理解的概念或对象.

案例6 一道课本题中地理概念的数学理解.

（人教A版必修第一册复习参考题5第27题）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化. 如图3，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点的纬度，φ为当地的纬度值，那么这三个量满足θ=90°－|φ－δ|. 某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值）. 下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据：

请根据数据完成上面的表格（计算结果精确到0.000 1）；

（1）设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y．该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数y=Asinωx，其中A为北回归线的纬度值，约为23.439 2911，试利用表中的数据，估计ω的值（精确到10）；

（2）定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，求一个回归年对应的天数（精确到0.000 1）；

（3）利用（2）的结果，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近（精确到1）.

这段文字中涉及了纬度、正午太阳高度角等多个地理名词，这些概念本身就是地理学科中难以理解的概念，可以借助数学语言进行表征.地理中的“纬度”可以用几何图形（如图4）来理解，由图可知赤道上每点的纬度为0°，极点纬度则为90°；还可以用集合的语言来表征“纬线”，纬线是指纬度相同的点的集合，从形上看即同一纬度的点落在同一大圆上.

关于“正午太阳角”，同样可以采用几何图形加以理解. 借助图形（如图5）理解某地正午太阳高度角为θ=90°－|φ－δ|，φ表示该地的纬度，δ表示太阳直射点的纬度. 从数学运算上理解，当纬度差|φ－δ|越小，该地的正午太阳高度角越大，反之越小；从函数的视角上理解，当固定太阳直射点时，该表达式是θ关于φ的函数，它可以反映正午太阳高度的纬度分布规律；当固定某地时，则该表达式是θ关于δ的函数，它可以反映正午太阳高度的季节分布规律. 可见，运用数学语言辅助理解更容易促进学生对概念的理解与掌握.

3 “项目化”跨学科教学组织，培养学生综合实践能力

面向未来的学习应该是突出综合性、实践性和混合型的学习，学习的视角应该多元化、综合化. 因此，组织学生进行跨学科内容的项目化活动是培养学生综合实践能力的必要之举. 我们可以将教材中的素材设计成项目化活动，引导学生运用各学科知识、各种工具、资源，以小组合作探究的方式进行研究性学习.

案例7 测量建筑物高度的项目化活动.

（人教A版必修第二册54页第23题）根据实际需要，利用本节所学的知识完成一次有关测量的实习作业，并写实习报告（包括测量问题、测量工具、测得数据和计算过程及结论）.

为了活动的有序开展，指导建议学生按下面流程进行：

●成立项目小组，确定工作目标，准备测量工具；

●小组成员查询资料，进行讨论交流，寻求科学有效的测量方法，设计测量方案；

●分工合作，明确责任，比如，测量、记录数据、计算求解、撰写报告的分工等；

●撰写报告，讨论交流，展示成果.

在这一项目化活动中，所有学生充分发挥了自己的聪明才智. 如在测量工具的设计上，学生设计如图6所示的“瓶筷器”（一个盛有水的矿泉水瓶+一根筷子），其中矿泉水瓶起水平尺的作用，筷子起铅垂线的作用，这是物理学科测量方法的实际应用. 学生的测量方案也在不断地调整，如一开始的测量方案1：A同学将“瓶筷器”与眼睛处于同一水平线上，B同学帮助观察水瓶中的液面是否与瓶底平行以确定整个装置是否水平，C同学测量眼睛到装置末端的距离，记录下数据，并向前走2米（用卷尺测量），再次进行上述操作（如图7）.

而实际数据是每楼层高度2.9×6+车库高度2.47+顶部装饰物高度0.8≈20.6米.

由于误差较大，将测量方案调整成方案2：如图8，A同学蹲在地上，B同学站立前方并将一根長棒竖立在地面上，调整棒的高度直至与A同学眼中棒的手握处（视为M点）与房顶（视为N点）重合，C同学测量A同学眼睛到地面距离、A和B两位同学间的距离及手握处距离地面的高度，再测量B同学到楼底的距离（通过两者之间砖头的块数和每块砖的长度来估算）.

学生还要进行研究反思：第一次测量时由于装置简陋及场地地面不平，计算出来的结果误差较大；第二次几乎没有太大误差（在0.1米—0.2米内），但测量者到楼底的距离的操作性不强，若所测物与测量者之间有障碍物（如河流等）则难以完成.测量的过程还是略显艰辛，由于之前没有动手实践过，在使用卷尺时不易很好地固定卷尺的长度.发现问题后还可以改进装置，如图9、10所示.

很明显，在项目化活动中学生获得了更加真实的知识体验，不但有团队合作的探讨交流，还有面对困难时的共同应对，更有对测量数据的误差分析，以及综合运用各学科知识（数学、物理、劳技等）进行动手操作、分工协作、评估数据等，在项目化任务驱动中获得了高阶认知思维，这些都能促进他们对知识形成真实、立体、深刻的理解，培养了综合实践的能力.

最后，值得说明的是，由于各版教材中的跨学科素材还存在层次不明、深度不够等问题，加之一线教师对其他学科的知识理解亦不深刻，在教学组织时只停留在简单借用其他学科知识作为情境引入，甚至直接忽略跨学科素材，使得跨学科的教学组织只是流于形式．因此，数学教师在处理教材中那些不熟悉的跨学科素材时，应主动与其他学科的教师交流，探讨不同学科的区别与联系，以促进不同学科的深度融合.另外，跨学科教学组织不能太功利化，应摆脱“为高考教、为高考学”的观念，有计划、有组织地为学生提供跨学科学习的机会，组织学生以各种形式开展不同的跨学科学习活动，让学生经历合作交流、发现问题、提出问题和解决问题等过程，提升数学核心素养，促进学生深度学习．

参考文献

［1］史宁中，王尚志. 普通高中数学课程标准（2017年版）解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［2］丁益民. 2019版苏教版教材“章首语”的内涵解析［J］. 数学通报，2020（07）：54-56.

［3］方元沁. 高中跨学科教学初探——以地理中的地震震级为例［J］. 中学数学教学参考，2020（10）：56-58.

［4］黄翔，王尚志，张思明，胡凤娟. 关于高中数学课程性质与基本理念的新思考［J］. 数学教育学报，2018（02）：22-26.

［5］胡晋宾，刘洪璐. 数学眼光的内涵及培养［J］. 中学数学月刊，2021（02）：17-20.

［6］李敏. 高中跨学科能力整合提升策略研究——以地理和数学学科为例［J］. 中学地理教学参考，2018（02）：20-23.

［7］丁益民. 拓展作业：促进知识理解的实践途径［J］. 数学通讯，2022（04）：12-15.

［8］黄翔，童莉，史宁中. 谈数学课程与教学中的跨學科思维［J］. 课程·教材·教法，2021（07）：106-111.

作者简介 丁益民（1981—），男，江苏姜堰人，中学高级教师;主要研究中学数学教材教法;江苏省“333”高层次人才培养对象，江苏省教科研先进个人，曾两次获江苏省基础教育教学成果奖一等奖.