基于“四问驱动”的“空间向量基本定理”的教学实录与反思*

周德春

(江苏省射阳中学 224300)

1 基本情况

授课对象 学生来自四星级省重点高中普通班，基础良好．

教材分析 “空间向量基本定理”是《普通高中课程标准实验教科书·数学(选修2-1)》(苏教版)第3章“空间向量与立体几何”中的第1节“空间向量及其运算”的第3小节内容，是空间向量线性表示、坐标表示的基础，是向量法解决立体几何问题的重要工具，是本章的核心知识点之一．

设计思想 在学习了平面向量基本定理的基础上，基于类比思想来研究空间向量基本定理．由于从平面到空间需要空间想象能力作为支撑，对于空间想象能力薄弱的部分学生学习起来还是有困难的，故在此教学设计中采取了“合作探究”的教学方法和“四问驱动”的教学范式，突出启发式教学、突出问题引领、突出数形结合、突出类比过程，以实现对空间向量基本定理的全面理解、猜想证明和简单运用．

教学目标 (1)运用类比的方法理解空间向量基本定理及其推论，体会空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是惟一的；(2)了解空间中基底的含义，并在简单问题中能用给出的一个基底来表示已知向量，初步感悟向量是研究几何问题的工具；(3)提升数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象素养．

教学重点 空间向量基本定理的理解．

教学难点 空间向量基本定理的证明．

2 过程设计

2.1 问题情境

师：在数学中，我们常用类比法研究数学问题，比如类比集合来研究向量，类比指数函数来研究对数函数，类比椭圆来研究双曲线等．今天将类比平面向量基本定理来研究空间向量基本定理．(点题：空间向量基本定理)

2.2 探究建构

●通过类比得到的空间向量基本定理的内容是什么？如何证明这个定理？这个定理有什么用处？

说明前面标注●的问题称为“启问”．所谓启问就是依据教学目标，提出问题．

问题1如何通过类比得到空间向量基本定理的？

师：请问同学们，平面向量基本定理的内容是什么？

生：如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量p，存在惟一的有序实数对(x,y)，使p=xe1+ye2．

师：定理中有哪些关键词？

生：平面内，e1,e2不共线，任一向量，存在，惟一．

师：类比平面向量基本定理，结合关键词，请猜想出空间向量基本定理的具体内容．

生：平面内→空间中；e1,e2不共线→e1,e2,e3不共面；任一向量→任一向量，存在惟一→存在惟一，(x,y)→(x,y,z)，p=xe1+ye2→p=xe1+ye2+ze3．

(在学生回答的基础上给出下面的定理)

空间向量基本定理 如果三个向量e1,e2,e3不共面，那么对于空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x,y,z)，使p=xe1+ye2+ze3．(用着重号标出关键词)

追问 猜想出来的结论可靠吗？

生：不可靠！需要证明．

师：证明的大致思路是什么？

生：可类比平面向量基本定理，分存在性和惟一性来证明．

问题2如何证明空间向量基本定理中的存在性？

图1

生：过点P作PP1∥OC，交平面AOB于点P1．

师：这点P1具体在什么位置？

生：点P1既在平面POC内，又在平面AOB内，故点P1在平面POC和平面AOB的交线上．

追问 上述证明存在性用的是什么方法？

生：构造图形法．

提炼 证明存在性的问题，一般都用构造法．

问题3如何证明空间向量基本定理中的惟一性？

师：证明惟一性常用什么方法？

生：反证法．

师：下面用反证法试一试如何证明？

师：说得非常棒！这就证明了惟一性．至此完成了对空间向量基本定理的完整证明．

提炼 空间向量基本定理告诉我们，空间中任意一个向量只需用三个不共面的向量就能线性表示，而且这种表示是惟一的．

追问1 空间向量基本定理中的三个不共面向量可以构成空间的一个，这三个向量叫作．

追问2 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作．

追问3 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直而且都是单位向量，那么这个基底叫作，通常用表示．

(在学生回答的基础上给出下面的概念)

基底、基向量、正交基底和单位正交基底 如果三个向量e1,e2,e3不共面，那么{e1,e2,e3}称为空间的一个基底，e1,e2,e3叫基向量．如果空间一个基底的三个基向量两两垂直，那么这个基底叫正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示．

(在学生回答的基础上给出下列推论)

图2中,Dx1和Dx2用于检测X方向的热误差,Dy1和Dy2用于检测Y方向的热误差,轴向热误差通过Dz来测量。

问题4如何运用空间向量基本定理解决问题？

2.3 数学运用

图2 图3

(学生口答，教师板书)

变式 该正方体为平行六面体(图3)，其余条件不变，结果怎样？

生：结论也不变．

追问 上述图中点M是△ABC的心(从外、内、重、垂中选一个)．

分析 三个向量能否作为一个基底，关键看它们是否不共面．

生：能．

师：那又如何表示呢？

2.4 课堂小结

■本节课是如何研究空间向量基本定理的？(类比法猜想，构造法、反证法证明，运算法则法、待定系数法应用)

■空间向量基本定理、平面向量基本定理、共线向量定理有什么区别和联系？(略)

说明前面标注■的问题称为“回问”．所谓“回问”就是反思提炼，总结提升．

3 教学反思

本节课的教学设计没有采用新课程倡导的“问题情境—知识建构—知识运用—课堂小结”的模式，而是采用了原创的“四问驱动”的教学范式，主要基于以下两个原因：一是笔者目前主持的一项省规划办课题就是关于“四问驱动”范式的课题，所以采用“四问驱动”的教学范式进行授课可以丰富课题研究成果；二是倡导用“四问驱动”的范式培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力[1]，因为“四问驱动”范式就是为聚焦上述“四能”而设计的教学范式．

由于“四问驱动”教学范式有相对固定的模式，所以在教学设计时如何设计“四问”就显得非常重要．那么本节课是如何设计“四问”的呢？

第一、设计启问时要依据教学目标，并注意将启问前的问题情境设计得新颖简洁明了有趣．设计探问时要依据启问，并注意各探问之间呈并列或递进关系．设计追问时要依据探问，并注意让追问的思维量适当小一些，让思维的灵动在此能体现出来．设计回问时要把握课堂立意，把握深度学习，做到既有一般性的梳理归纳，又有画龙点睛式的拔高．而本节课在设计“四问”时，就是遵循上面的设计思路来进行的．在设计启问、追问和回问时都比较顺利，唯独在设计探问时出现了一个纠结，就是“基底概念和定理的推论”这个内容是作为探问给出来还是作为追问给出来，最终是把它们作为追问给出来．其原因是坚持探问之间的关系是并列或递进关系．

第二、根据“四问驱动”的含义，“四问驱动”中的问题应该具有驱动性，那么在进行“四问”设计时，如何体现驱动性？主要做法是：一方面让所有设计出来的问题都要有一定的思维量，而且问题之间要连贯并形成一个体系；另一方面，在授课时要留有时间让学生思考或演算，而不总是教师自问自答．

总之，运用“四问驱动”教学范式进行教学是一种新的尝试，其基本特征是：教学目标明确，教学内容结构化，课堂立意较高；制作课件时重视情境设计和四问设计，课堂实施时重视合作探究和“四能”培养等．本节课不足之处表现在学生动手依然偏少，变式训练还有待加强．