巧用数学实验 做“好玩”的数学——以“3的倍数的特征”为例

江苏省扬大教科院附属杨庙小学 王兴伟

一、问题提出

众所周知，教学“3的倍数的特征”的关键是如何从观察数的末尾数字转到观察所有数字的和，这是一个转折，更是一个跨越。课堂上，有的教师用精美的课件将复杂的特征推导过程演示得清清楚楚，有的教师非常顺利地得出3的倍数的结论，有的教师则干脆省去所有繁杂的过程，直接告诉学生3的倍数的结论。在这样的课堂上，学生学得机械、枯燥，感受不到知识本身的奇妙和魅力。如何在有效建构3的倍数的概念的同时避免先前学习的负迁移？如何引领学生从关注概念的外表转向思考内在的本质，进而指向学生的抽象、推理等核心素养？面对这些问题，笔者采用了数学实验教学的方法，既激发了学生的学习兴趣，又培养了学生良好的探究性学习习惯，提升了学生的自主创新能力。

二、课堂回放

（一）首次实验，用四颗算珠拨数，激起疑惑

师：同学们，我们都知道判断一个数是不是2、5的倍数，要看个位上的数。今天，我们来研究3的倍数，你猜想什么样的数是3的倍数？

（学生有的猜想个位上的数是3、6、9，有的猜想个位上的数是0、5、…）

师：究竟看什么呢？我们来验证一下。这是一张1～50的数表，请大家圈出是3的倍数的数，观察圈出的数，思考一下，求3的倍数的数，只看个位上的数，对吗？

（学生圈过后发现有的个位上是3、6、9的数是3的倍数，有的却不是，是3的倍数的数在个位上的数有0~9，不能只看个位上的数）

师：3的倍数到底与什么有关呢？我们一起来做一个小实验——拨珠实验。

活动要求：

（1）用4颗算珠拨3的倍数。

（2）同桌两人合作，一个人拨珠，另一个人判断它是不是3的倍数（可以用计算器）。

（3）把拨的数记在实验记录单相应的方格里。（见表1）

表1 实验记录单（一）

（生合作实验，师巡视，完成后组织汇报交流）

生1：我拨了一个211，它不是3的倍数。

生2：我拨了一个31，它也不是3的倍数。

……

（教师把学生汇报的数输入屏幕的表格中）

师：有没有人拨出的数是3的倍数？大家都没有拨出3的倍数，这说明什么问题呢？

生：用4颗算珠拨不出3的倍数。

师：是啊，刚才拨珠时，有的同学把4颗算珠分散在几个数位上，有的同学干脆放在一个数位上，可无论怎样拨，都拨不出3的倍数。

策略分析：用实验的方法不但提高了数学知识本身的趣味性，而且让学生经历了探究“3的倍数的特征”的过程。学生从观察数的末尾的特征到观察这个数的数字和，具有很大的思维跨度，很难独立通过研究发现3的倍数的特征。教师通过预设一个“陷阱”，让学生经历拨珠后发现，4颗珠子无论怎么拨都拨不出3的倍数。这时，学生在操作中自然就会产生疑惑：“为什么4颗珠子就拨不出3的倍数呢？如果用其他数量的算珠呢？”困惑越大，探究的欲望就越强烈，不待教师吩咐，学生已迫不及待地进入下一个环节的学习。

（二）第二次实验，用任意颗算珠拨数，整体感知

师：既然用4颗算珠拨不出3的倍数，那么，究竟要几颗算珠才可以拨出？下面，同桌两人商量一下，任意选择几颗算珠，一个人拨，另一个人记录并填写在实验记录单里，然后判断它是不是3的倍数。

（生同桌合作活动，教师巡视、指导，然后让学生带着实验记录单再次反馈交流）

（学生汇报时有的用了3颗算珠拨数，有的用了4颗、5颗、6颗……同时，学生发现，只要是用了3颗、6颗算珠拨的数，都是3的倍数，而用了4颗、5颗算珠拨的数，都不是3的倍数）

师：用3颗算珠能拨出哪些数呢？

生:我们拨出了30、21、12、120、102、210，它们都是3的倍数。

（师相机板书：30、21、12、120、102、210）

师：从这三个数上怎么能看出是用了3颗算珠呢？

生：“102”百位上的“1”用了1颗珠子，十位上是“0”，没用珠子，个位上是“2”，用了2颗珠子，一共用了3颗。“21”这个数也是一样的道理。

（师板书：1+0+2=3， 2+1=3）

师：有没有用3颗珠子拨出一个不是3的倍数的数呢？

生：没有。

师：我们再来看看用5颗算珠拨出的数，哪些同学是用5颗算珠拨数的呢？

生：我们用5颗珠子拨了一个320和11111，它们都不是3的倍数。

……

师：有没有人用5颗珠子拨出一个是3的倍数的数呢？

生：没有。

师：还有谁用了几颗算珠拨数？拨出的情况怎样？

生：我们用了6颗，拨出的数是51、3300、420，它们都是3的倍数。

师：同学们，谁能看出他是用了6颗算珠拨数的？

生1：“420”百位上的“4”用了4颗珠子，十位上是“2”，用了2颗珠子，个位上是“0”，没用珠子，一共用了6颗。“321”这个数也是一样的道理。

生2：我补充一点，各个数位上的珠子可以任意调换顺序，但结果都是3的倍数。

（师板书：4+2+0=6， 3+2+1=6）

策略分析：教师安排学生用任意颗算珠拨3的倍数的实验，通过拨数实验和全班学生的汇报，使学生进一步发现用4颗、5颗算珠拨数，都拨不出3的倍数，而用3颗、6颗算珠拨数，怎么拨都是3的倍数。学生对3的倍数的特征有了初步感知，在实验和探究过程中逐步建构起对“3的倍数的特征”的整体认知，而且其认知随着实验的不断深入会越来越清晰。

（三）第三次实验，用3的倍数颗算珠拨数，验证推理

师：学到这里，我想请大家再猜想一下，3的倍数的特征可能是什么？

生1：如果算珠是3的倍数，拨出来的数一定是3的倍数。

生2：如果一个数各个数位上加起来是3的倍数，这个数一定是3的倍数。

……

（师相机板书：猜想一，算珠是3的倍数；猜想二，各位数的和是3的倍数）

师：你能说说是怎么想的吗？

生：用3颗算珠，怎么放都是3的倍数，而用5颗算珠，怎么放都不是3的倍数。

师：这两种猜想一样吗？

生：两种猜想是一样的，因为各数位上的数字之和就是算珠的颗数。

师：我们怎样验证这些猜想是否正确呢？

生：我们可以再实验一次，用3的倍数颗算珠去拨数，看它们是不是3的倍数，这样就可以判断猜想是对还是错。

师：好吧，请你任意取一些珠子，但颗数必须是3的倍数，然后任意拨一些数，看看它是否是3的倍数。如果是3的倍数，就请你把拨的数和用了多少颗算珠输入屏幕上的这个表格中。（师生共同输入数据，见表2）

策略分析：教师让学生用任意3的倍数颗算珠拨一些数，并且把大家实验中的数据输入实验记录单中，这样做，就可以从特殊推理到一般，弥补了不完全归纳法的不足。学生通过积累大量的表象，激活了思维。当教师给学生大量的机会去观察、类比、归纳、推理、猜想、验证、交流的时候，学生就会被数学知识本身的魅力深深吸引。学生通过数学实验，完整经历了知识的发生、形成和发展过程，重走了人类发现数学规律的历程，并从直观具体的实验阶段走入抽象理论阶段，从而达到对数学知识的“再发现”和“再创造”境界。

（四）第四次实验，用分小棒演示，推理证明

师：刚才我们通过观察、举例，知道了3的倍数的特征。这个特征是不是巧合呢？它背后的真相到底是什么呢？要揭开这个秘密，我们可以借助一件神秘武器——小棒来完成。

（师出示123根小棒，要求分成3份，学生口答算式，师板书“123÷3”）

师：想一想，用小棒怎么表示“123”？

生：1捆一百根小棒、2捆十根小棒，再加3根小棒。

师：我们先分百位上的小棒。1捆一百根小棒怎么分成3份呢？还余几根？

生： 1捆一百根小棒，分成3份，每份33根，共计99根，还余1根。

师：再分十位上的小棒。这里有2捆十根了，我们可以一捆一捆地分。怎么分成3份呢？

生1：第一捆分成3份，每份3根，共计9根，还余1根。

生2：第二捆也一样，分成3份，每份3根，共计9根，也余1根。

师：那十位上一共就余了几根？

生：两根。

师：个位上有3根，我们先将3根小棒单独放在旁边。

（师引导学生观察课件，见下图）

师：现在要判断123是否是3的倍数，只要看哪部分？

生：余下的根数。

师：是多少？

生： 1+2+3。

师：观察一下，这里余下的根数和什么是一样的？

生：“1”和百位上的数一样，“2”和十位上的数一样，“3”就是个位上的数，余下小棒的根数和各位上的数字一样。

师：现在你知道3的倍数有什么特征了吗？为什么？

生：因为把各个数位上的小棒分掉后，余下的和各数位上的数一样，所以要判断是否是3的倍数，只要看各数位上的数字之和是否是3的倍数。

师：老师只举了一个数的例子，你们像这样用小棒再举一些例子，4人为一个小组，分工合作，用小棒来分一分，在实验记录单（见表3）上填一填，然后大家议一议，看看你有什么发现。

表3 实验记录单（三）

策略分析：教师通过让学生进行分小棒的实验，引领学生去探求3的倍数的特征的根源：为什么各数位上的数字之和是3的倍数，那这个数就是3的倍数呢？用小棒的方法来进行实验，简单直观，一目了然，巧妙的数形结合使学生对高深的原理有了初步的理解，从而解决了学生脑海中的疑惑。学生用自己的方式去“理解算理”，了解知识的“前世”“今生”和“未来”，不仅能丰富知识、开发潜能，还能在探究中学会探究，从而不断地改善自我、发展自我。

三、分析反思

（一）创设实验情境，激发探究欲望

数学实验必须要创设实验情境，学生在情境中就能形成问题意识，并产生强烈的要解决这一问题的内驱力。同时，教师可以利用情境，使学生原有的数学认知结构与新学习的内容之间发生矛盾冲突，使学生在心理上产生学习需要。在本例中，教师在课的开始先让学生回忆2、5的倍数的特征，再观察50以内3的倍数，通过观察对比，引导学生从正、反两个方面否定了3的倍数与末尾数字有关的认知。接着，教师让学生通过用“4颗珠”和“3颗珠”进行对比，使学生在认知冲突中自然产生了强烈的学习需求。这一实验情境的创设，激发了学生的求知欲望，充分调动了学生学习新知的兴趣，促使学生智力活动的潜力得到充分的启迪、发掘和发挥。

（二）引领亲身体验，调动全员参与

数学实验的最大特点就是让学生自己动手、实验、操作。教学中，学生的“探”在前，教师的“导”在后，课堂中注重的是知识获得的过程和方法，注重的是对学生探究能力的培养。在本例的实验活动中，教师为学生设置障碍，让学生和同伴小组合作闯关。教师以小组成员的身份参与其中，与学生一起实验、讨论、对话，这样的实验过程是师生互动的精神生产过程。学生通过四次实验，在实验操作中进行猜想、观察、比较、分析、概括，亲身体验了“3的倍数”的发现过程。在课堂中，每个学生都在玩学具、看特征、找发现，人人动手，个个参与。学生发现的结论无论是浅显的还是深刻的，都是其最真实的体验和感受。

（三）逐层渐进建构，建构深度思维

现代教育论认为，学生应重走人类掌握数学的历程，从直观具体的实验阶段走入抽象的理论阶段。在学生进行自主操作实验后，教师应及时将学生发现的信息整理归纳，将问题做进一步的引申、拓展，逐步将学生的动作思维提升到言语表征，从具体形象思维引导到抽象逻辑思维，从而培养学生思维的深刻性。本例中的四次实验活动，不是简单的重复，而是层层递进、环环相扣、由表及里，不断地向概念的核心“挺进”。教师像剥笋一样，在每次实验后，将影响“3的倍数的特征”这个概念的外衣层层剥去，不断激发学生向更上位的方法层面思考，步步逼近概念的核心层。最终，师生一起去发现、探寻“3的倍数的特征”的本质，使课堂教学不仅是学生学习知识的过程，还是师生共同建构概念意义的过程，实现了师生知识共享、情感交流、心灵沟通、能力创新等多层次的互动。