面齿轮传动过程中啮合角变化教学问题探究

郭 辉，张淑艳，闫耀龙

（1.西北工业大学 机电学院，陕西 西安 710072；2.西安建筑科技大学 理学院，陕西 西安 710055）

面齿轮传动是一种新型角度传动形式（如图1所示），具有对安装误差敏感性低、互换性好、传动比大等优点[1]。奥迪公司将其应用于Quattro四驱越野车中央差速器中，起到了自动分配前后轴力矩的作用；而用在直升机主减速器上也能起到降低重量、提高承载能力的作用，因此，具有重要的应用前景和价值[1-2]。“齿轮啮合原理”是高等学校中机械设计及理论和机械工程专业研究生的一门重要专业课程[3-4]，主要讲授空间齿轮展成加工原理和常用齿轮副的啮合特点等内容。将面齿轮传动引入“齿轮啮合原理”课程中，可以开拓学生的思路和视野，并提高研究分析能力。

图1 面齿轮传动形式以及齿形

如图 1(b)所示，面齿轮的齿形很特殊，主要表现在其内径端容易根切，外径端容易发生齿顶变尖。产生这一现象的原因主要是面齿轮沿齿向其齿廓压力角连续变化，内径压力角小，而外径端压力角大。因此，它不同于常见的以渐开线为齿廓曲线的齿轮，包括直齿、斜齿以及锥齿轮等[5]。笔者发现很多学生甚至某些从事齿轮研究的教师对此现象也不甚理解，因为常见的齿轮在齿宽方向不同位置处分圆（锥）压力角是相同的。另外一点，面齿轮的齿厚在齿宽方向上是变化的，但不同于锥齿轮，它并没有大端模数和小端模数的概念。为了阐明这些问题，本文基于图形法并结合空间啮合原理对其进行详细的讨论和分析。

1 面齿轮的齿面方程

为了研究面齿轮的齿形特点，首先给出面齿轮的空间齿面方程，这里以正交直齿面齿轮为例。图2为渐开线示意图，圆柱渐开线齿轮的齿面方程（齿廓I径矢）为

图2 渐开线圆柱形齿轮齿形

式中，θs和ls分别是渐开线齿面的齿廓参数和齿向参数；ηs是渐开线起始角度位置参数；rb是基圆半径。

图3为圆柱齿轮（插齿刀刀具）展成加工面齿轮的坐标系统。其中R1和R2是面齿轮的内外半径；γm是面齿轮传动的轴交角；rps是刀具齿轮的分度圆半径。插齿刀与面齿轮以恒定角速度ωs和ω2做转动，且ωs/ω2=N2/Ns。N2和Ns分别为面齿轮和插齿刀的齿数。

图3 面齿轮展成加工坐标系统

面齿轮与圆柱齿轮做单参数共轭啮合，因此，面齿轮的齿面是圆柱齿轮齿面在面齿轮自身坐标系中的包络，根据啮合原理可得面齿轮的齿面方程为

式中，M2s(ψs)是从刀具固连坐标系Ss到面齿轮固连坐标系S2的坐标转换矩阵。ψs是刀具齿轮的转角；f2s(θs,ls,ψs)=0为啮合方程[3]。

2 面齿轮传动的瞬时回转轴线

面齿轮的齿面是由渐开线圆柱齿轮（产形轮）展成加工而来[6]。如图4所示，对于相交轴面齿轮副，直线O2I是两者间的瞬时回转轴线（两构件上速度相同点的集合），可以看出线O2I上的任意点M和产形轮轴线Zs的距离是变化的，这和锥齿轮传动是类似的。然而由于渐开线齿面的法线始终与齿轮的基圆柱相切，并且齿面瞬时啮合点的公法线必须经过瞬时回转轴线O2I，所以齿面上不同齿宽位置处的啮合角是不同的，而且面齿轮齿面上半径越大的位置啮合角越大。

图4 面齿轮传动的瞬时回转轴及啮合角

瞬时回转轴线O2I和产形轮轴线Zs间的夹角可以由式（3）确定：

对于任意截面Γ，两构件的瞬时回转中心为点M，根据齿廓啮合定理中的威利斯定律[3]，齿廓公法线需通过M点。同时渐开线的法线始终切于基圆，其啮合角为αQ。

啮合点啮合角的余弦值为

式中，rbs为刀具齿轮的基圆半径；rps为刀具齿轮的分度圆半径；rms为啮合节点M与刀具齿轮轴线Zs的距离；RM为截面Γ处面齿轮的半径。

由式（4）可以看出，随着rms的增大，αQ将增大。另一方面面齿轮的轮齿齿顶分布在一个平面上（当轴交角为90°时），在截面I或者II上齿面一点的速度近似是水平方向（平行于圆柱齿轮的端面），就像齿条一样，因此其齿形接近为压力角等于αQ的齿条齿形。关于这一点，当面齿轮齿数越大越精确。这样就解释了面齿轮轮齿上不同截面处的齿形压力角均不同的原因。

实际上面齿轮的齿形和渐开线圆柱齿轮的齿形有类似特点。渐开线齿轮的齿廓压力角从齿根向齿顶逐渐增大，其线速度逐渐增大，而法线始终切于基圆；面齿轮从内径到外径处线速度逐渐增加，压力角也在逐渐增大。图5给出了两个截面中面齿轮的齿形，其中截面I是面齿轮分度圆截面位置，截面II是最大外径处。从图5来看，可以清楚地看出两个截面上面齿轮齿形角的不同以及其成因。

图5 不同半径截面处的面齿轮齿形特点

3 压力角计算算例

本文所设计的面齿轮及其刀具基本参数如表1所示。

表1 面齿轮副设计参数

由式（4）计算，面齿轮齿廓压力角在半径为160 mm、170 mm和190 mm处分别为13.02°、23.51°和34.87°。因此，可以看出，压力角在30 mm的齿宽上改变了21.85°，变化非常显著。而齿形角很大时齿顶自然相交，齿形角很小时也就容易发生根切，如图1(b)所示。对比锥齿轮传动（例如直齿锥齿轮），从理论上讲锥齿轮的齿面是一平面发生线绕基圆锥面滚动而形成的，因此，在齿宽不同位置处基圆半径不同（基圆锥），也就保证了分锥面上不同齿宽位置处齿形角是相同的。而与面齿轮相啮合的齿轮是圆柱齿轮，没有基圆锥，只有基圆柱，这是两者不同的根本原因。

4 总结

本文通过啮合原理中的威利斯定理推导了面齿轮传动中不同位置处的啮合角表达式，进而解释了齿面齿形角沿齿向逐渐变化的规律特点。面齿轮的齿面可以近似看作是不同压力角的齿条齿形的空间组合，当面齿轮齿数越大近似精度越高。本文的研究和讨论给机械设计及理论的研究生和本科生清楚地展示了面齿轮的齿形特点的成因，可使知识的掌握更加充分，而理解更加方便。