代数式——数学认识上的一次飞跃

文／王梦婷

在小学阶段，我们的学习对象是数，具体包括认识不同形式的数、进行数的运算、用“数的运算”解决一些实际问题等。随着社会的发展，人们发现只有“数”还不够，用字母表示数会起到更大的作用，于是产生了代数式这样更具生命力的数学对象。进入初中以后，我们的学习对象会逐渐从数过渡到式，即代数式，初中数学将在代数式的基础上展开，比如下一章的“一元一次方程”。代数式的出现具有重要的意义，从数到式，帮助我们实现了问题研究的具体化到抽象化、特殊化到一般化。

一、从数到代数式

从数到代数式的桥梁是用字母表示数。用字母表示数可以使问题中的数量关系或者变化规律表示得更简明，更具有一般性。

比如，如果用字母a表示月历上的一个数，那么a+7通常表示的就是位于它下方的那个数，即下方的数总比上方的数大7，这样可以更加一般地揭示月历上某些数之间的关系，这里的a、a+7就是代数式。

再比如，一辆汽车以60km/h的速度在公路上行驶，那么我们知道汽车1h后行驶了60km，2h后行驶了120km，3h后行驶了180km……这样的信息是列不完的，是否有更好的表达呢？假设汽车行驶了th，那么它行驶的路程是60tkm，这里的代数式t和60t便能包含所有的信息。

又如，一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，那么这个两位数是10b+a。代数式10b+a揭示了任意一个两位数的个位数字和十位数字之间的关系。

代数式是数学符号组成的语言，它比数更富有表现力。事实上，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量关系，如10b+a还可以表示：苹果每千克a元，橘子每千克b元，买1千克苹果、10千克橘子应付的总价钱，这也体现出代数式的一般性。

二、从代数式到数

根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫作代数式的值。

比如，当a=1，b=2时，10b+a=21；当a=1，b=-2时，10b+a=-19。通常情况下，用不同的数值代替字母，会得到不同的值，它随字母所取值的变化而变化，这又一次体现了代数式的一般性。实际上，数是“死”的，式是“活”的。如图1，在“搭小鱼”的活动中，搭1条“小鱼”需用8根火柴棒，搭2条“小鱼”需用8+6根火柴棒，搭3条“小鱼”需用8+6×2根火柴棒……搭n条“小鱼”需用8+6（n-1）根火柴棒，这里的字母n是一般形式的数，前面的数都是特定状态的字母。

图1

三、数能算，代数式也能算

代数式中的字母表示的是数，数能运算，那么代数式也能运算。数如何运算，代数式也如何运算，即“数式通性”。本章主要研究整式的加减运算，合并同类项和去括号是整式加减的基础。

事实上，生活中随处都有合并同类项。例如，3个苹果和4个苹果“合并”就得7个苹果，而3个苹果不能和4个橘子“合并”；数一堆钱时，通常把钱币10元、5元、1元……分别放在一起“合并”计算。数学中，像7a和3a、-9x2y3和5x2y3这样字母部分完全相同的项，就是同类项，我们只需将它们的系数相加，字母部分保持不变，即可合并同类项。比如：7a+3a=（7+3）a=10a，运算的依据是乘法的分配律，实际上这是类比数的运算法则和运算律得到的。在数的运算中，7×99+3×99=（7+3）×99=10×99=990，这里只不过将数字99写成了字母a，但其中的算理是相同的。由此可见，代数式在进行运算和推理时具有一般性。

实际上，整式的加减运算就是在合并同类项，当式子带括号而变得复杂时，我们仍然依据乘法的分配律去括号。值得一提的是，去括号时，若括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要改变。例如，我们可以把-（2a-4b）看成（-1）×2a+（-1）×（-4b）=-2a+4b，从“代数和”的角度来理解为何需要变号。

虽然“数式通性”，但二者在运算上也略有不同。对数进行运算时，有括号先算括号里的，而进行整式的加减运算时，如果有括号，先去括号，再合并同类项。但是，如果式子结构比较特殊，也可以后去括号。比如：计算7（x-2y）-3（x-2y）+x，把括号里的x-2y看作一个整体，可以先合并为4（x-2y）+x，再去括号，这样就可以降低去括号带来的错误率。实际上，这里的x-2y也完全可以看作a。当我们具备了这种把式子看成整体的眼光，整式的加减运算便会变得非常容易。

对整式加减运算的研究为我们研究后续的代数式运算积累了一个经验，即通过类比数的运算法则和运算律，研究式的运算法则和运算律，因为式的本质即为数。