一类半线性分数阶反应扩散方程解的性质

彭红玲, 樊明书

(西南交通大学 数学学院, 四川 成都 610031)

1 简介

主要研究如下一类半线性分数阶反应扩散方程

(1)

分数阶Laplacian算子的定义有多种,常用的有如下3种定义.

定义 1.2[2-4]假设g:RN→R的速降函数,(-Δ)sg的定义如下:

(-Δ)sg(x)=CN,sP.V.

从定义1.2可以看出,(-Δ)s是以积分形式定义的一个非局部算子,Caffarelli等在文献[5]中用延拓的方法将非局部的Laplacian算子化为局部可变分的算子,并给出等价定义.

定义 1.3[5]u:RN→R速降函数,U:RN×[0,∞)→R是u的延拓,函数U满足

用定义1.3来定义分数阶Laplacian算子.

Cortazar等[6]发表半线性抛物方程

的爆破问题,其中Ω是RN中的光滑有界凸区域,M≥0,V是Lipschitz连续的,φ(x)>0且满足相容性条件.

Winkler等[7]研究了抛物方程

其中v是∂Ω的外法向量.文章指出λ>0时有整体解,也存在爆破正解.

Vázquez等[8]发表对分数阶多孔介质方程(FPME)

在RN空间中Cauchy问题解的存在性和唯一性,其中0<σ<2,m>0.

Tan等[9]研究了如下半线性分数阶反应扩散方程

近年研究分数次p-Laplacian算子问题的还有文献[10-12]等.

下面对方程(1)用Caffarelli-Silvestre的延拓法.令U:Ω×(0,∞)→R是函数u:Ω→R的延拓函数,记D={(x,y)|(x,y)∈Ω×(0,∞)},D的横向边界为∂LD=∂Ω×[0,∞),可将(1)式化为

(2)

记(-Δ)s=As,(-Δ)s/2=As/2,0

u∈Hs0(Ω).

(4)

受文献[9,13-16]的启发,定义

H(U)=h(U)-f(U)-g(U).

对E(U(t))关于t求导,可得

∇U·∇Utdxdy-

(5)

所以E(U(t))关于t单调递减,且有

即

势阱的深度:d=infU≠0}.

本文的主要结果如下.

定理 1.3若U=U(x,y,t;U0)是(2)式的解,且存在t0≥0使得E(U(t0))≤0,则当k<0时,U在有限时间内爆破.

2 整体解和渐进行为

为证明解的整体存在性,先引入4个引理.

H(U)=h(U)-f(U)-g(U)>0}.

令

故

即

(λ-λp)(h(U)-f(U))≥0,

则

而p>1,故

E(λU)>

引理2.2的证明可参见文献[17-19],此处省去证明.

证明因为

所以

若设

由于a(x)∈[m,M],则

故

ρn(x)=min{|x|2s,n},

γn(u)=min{ku,n},

βn(u)=min{a(x)|u|p-1u,n},

(7)

引理2.4的证明过程用到了Gal⊇rkin方法,此处省去证明,引理2.4和2.5的证明过程具体可参照文献[9].接下来给出定理1.1的证明.

I(u0)+ε0

(8)

第一种情况与(8)式矛盾,将第二种情况代入I(un)有

I(udx-

(9)

(10)

由(10)式可得

(12)

对(12)式的左边,由分数阶Sobolev不等式,当p=2时,有

(13)

其中c>0.结合(11)～(13)式可得

所以方程(2)的解整体存在.

下面给出定理1.2的证明.

定理1.2证明对任意序列tn→∞,令Un=U(x,y,tn;U0).由于自反巴拿赫空间的有界列都是弱紧的,结合引理2.5,存在序列{Un}和函数U使得:

U

UnUinLp+1(Ω×{0}),

U

令测试函数

φ(x,y,t)=

其中

ψ∈Hs

由弱解的定义,有

将φ代入上面的式子,可得

对第二项,用分部积分法,结合ρ(0)=ρ(1)=0,有

则

a(x)|U|p-1Uρ(t-tn)ψ+

kUρ(t-tn)ψ)dx]dt=0.

令δ=t-tn,则

a(x)|U(tn+δ)|p-1U(tn+δ)ρ(δ)ψ+

kU(tn+δ)ρ(δ)ψ)dx]dδ=0.

(14)

‖U(tn+δ)-ωδ‖Lp+1(Ω×{0})→0,

‖U(tn)-ω‖Lp+1(Ω×{0})→0.

下证在Ω×{0}中几乎处处有ωδ=ω.结合能量等式和Hölder不等式,有

因为0≤δ≤1,当tn→∞时‖U(tn+δ)-U(tn)‖L2(Ω×{0})→0,即在Ω×{0}中几乎处处有ωδ=ω.重新整理(14)式可得

a(x)|U|p-1U(tn)ρ(δ)ψ+

kUρ(δ)ψ)dx]dδ-

∇U(tn))ρ(δ)·∇ψdxdydδ+

U(tn))kρ(δ)ψdxdδ=0.

由勒贝格控制收敛定理,当tn→∞时,上式等号左端后四项趋近于0,对等号左端第二项有

即U(tn)在弱意义上趋近于(2)式的稳态解.

3 爆破

给出定理1.3的证明.

定理1.3证明(反证法) 若t=∞,令

对t求导，可得

在(2)式的两边同乘以U,再在D上积分，有

(15)

在能量等式(6)两边同乘p+1 ,再加上(15)式有

(p+1)E(U(t0)),

因为E(U(t0))≤0,k<0,所以对∀t≥t0,有

所以

(16)

由Hölder不等式，有

r′(t1)(t-t1)→∞,

由此,当t>t1，可得

两边同时积分，可得

r′(t0))2lnr(t)|tt1→∞,

r(t)r″(t)>(1+α)(r′(t))2.

0

J(t3)+J′(t3)(t-t3)→-∞,t→∞,

显然矛盾,故U在有限时间内爆破.