刘徽《重差》从《九章算术》注本分离的时代问题——基于李俨编史观启示的研究

邹大海，袁 瑞，2

(1.中国科学院 自然科学史研究所，北京 100190；2.中国科学院大学，北京 100049)

重差是中国古代通过间接测量来计算远距离物体的高、深、广、远等数据的数学分支，由于用到两个差值而得名。它具有高超的设计性和技巧性，极具中国古代特色。吴文俊正是通过对重差的研究而提出他关于数学史研究“古证复原”三原则的[1-3]，而他的数学史研究则成为其机器证明和数学机械化研究的思想源泉[4]。东汉郑众（?—83）在注《周礼》“九数”时提到“今有重差、夕桀、勾股也”[5]，说明在东汉早期或更早时代重差已成为数学的一个门类。三国时魏国的刘徽为《九章算术》作注，他在公元263年所写自序①现传本刘徽自序未署年月，李淳风《晋书·律历志》提到“魏景元四年，刘徽注《九章》云：‘王莽时刘歆斛尺弱于今尺’”[6]，学术界对“魏景元四年”（263）是刘徽注《九章算术》的开始年份还是完成年份有争议，主要原因在于对《九章算术·方田》“圆田术”注中有“晋武库中汉时王莽作铜斛”的一节是属于刘徽注还是李淳风等注释，有不同的判断。有人认为这段文字是刘徽所写，其整个注释的完成在晋代，魏景元四年只能是他开始作注的年份；有人则认为此段文字出自祖冲之，是李淳风“显于徽注之下”的。其实，上引《律历志》的话意味着“晋武库中汉时王莽作铜斛”一节应出自刘徽注，刘徽注完成于晋代，但这不意味着“魏景元四年”是刘徽开始作注的年份。因为从刘徽的序文看，在写序时，不仅他为《九章算术》所写的注已基本完成，而且他自撰的《重差》也已基本写成。古代很多著作并不专门记录开始和完成的时间，而是在序、跋的落款处署上著作的时间，所以我们认为《晋书》所记“魏景元四年”应该来自刘徽的序，但在此序的现传本中脱落。刘徽注在此年大体写成，后来又有所完善。云：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差、勾股，则必以重差为率，故曰重差也……徽寻九数有重差之名，原其指趣乃所以施于此也……辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于《勾股》之下。度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又求旁者四望。”[7]《九章算术注》序2刘徽对重差的性质和功用做了描述，并说明它是早已有之的学问，且要与勾股相配合使用。其自序还表示，他做了创造性发展而写出专论《重差》，“缀于《勾股》之下”，遂成其《九章算术注》的第十卷。可以说，直到刘徽撰成此篇，重差才成为蔚为大观的学问，这也是刘徽认为自己在数学上的最大贡献。

《重差》后来从《九章算术注》中分出，以至独立成书，又因第一题为测望海岛的高远而获《海岛算经》之名，并作为唐代李淳风等注释的十部算经之一，成为国子监算学馆的教材和科举考试中明算科的考试用书。对《重差》脱离《九章算术注》和它获得《海岛算经》之名的时间，学术界有不同的判断。大多数人的观点大同小异，认为是在唐代[8-15]。郭书春驳斥了这类观点，认为至晚在甄鸾时代[16]。《重差》从《九章算术注》中分出及相应时间的问题，其重要性在于两个方面：一是关系到文献特别是其流传方式，这很好理解；二是涉及中国古代数学知识结构的演进方式，因为它反映出古人对《重差》与《九章算术》之间存在分野的认识，和古人对重差这一分支学科之特色的重视。

本文的研究将表明，郭书春的结论基本可靠，但其论据和论证有缺陷。另外，我们发现，在80多年前李俨与严敦杰的先驱性工作中虽未明言，但实际已蕴含了“《重差》从《九章算术注》中的分离并非从唐代才开始”的思想倾向。本文参考李俨的思路，以李、严、郭的工作为基础，对这一问题作系统梳理，并在此基础上讨论文献在流传过程中的分合问题。

1 《重差》独立问题起源与“唐代分出说”考评

《重差》的分出及其时代，早在1913 年日本学者三上義夫在《中日数学之发展》中就已提到：

“海岛算经”的标题并非作者本人所题。如前所述，刘徽在为《九章算术》作注时，研究了一些归类在“重差”下的问题之解法，并附于九章的最后一章“勾股”之下。但刘徽的补充并不能构成《九章》的正文，随着时间的推移，它注定要被考虑分离出来，而拥有现在所熟知的标题。此书名取自书中第一题对海岛的测望，或许从7世纪崛起的唐代初期起就一直使用这个书名。[17]34

他已经注意到了《海岛算经》的分离问题，并从文本内容上的关联程度来解释。他认为《重差》作为后代学者补入的内容本就不属于《九章算术》原文，分离出来便是很自然的事情，但他没有就开始独立出来的时间做断言，只说或许从唐初起就一直使用《海岛算经》的名称。

三上義夫是中国数学史研究的先驱，其工作激励了中国学者对传统数学发展的研究热情。这些学者中以李俨、钱宝琮的研究影响巨大。1921年，钱宝琮在《九章问题分类考》中讨论《重差》从《九章算术》分离的问题[8]2；在1932年的《中国算学史》上篇中，他又进行了更详细的阐述：“此术虽为汉人所创，至刘徽而后始有专书。徽所撰重差一卷，至唐代立算经十书时，与所注之《九章算术》分离，别为一书。因首问为测望海岛之术，故称曰《海岛算经》也。”[9]他认为：因唐代初年要选十部数学著作为经典，原本附在《九章算术注》末的《重差》独立出来，并在这时根据第一题测算的海岛开始以《海岛算经》之名行世。这样的观点为其1963 年出版的校点本《算经十书》之《海岛算经提要》[10]及1964年的《中国数学史》[11]所继承。他的论述明确、肯定，对以后的学者影响甚大。

杜石然亦持唐初分出的看法。在为《中国大百科全书·数学》所写“《海岛算经》”条[12]中，他只是说“唐初开始单行”，尚未与初唐教育制度和注释十部算经的背景联系起来。但后来他在《〈海岛算经〉论校》中作了系统的分析和论证，并把《重差》分出时间的上限定在唐初王孝通上《缉古算经》表之后。他说：

王孝通在“上《辑古算经》表”中也曾提到刘徽“造重差之法”。王孝通说道：“魏朝刘徽笃好斯言，博综纤隐，更为之注……徽思及毫芒，触类增长，乃造重差之法列于终篇。虽即未为司南，然已一时独步。”

据此可以认为：在唐初王孝通时，还是以“乃造重差之法列于终篇”的说法为主，《海岛算经》似乎尚未独立成篇，它还没有从《九章算术》中独立出来。……

《隋书·经籍志》中列有：“《九章算术》十卷，刘徽撰。《九章重差图》一卷，刘徽撰。”

这也大致上反映了当时的《海岛算经》仍然是处于“列于终篇”，与《九章》共成十卷的情况。后一种书似乎还反映了刘徽的《海岛算经》确有附图一卷，可惜，这一卷图早已失传。[13]

这里给出两个理由：（1）王孝通所说“乃造重差之法列于终篇”表明他看到《海岛算经》通行的状态还是“列于终篇”的；（2）《隋书·经籍志》中收录的还是刘徽《九章算术注》的十卷本，进一步证明当时《九章算术》正文与刘徽《重差》未分离开来。这样的理解存在一些偏差，其实王孝通只是描述了刘徽造《重差》的事实，并没有对《重差》是什么时候造、什么时候独立出来下判断。

李迪根据《隋书·经籍志》的著录有刘徽的《九章算术》十卷本，推论《重差》在隋代尚未分出。再根据唐代没有此十卷本、却有刘徽撰《海岛算经》一卷，他推论《重差》在唐代分离出来，并取名《海岛算经》，并认为这“可从唐代数学教科书的名称得到旁证”[14]。

冯立昇认为：“《海岛算经》原名为《重差》，开始是被附于刘徽注《九章算术》之后；唐初将其分离而另行单本，改称此名。它所讨论的是目标物不能靠近（或难以靠近）情况下的测高与测远问题。”[15]他在《重差》分出时间问题上与杜石然的意见相同。

白尚恕在《刘徽〈海岛算经〉造术的探讨》中说“《重差》原附于《九章算术》之终，到隋唐时代，将《重差》摘出，作为单行本；因其第一问为‘望海岛’，以后便改称为《海岛算经》。”[18]这把《重差》分出的时间笼统归为隋唐时代，时段太长，且没有论证。此说实际影响甚微。

《重差》在初唐时开始被分离并以《海岛》之名行世，成为主流的观点。原因有两方面，一是符合排比隋、唐正史中书目的著录材料、唐代算学教育与科举制度史料的一般方式，二是钱宝琮的影响力。但是，细审前述各位学者所用材料和论述后，可知这些论据只能证明在初唐时有独立于刘徽注本《九章算术》的《重差》版本，而不能证明分离的版本始于此时。

2 “南北朝分出说”述评

刘徽《重差》在唐初独立单行的观点被广泛接受，它甚至被收入了《大英百科全书》的“LIU Hui”条①“In his preface to the The Nine Chapters,Liu noted a gap in its procedures that did not allow one to tackle problems involving celestial distances.He thus appended surveying problems and algorithms that amounted to a kind of trigonometry to fill this gap.These problems were gathered,probably in the 7th century,in an independent book, Haidao Suanjing (‘Sea Island Mathematical Manual’),ascribed to him.”[19]，但郭书春对此持有异议：

关于《海岛算经》单行的时间，许多著作说是李淳风等整理十部算经时将《重差》从《九章算术注》中分离出来的。这是一种想当然的说法。实际上，《宋史·艺文志》载，甄鸾时就有《海岛算术》，而且，王思辩建议整理汉唐算经时，已称“十部算经”。可见，《海岛算经》从《九章算术注》独立出来，起码在甄鸾时代。[16]

他认为《宋史·艺文志》收录了甄鸾注《海岛算经》，说明至晚在甄鸾时代此书已经独立出来；王思辩上表时已有“十部算经”的说法，更佐证了初唐时已经完成了独立。郭书春是用驳议的方式写下这一见解的，但没有提到前人的类似见解，说明他不知道前人已有这方面的工作。其实早在半个多世纪以前李俨、严敦杰就触及过这一问题。

1926年李俨发表《重差术源流及其新注》，提到：“重差术始兴，远在战国以前”“至魏刘徽始告完成”“至唐，而‘重差’忽被‘海岛’之名。”[20]他只叙述了可以肯定的事实：至唐“忽被‘海岛’之名”，这不仅意味着《重差》在唐代有《海岛（算经）》之名，而且默认在此时或更早时代《重差》已有单行本。1930年李俨出版的《中国算学小史》说：

《隋志》于《九章》增作十卷，下题刘徽撰，盖《重差》列于九章终篇也。《隋志》《唐志》又皆有《九章重差图》一卷，今其图已亡。唐以后称《重差》为《海岛算》，宋史有《海岛算经》一卷，夏翰（一作翱）《新重演议海岛算经》一卷。[21]

李俨《中国数学大纲》上册（1931 年）[22]35、《中国算学史》（1937年）[23]也有类似的表述，体现了他避免做过多推断的治史倾向。

1940年，李俨与严敦杰合作发表《南北朝算学书志》，文中整理的注释《九章算术》和《重差》的文献资料对于分离时间给出了重要的提示。该文是南北朝时期算学著作的目录学论文，也是李俨与严敦杰学术交流与合作的开始。据笔者整理的李俨1940年致严敦杰信件，先是严敦杰将《南北朝算学书志》一文向《图书季刊》投稿，编辑部请李俨审阅，李俨由此得知严敦杰的通信处而主动联系他。李俨做了许多增补和修正，并在文章后加以附注。文章同年6月以严敦杰著、李俨注的名义发表在《图书季刊》上[24]。作为两位学者的学术合作成果，此文能够一定程度上反映他们的编史倾向。文中收录了“祖冲之《九章算术注》九卷，《九章术义注》九卷”、“祖冲之《重差注》二卷”、“甄鸾《九章算术》注”和“信都芳《重差勾股注》”等4 条[24]197，显示出祖冲之有《九章算术》的9 卷注本和单独的《重差》注本，信都芳有《重差》和《勾股》合在一起的注本，甄鸾亦有不包含《重差》在内的《九章算术》9 卷注本，所以此文虽然没有明说南北朝时期存在将《重差》从《九章算术注》中抽出作注的著作，却实际蕴含了这样的意思，那么《重差》就不必等到唐代才从《九章算术》刘徽注本中分离出来。其中“祖冲之《重差注》二卷”条，依据的是《日本国见在书目》“《海岛》二祖仲注”，严敦杰在此条末加按语云：

“海岛”之名自唐始，见在书目乃以通行书籍称之，故若是云云。于南朝时当作“重差”也。诸史志录《海岛》咸为一卷，此独为二卷。岂足本欤？[24]

他认为“祖仲”是“祖冲之”之误，“海岛”之名始于唐朝，《日本国见在书目》所记的“海岛”是唐代改的，南朝时应作“重差”，此书目作“二卷”可能说明此为足本，而各正史的《志》所记之《海岛》一卷则不仅名称晚出，而且可能已非足本。这继承了李俨关于“海岛”是唐代所改名称的观点，且更明确地表示之前仍名“重差”。

关于《重差》在唐以前从刘徽注本《九章算术》中分离的问题，实际上在李俨1919年发表的《中国数学源流考略》已见端睨，文章提到“祖暅又以诸法授于信都芳。安丰王延明钞集五经算学，芳为之注，且尝自注重差勾股，并著四术周髀宗”[25]，说明此时他已持信都芳注释《重差勾股》的观点，这意味着信都芳注本的《重差》已脱离刘徽注本《九章算术》。但此文之依据为清朝阮元《畴人传》卷十一开头的信都芳传，此传系引用《北齐书·方技传》和《北史·艺术传》[26]。1931 年李俨出版的《中国数学大纲》上册亦提到信都芳注《重差勾股》，所据史料还增加了《魏书》[22]52-54。不过，李俨没有对这些史料的功用做出区分。后文将看到，这条新增的史料才是最重要的。

在1958 年出版的《中国数学大纲》修订本中，李俨说“祖冲之又注《九章算术》，《海岛算经》”，亦提到信都芳“注《勾股重差》”[27]，说明他相信《重差》在祖冲之、信都芳时代都有分离出来的本子。严敦杰在整理《祖冲之著述目》（此篇定稿于1957 年[28]139）时，录“《重差注》一卷”，并加按语：“《见在书目》作二卷，《令集解》作一卷，应以一卷为是。按唐代始以《重差》叫《海岛算经》，在祖冲之时代应该叫《重差》。”[28]140可见，李、严两位基本一致地认为南朝祖冲之时代已有脱离《九章算术》的《重差》存在了。

上述李俨对《重差》的看法，反映了他以史料为中心的编史观，其特点是“以史料为中心，以信史为追求目标，尽量以史料直接构筑历史，信以传信、疑以传疑，避免在史料之外作过多的推衍”[29]。严敦杰与李俨在编史观上也有共同的倾向，所以他们在《重差》流传问题上有颇多共同之处。笔者认为李俨的编史观有助于避免研究中的主观倾向，得到更为近真的结论。下面的讨论受此编史观的影响而加以改进，讨论《重差》的流传问题。

3 刘徽《重差》独立时间的文献梳理与具体证明

3.1 初唐时期确有分离单行的版本

我们先引用几种隋、唐正史的书目及这一时期日本的书目中的相关著录。

贞观十年（636）魏徵、令狐德棻、颜师古等编成《隋书》的帝纪、列传，此时尚无诸志。显庆元年（656）令狐德棻、长孙无忌、于志宁等编成《五代史志》，后来纳入《隋书》中[30]出版说明。武德五年（622）将从王世充的郑朝接管的隋朝图书古迹，通过船只运往京师，不料“行经底柱，多被漂没，其所存者，十不一二。其《目录》亦为所渐濡，时有残缺”，核实尚存的部分，按四部分类，形成了《经籍志》[30]908-909。其中涉及《九章算术》和《重差》（《海岛》）的有：

《九章术义序》一卷 《九章算术》十卷刘徽撰

《九章算术》二卷徐岳、甄鸾重述

《九章算术》一卷李遵义疏《九章别术》二卷

《九章算经》二十九卷徐岳、甄鸾等撰

《九章算经》二卷徐岳注

《九章重差图》一卷刘徽撰[30]1025

《日本国见在书目》是9世纪日本学者藤原佐世编撰的书目，其中收录有：

《九章》九卷刘徽注 《九章》九卷祖中①《南北朝算学书志》中按：“‘祖中’即‘祖冲之’，犹‘祖暅之’之作‘祖暅’也。‘中’‘仲’‘冲’俱形误”。[24]注

《九章》九卷徐氏撰 《九章术义》九祖中注

《九章十一义》一 《九章图》一

《九章乘除私记》九 《九章妙言》七

《九章私记》九 《海岛》二

《海岛》一徐氏注 《海岛》二祖仲注

《海岛图》一[31]

最晚反映公元9世纪《九章算术》和《海岛》的状态。

《旧唐书》修于后晋天福六年至开运二年（941至945）[32]出版说明，其《经籍志》著录“开元盛时四部诸书”[32]1963，反映了公元740 年左右存书情况，其中收录有：

《九章算经》一卷徐岳撰

其从古代借鉴中国历代名画风格与中国画绘制手法上的结合，与熟练掌握新彩技法与新彩料性特征。这样既吸取前人的基础，又能从陶瓷这种独特的材质料性上有一种新的提升，从而能准确把技法与绘画的特性充分表达，形成自己独特的绘画风格。

《九章重差》一卷刘（向）[徽]撰

《九章重差图》一卷刘徽撰

《九章算经》九卷甄鸾撰

《九章杂算文》二卷刘祐撰

《九章术疏》九卷宋泉之撰

《海岛算经》一卷刘徽撰[32]2038-2039

《新唐书》于宋代庆历四年至嘉祐五年（1044—1060）修成[33]，其《艺文志》只谈到唐代收藏图书的历史，未说明收藏著录之书的时间[33]1422-1423，有学者认为它以开元时书目为基础，补充了后来产生的著作，其中收录有：

刘（向）[徽]《九章重差》一卷

甄鸾《九章算术》九卷

刘徽《海岛算经》一卷

[刘徽]又《九章重差图》一卷

刘祐《九章杂算文》二卷

[李淳风]又注《九章算术》九卷

[李淳风]注《九章算经要略》一卷

[李淳风]注《海岛算经》一卷[33]1545-1548

可以看出，隋唐时代注释、研究和阐发《九章算术》的著作很多，其中还有书名在“九章”后添加“术义”、“十一义”（“十一”二字疑误）、“乘除私记”、“私记”、“妙言”、“杂算文”、“算经要略”的著作，应该是阐发《九章》中算法和原理的，不是一般意义的注疏本。《新唐书·艺文志》录有李淳风注《九章算经要略》一卷，说明此前有一本《九章算经要略》，为阐发《九章算经》的著作，李淳风再注释它。这些说明古人可以根据需要和兴趣对《九章》进行各种研究和阐发，而且不一定要针对《九章算术》全书。

这些目录中，超过九卷的只有《隋书·经籍志》所录刘徽的十卷本和徐岳、甄鸾的二十九卷本，后者可能还含有专门阐发《九章》要义的内容。《唐书》目录中《九章算术》注释本都为九卷，说明唐代开元盛世以来《九章算术》的版本已不含《重差》，《重差》从《九章（注）》中分离出来已成通例。在唐代《九章算术》的刘徽注释本只见于《日本国见在书目》，《旧唐书》没有著录而著录了甄鸾的九卷本和宋泉之的九卷本，《新唐书》也只有徐岳、甄鸾和李淳风的九卷注释本各一部，从宋代的《九章算术》版本看，李淳风的注释本包含了刘徽注的内容。所以，《旧唐书》的著录应该有缺失，至少缺了李淳风在刘徽注基础上的注释本，这从《旧唐书》本身可以找到内证，其卷七十九之《李淳风传》说：

显庆元年，复以修国史功封昌乐县男。先是，太史监候王思辩表称《五曹》、《孙子》十部算经理多踳驳。淳风复与国子监算学博士梁述、太学助教王真儒等受诏注《五曹》、《孙子》十部算经。书成，高宗令国学行用。[32]2719

这里明确记载王思辩提到十部算经“理多踳驳”，然后李淳风等为之作注。可见，至迟7世纪中叶的唐初先有《重差》的单行本，与《九章算术》《五曹》和《孙子》等并列构成十部算经，然后才有李淳风等注释本。但这些注释本为同书的《经籍志》所漏记。这也说明根据史志著录判断一部书是否存在，是不太靠得住的。

新旧《唐书》、《日本国见在书目》都记有《海岛（算经）》，唐初李淳风等作注之前已有《重差》的单行本，其名可能是《重差》或《海岛（算经）》，但作注后肯定已称为《海岛》。唐代《海岛（算经）》既有李淳风注本，也有祖冲之注本。两部《唐书》都记有刘向《九章重差》，四库馆臣推论此“刘向”为“刘徽”之误[34]，这一判断很可能是正确的。因为，此书既不见于《日本国见在书目》《隋书·经籍志》，也不见于根据刘向本人及其子刘歆所撰《七略》编成的《汉书·艺文志》，且刘向并没有善数之名。两《唐书》的史志、《隋书·经籍志》都另有刘徽注《九章重差图》，这存在两种可能：一为刘徽作注时，把图脱离文字注而汇在一起单作一卷，后世继承了下来；二为它就是带有图的《重差》，从刘徽《九章算术注》中独立出来①四库馆臣认为《九章重差图》《九章重差》就是《重差》。，尚未更名为《海岛》，不含李淳风注。无论如何，唐代的《重差》单行本，有名《九章重差》（或《九章重差图》）者，有名《海岛（算经）》者，后者为李淳风注本，前者不是。

3.2 至迟在南北朝信都芳时代《重差》已经有脱离《九章》的版本

《宋史·艺文志》中收录有甄鸾所注的《海岛算经》，但它成书于11世纪，去古已久，而后人将古人的书做分离、合并的处理，仍署古人之名，也是常情。所以，《宋史·艺文志》的著录，难以证明甄鸾时期已有《海岛算经》的单行本。下面来看李俨、严敦杰提到的《北史》《北齐书》《魏书》等的记录。

李延寿《北史》卷八十九《艺术上》有信都芳的传记称：

信都芳，字玉琳，河间人也。少明算术……常语人云：“算历玄妙，机巧精微，我每一沈思，不闻雷霆之声也。”其用心如此。后为安丰王延明召入宾馆。有江南人祖暅者，先于边境被获，在延明家，旧明算历，而不为王所待。芳谏王礼遇之。暅后还，留诸法授芳……后隐于并州乐平之东山……后亦注重差、勾股，复撰《史宗》。[35]

这里提到信都芳本来就善于算术、历法，祖暅之②祖暅之为祖冲之儿子,其名在文献中有“暅之”和“暅”两种，当以前者为是。在靠近北魏的梁朝边境被北魏所擒③祖暅之在边境被擒的时间为公元525年。[28]149-150，居安丰王元延明家而未受礼遇，信都芳劝谏元延明礼遇祖暅之，于是祖暅之便给予他历算上的指点和资料。后来信都芳给《重差》《勾股》作注。那么，由信都芳本人分出或他之前已有将《重差》从《九章算术》分出来的版本。《北齐书》中“方伎传”中亦有信都芳的一篇小传[36]675，内容只有《北史》中“信都芳传”的1/3，没有提到信都芳与祖暅之的关系，也没有提是他注重差、勾股。《北齐书》是唐初贞观十年（636）李百药（565—648）完成的，但在唐中叶以后残缺，包含信都芳传在内的“方伎传”是后人所补[36]出版说明，所以现存《北齐书》的失载并不意味着原书没有上述信息。

不过，《北史》的撰者李延寿的生卒年失载，史书记录其活动在初唐，距离信都芳活动的时代约1个世纪。而后世的著作是有可能将后来的信息带入对以前史事的叙述中的。在记述以前的文献时，后人如果把前人的书进行了分割或合并，也仍会记在前人名下。因此，后世所记前人著作，并不能准确反映该文献的原始状态。比如刘徽为《九章算术》作注时《重差》并不与之分离，《旧唐书》记有“《海岛算经》一卷刘徽撰”，《新唐书》记有“刘徽《海岛算经》一卷”，都题刘徽为撰者，但单行的形态和书名都非刘徽写作时的状态。所以《北史》的记载尚不能作为信都芳时已有《重差》单行本的绝对证据。

值得重视的是《魏书》。其中张渊的传中顺便提到信都芳“后亦注重差、勾股，复撰《史宗》，仍自注之，合数十卷。武定中卒。”[37]1955武定为东魏最后年号（543—550），则信都芳大约去世于546 年左右。根据《北史》和《魏书》的叙事顺序，先是元延明“南奔”，然后才是信都芳为元延明所编和要编的著作“撰注”，再是他隐居并州乐平之东山，之后是到高欢门下做宾客，然后才是注重差、勾股。已知元延明由于受元颢牵连而“南奔”[37]530，元颢从攻入洛阳称帝到兵败被杀，时在北魏永安二年[37]565，即公元529 年，那么信都芳注重差、勾股应该在晚年，可能在公元540 左右。

《魏书》的主修者是魏收（507—572），其纪、传完成于北齐天保五年（554）。后来北齐皇帝高演（560—561 年在位）、高湛（562—565 年在位）又命他修改，始成定本[37]出版说明。所以《魏书》所记史事无论如何不可能带入公元565年以后的信息，更不可能将隋代或唐代才形成的著作放入其中。《魏书》的完成距离信都芳注释重差、勾股不超过30 年，可信度很高。所以《魏书》的记载是在信都芳时代已有独立于刘徽注本《九章算术》的《重差》之铁证。《北史》和《魏书》说信都芳“注重差、勾股”，有可能是将《重差》《勾股》作两本分开注释，也有可能是二者合一，无论哪种都说明此《重差》已经脱离《九章算术》。

《日本国见在书目》收录了祖冲之注的《九章算术》九卷与《海岛》二卷，似乎进一步表明，祖冲之作注之时《重差》已经与《九章算术注》分离开来。如前所述，后世的记录不一定能反映当时著作的状态，所以祖冲之作注时合在一起，后来才将《重差》分离出来的可能性是存在的。因此，将《日本国见在目录》的著录作为祖冲之时《重差》单行的证据，其效力是不够的。不过，没有文献表明信都芳是第一个将《重差》分出的人，而他在注释《重差》《勾股》之前曾师承祖暅之，祖暅之的学术与其父祖冲之又一脉相承，因此，也存在祖冲之时代已有《重差》分出本的可能性。

《重差》分出以后，最早获得《海岛》之名的时间尚难考定。前面引录的新旧《唐书》书目、《日本见在书目》，足以肯定唐代已有《海岛》《海岛算经》或《海岛算术》之名，且不晚于李淳风完成十部算经的注释。“算经”二字虽然早在南朝梁朝庾曼倩、张缵的传记资料中已提到[38]，但较少见，它主要应该与唐代国家数学教育机构算学馆和科举中的明算科有关，故《海岛算经》之名很可能始于唐代早期。唐代制度对隋代多有继承。隋代国子寺有祭酒一人，属官有主簿、录事各一人，“统国子、太学、四门、书、算学，各置博士、助教、学生等员”，前三门都是博士、助教各5人，书学和算学则都是各2 人，学生则分别为140、360、360、40、80人[30]777。可见算学在隋代国子寺中已有一定规模，应该有选编的教材，《隋书·经籍志》称为“算经”的数学著作有多种，那么如果《重差》更名，则称为《海岛算经》的可能性是存在的。但隋朝国祚太短，制度初兴，《隋书·经籍志》记有多种“算经”却无《海岛算经》和《重差算经》，亦未记有《海岛》和《海岛算术》，所以“重差”更名“海岛”始于初唐比始于隋代的可能性要大，初唐始称《海岛算经》的可能性更大。晚唐以后难以见到称《重差》者，《海岛》（《海岛算经》《海岛算术》）成为通行的书名。

4 从《重差》的分离问题看文献的流传方式

上面已证明，刘徽《重差》至晚在南北朝信都芳之时已有脱离《九章算术》的版本。初唐李淳风等注释十部算经以后，《重差》以《海岛算经》之名渐趋通行。《重差》从《九章算术》中独立的问题为审视古代文献的流传方式与不同史志中的收录存在相悖的情况提供了新的视角。

史书及其书目志中存在失收的情况，以其著录与否来判断一书在某一时代是否存在，不是绝对的。《北齐书·信都芳传》中仅记录他“又著乐书、遁甲经四术、周髀宗”[36]675，不记他注释重差、勾股之事，《北齐书》成书于贞观十年（636），晚于信都芳生活年代约一个世纪，只是说明史书中人物传记会有缺漏。前面提到李淳风等在显庆元年（656）完成注释十部算经的工作，但《旧唐书·经籍志》（修于941 至945年）却并不见收录《九章算术》《海岛》等7部，《旧唐书·经籍志》是根据唐代开元年间毋煚在前人基础上整理的《古今书录》编辑而成的[32]1962-1963，能够反映开元盛世时的国家藏书状况，没有收录在当时已明确作为算学教材的十部算经之李淳风等注释本是不合理的，这似乎说明流传至今的《旧唐书·经籍志》之缺失不一定是当时史家的粗疏，毕竟古代经籍保存不易、传抄疏忽造成的缺失本来就是存在的。而李淳风等注释的那7部算书，在宋初所修《新唐书·艺文志》[33]中却能见到，说明后世的编目也可能比更早的书目可靠。

文献在流传中并不是非合即分的，不同卷数的版本可以共存。“唐代分出说”的证据之一即是《隋书·经籍志》中著录有《九章算术》刘徽十卷注本和《九章重差图》一卷本，但到了新旧《唐书》中，《九章算术》的刘徽注本只有九卷，另有《重差》（或《海岛》）一卷本，以此说明《九章算术》刘徽十卷注本在唐代被分割开了。但有合本的存在并不能否认分离本能同时存在。《九章算书》在狭义上仅指汉张苍、耿寿昌删补的《九章算术》本文，在广义上则包括后世的刘徽注与李淳风等注释[7]增补版前言：4。《重差》虽然建立在勾股知识的基础上、放在《勾股》章之后，但此章主要是刘徽个人的创作与阐发，原本不属于《九章算术》，后代学习者研究《九章算术》时具有很大的灵活性，有人依据兴趣或应用的需要，将原文和刘徽的创作分离开来研究是很自然的事情。而且即使对《九章算术》原来的9章，后人也可以只研究和阐发其中的一章或几章，形成一本新的著作。前面讨论的信都芳“注重差、勾股”，不管是将对“重差”和“勾股”的研究合为一书，还是分别成书，都不意味着不能有十卷或九卷本的《九章算术》刘徽注本的存在。

5 结语

作为中国古代数学中一个重要的知识门类，重差由刘徽发展到很高的程度，尽管现存仅9个算题，但已经展现出在现实问题的激发下，刘徽在测量方法上的设计巧思和他所具有的高超数学能力，这也反映了中国古代几何学的鲜明特色与独特贡献。大概正是由于重差的特殊性和刘徽《重差》内容的丰富性，《重差》颇受后世学者青睐，被认为有独立出来的必要，《重差》从《九章算术》分离就成为自然之事。

主流观点主要根据《隋书·经籍志》没有著录《重差》和《海岛》却著录刘徽注本《九章算术》有10卷，断言《重差》只有到唐代才开始从《九章算术注》中分出，失之太晚。郭书春主要根据《宋史·艺文志》著录有甄鸾《海岛算经》注而断言至晚在甄鸾时代《重差》已经分出，其结论不错，但证据不充分。笔者发现，李俨虽未对《重差》分出的时代表态，但他在20世纪上半叶的工作，已为这一问题的解决提供了基础，却不幸被后人忽视。李俨根据信都芳的传记资料，说明他注释过了重差与勾股，为严敦杰所赞同。这有两方面的意义，一是提供了基本的史料依据，二是反映了他一贯的以史料为中心的编史观。在李俨的基础上，笔者经过细密的分析确证，信都芳在公元540年左右注释过《重差》，说明至晚在此时有从《九章算术》分离出来的《重差》版本（可能单行，亦可能与《勾股》合在一起）。至于李俨、严敦杰主张祖冲之已有脱离《九章算术》的《重差注》，则不能确认，但也不排除这样的可能性：祖冲之有《重差》的注释本，并为祖暅之所学习，从而进一步影响到信都芳的注释本。《重差》获得《海岛》（或《海岛算经》《海岛算术》）之名不晚于初唐，并可能早于李淳风注释十部算经之时，唐代数学教育和科举制度，对《重差》脱离《九章算术》并以《海岛算经》之名行世成为常态，有着重要的作用。

笔者的分析还表明，脱离《九章算术》的《重差》版本与包含它的《九章算术》十卷本，曾在初唐及以前并行不悖。这也告诫我们，对文献在流传过程中的分离与合并，不能拘泥于非此即彼的观念，必须充分考虑其复杂性；在论证过程中，要充分评估史料效力的大小，通过审慎的推演得出结论。