基于“四个理解”的高中数学建模教学

吴惠红

基于《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“国家课程标准”）的上海市普通高中数学教材（以下简称“双新教材”）于2020年始全面使用，本套教材的一个显著特点是将数学建模单独成册，这不仅充分体现了数学建模的重要性，也展现了数学建模与数学应用题的显著区别，应用题是运用数学知识解决实际问题，而数学建模则是根据实际问题建立数学模型并求解数学模型，最终运用求解结果以解决实际问题。

“四个理解”是由人教社编审章建跃博士提出的数学教学理念，指理解数学、理解学生、理解教学、理解技术。简单而言，理解数学，就是教师要把握好数学知识的本质；理解学生，就是教师要全面了解学生的思维发展规律，把握学生的认知特点；理解教学，就是教师要把握好教学的基本规律；理解技术，就是教师要懂得如何有效利用技术帮助学生的学以及支持自身的教。“四个理解”是指导数学建模教学的有效策略工具，有利于提升学生的数学建模素养。

在双新教材使用的过程中，很多教师认为数学建模过于高深，在实际教学中，无论是认知层面，还是能力层面或是经验层面容易产生很多问题。本文论述了数学国家课程标准的要求和笔者对“四个理解”的认识，简述了如何用“四个理解”指导数学建模活动的教学，提升数学建模教学的效果。

一、理解数学——什么是数学建模

“数学建模是联系数学与应用的重要桥梁，是数学走向应用的必经之路。”［1］从2002年《普通高中数学课程标准（实验）》提出“培养数学建模能力”开始，到《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出模型思想是数学素养的核心之一，再到高中国家课程标准明确数学建模素养是六大核心素养之一，数学建模日渐受到重视，真正走进了高中课堂。

数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法建构模型以解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，然后通过分析问题、构建模型、确定参数、计算求解，最后检验结果、改进模型，最终解决实际问题。简而言之，数学建模是从实际问题入手，将实际问题抽象为数学原理、数学理论，再建立数学模型，进而解决实际问题的过程，是一个闭环操作过程。

数学建模的目的不是灌输更多的数学知识，而是通过一些实际问题，使学生经历和体验数学建模的全过程，特别是体悟建立一个正确模型需要经历反复曲折的探究过程。因为每一个建模活动都有着基本相同的过程，笔者认为教师有必要组织数学建模知识的普及性教学，通过做好双新教材的“发言人”、当好数学建模的“代言人”、搭好数学建模的知识框架、抓好数学建模的“灵魂”，引导学生重视数学建模的学习，提升建模意识，学会用数学的眼光观察世界。

二、理解学生——数学建模为什么这么教

数学建模已经从“精英教育”变成面向全体学生的教学，从个别教师的教学行为变成所有教师的必备教学技能。数学建模案例的难度不能太大，因此沪教版双新教材的教学参考书中提出：要有针对性地实施多样化的教学，不相互攀比，更不要盲目拔高，从而使各类学校的学生都学有所获。

首先，要提高学生提出问题的能力。高中学生的抽象能力相对不够成熟，很多学生还没有养成发现问题和提出问题的能力，因此数学建模中提出问题的这一步骤是教学的难点，所以教师一定要给学生留出充足的时间用于思考和讨论，讨论可以是生生讨论，也可以是师生讨论。

其次，要增强学生学习的自信。应用题一直是学生头疼的一类题目，而数学建模“问题不明确，条件不完备，答案不唯一”等特点易使得学生望而却步。所以增强学生学习的信心和兴趣对于数学建模的教学至关重要，教师选择的案例要尽量贴近学生的生活，这样学生才能充分调动自己的生活经验，勇于提出自己的观点和想法，尤其是提出有价值的问题。

最后，要深入了解学生对实际问题的看法。例如，学生对购物并不陌生，可对优惠券背后蕴含的数学原理却认识得不够清晰，为了更好地开展沪教版《普通高中教科书·数学》必修（四）中《“诱人”的优惠券》一课的教学，笔者在课前会深入了解学生对折扣商品的看法，在此基础上引导学生理解有必要通过建立模型让购物行为更理性，进而探究折扣商品对购物行为会产生哪些影响。

三、理解教学——数学建模怎么教

数学国家课程标准提出，数学建模活动旨在培养学生“有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验”，要求学生能“经历数学建模活动的全过程，整理资料，撰写研究报告或者小论文，并进行报告、交流”。

一是熟读教材和教参。教材编写组充分考虑到了教师和学生在实际教学中可能遇到的困难，选取了11个案例，体现了案例的多样性、灵活性和层次性。国家课程标准在必修课程中安排了6个课时用于数学建模与数学探究活动，因此教师在对教材和教参进行深入研究后，只需要从中挑选1-2个案例进行教学即可。

二是采取小组合作探究模式。由于数学建模活动的教学具有活动性、探索性和综合性的特点，为了更精准地反映学生的思维过程，教师在教学中可采取小组合作探究的方式。

三是重视首次案例教学。“教是为了不教”，在首次教学中，教师要重点关注五个方面：一是教师的数学语言要规范；二是教师要做好对学生的启发，控制好问题的开放度；三是教师要指引学生做必要的假设以简化问题，设定参数、明确模型方向；四是教师要引导学生进行检验和改进模型；五是教师要指导学生撰写数学建模报告，尤其是反思模型环节能凸显数学建模的价值，使得学生能够体会和理解数学建模的整体过程。

四是渗透建模思想。考虑到课时限制和学生学业负担，每学年完成一个案例是可行的，但一个案例并不能完全满足数学建模素养培养的要求，所以在日常教学中，教师可以尝试渗透数学建模思想，建模教学着重围绕提出问题和建立模型两个环节展开，如教师可利用双新教材中丰富的案例改编数学建模检测题，通过适当的训练渗透建模思想。

五是凸显育人本质。教师要引导学生注重数学的应用价值，体现学以致用，让学生体验“三会”，在每一个案例的教学中体现学生是学习的主体，教师是引领者、组织者，从而落实核心素养的培养目标。

四、理解技术——数学建模还能这么教

数学建模中有一些案例需要教师和学生有获取信息和资料等信息化处理能力，例如，在“车辆转弯时的安全隐患”建模教学中，需要用图形计算器模拟车辆转弯的情况，用于检验模型；“外卖与环保”建模教学中，需要大量的数据收集和数据处理，此时只能依靠技术手段才能降低学生学习难度。因此教师和学生如果要进一步研究数学建模，就要懂得一些编程语言，只有掌握计算机技术，学生才能从繁琐的计算中解脱出来，专注于改进模型的适切性，将更多时间用于解释模型上，使教学效能获得倍增。

数学建模是数学学科的核心素养构成，数学建模教学为学生提供了自主探究的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与学生日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程。