一类二阶有理差分方程的解的渐近性

全卫贞，王 丽，黄日娣，周敬人，凌伟钟，阿的史古，陈月婷

（1.湛江幼儿师范专科学校数学系，广东 湛江 524037；2.岭南师范学院基础教育学院数学系，广东 湛江 524037）

1 引言

差分方程来源于迭代函数，为微分方程的离散化，实际上许多变量的变化都能通过差分来描述，随着现代技术的飞速发展，差分方程的理论知识在各个领域都有着大量的应用，比如，生态、工程、经济、数学、计算机等领域都用到了差分方程理论.

线性差分方程的求解理论发展相对成熟，但对二阶有理差分方程的精确解却还在研究阶段，这些方程看似简单，但却表现出十分复杂的性质.这些年来，许多研究者做了很大的努力，得到了不少的研究成果[1-12].

在参考文献[3]中，陈云研究了几类有理差分方程

的解的渐近性.并给出了平衡解是汇点、源点、鞍点、非双曲点的充要条件.

在参考文献[4]中，Sedaghat研究了有理差分方程

的解的性态.其中 a，b＞0，初始值 x－2，x－1，x0∈R.当 a，b 取不同的值时，得到了解的不同性质.

在参考文献[5]中，骆元媛等人研究了有理差分方程

的奇点集和解的渐近性，其中 a，b，c，d∈R，初始值 x－2，x－1，x0∈R.并根据 a，b 的不同取值，得到不同的奇点集和解的不同性质.

受上述研究的启发，本文将研究二阶差分方程

的解的渐近性，其中 a，b，c，d∈R＋，初始值 x－1，x0∈R＋.

2 预备知识

考虑二阶有理差分方程（1）

其中 a，b，c，d∈R＋，初始值 x－1，x0∈R＋.

定义2.2由二阶差分方程

由此求出特征根.

以下两个定理为差分方程的动力学定理：定理2.1和定理2.2.

定理2.1[1]

（1）若特征方程（2）两个根的绝对值都小于1，则差分方程（1）的平衡解是局部渐近稳定的；

（2）若特征方程（2）至少有一个根的绝对值大于1，则差分方程（1）平衡解是不稳定的；

（3）若特征方程（2）没有模为1的根，则差分方程（1）的平衡解为双曲的，否则称为非双曲的；

定理2.2[1]（1）若，则差分方程（1）的平衡解是局部渐近稳定的，且称其为汇点；

定理2.3[6]（Routh-Hurwitz判别法）

假设实系数多项式方程为

其中a0＞0，则其所有根具有负实部的充要条件是Δk＞0，k＝1，2，…，n，其中Δk是n阶矩阵

的k阶主子式.

定理2.4[6]（Schur-Cohn判别法）

方程

所有的根具有负实部.

3 主要结果

4 计算机Matlab的数值计算

例1.根据定理3.1中的（1）（若0＜a＜1时，差分方程（1）的平衡解＝0是局部渐近稳定的），我们取 a＝0.5，b＝0.01，c＝1，d＝0.9，则差分方程（1）变为

取初始值x－1＝0.1，x0＝0.2，利用Matlab的数值计算，解的图像如图1.

图1

由此看出，图像与定理3.1中的（1）一致.

例2.根据定理3.1中的（2）（若a＞1时，差分方程（1）的平衡解＝0是不稳定的）.我们取 a＝1.1，b＝1，c＝12，d＝5，则差分方程（1）变为

取初始值x－1＝0.1，x0＝1.2，利用Matlab的数值计算，解的图像如图2.

图2

由此看出，图像与定理3.1中的（2）一致.

取初始值x－1＝0.1，x0＝0.2，利用Matlab的数值计算，解的图像如图3.

图3

由此看出，图像与定理3.2（2）一致.

5 结 语

我们采用了差分方程的动力学定理、Routh-Hurwitz和Schur-Cohn判别法、计算机Matlab数值计算这三种不同的方法研究了二阶有理差分方程的动力学定理，更利于相关研究者对于这些定理的理解.也希望这些方法能用于其他方程的定理的证明.