小学高年级数学教学中培养学生合情推理能力措施

□南京市江宁区东善桥中心小学 高敏

素质化教育不断深入的同时对小学数学教学提出了新的要求，以合情推理能力为代表的数学综合素养培养正受到数学教学工作者们的广泛重视。合情推理的概念源于数学教育家波利亚，在他的观念中：“数学是一门系统的演绎学科”“数学定理的产生是数学家进行创造性工作的结果，这个创造性的工作最初源于一个猜想”，而围绕着这个猜想展开的合情推理无疑会促成发明、创造的实现。所以说，在数学课堂教学中培养学生的合情推理能力极具现实意义，为了切实提升学生的创新、创造能力，以下将在充分认知合情推理能力培养必要性的基础上，分析合情推理能力的概念及其具体作用，然后再以此为依据提出相应的能力培养策略。

一、培养高年级数学学生合情推理能力的必要性分析

在小学高年级数学教学中培养学生的合情推理能力是贯彻素质化教育的必然要求，推理思维是数学的基本思维方式，这种思维方式不仅能在数学中得到应用，还可以在日常生活的方方面面中得到体现。关于合情推理能力的培养，《义务教育数学课程标准》指出要通过观察、归纳、类比等方法引导学生发展合情推理能力。另外，学生还要在长期学习中形成理性思维，能在逻辑清晰的前提下，提出问题、推理论证，最终解决问题。

除了素质化教育的硬性要求以外，小学阶段合情推理能力培养的需求也是不同忽视的内容。结合相关的数学研究文献与数学教育实情来看，我国对合情推理的研究和教育主要集中于中学阶段，小学阶段的合情推理教育研究则相对较少。究其原因，可以认识到这种状况的存在与不同学段的教学内容有关。以小学阶段的学习来说，学生接触的知识内容只有少部分涉及猜测、推导，所以教师对合情推理的教学相对较少，即使有也呈现零散、不成体系的状态。不过需要注意的是，小学阶段正是合情推理能力发展的关键时期，这不仅是因为小学高年级学生需要提前适应初中严谨的证明知识，更是因为小学高年级学生的思维形式正处于直观转抽象的过程。这个年龄段的学生普遍存在思维水平不高的特点，所以在思考问题时习惯从直观思维的角度出发，这样也导致学生在理解数知识的时候不得法，不能准确把握住知识间的关联。相应地，这个年龄段的学生充满想象力，数学思维的可塑性极强，所以教师要把握好这段时期培养学生的推理能力，引导学生提出数学猜想，用合理的思维方式进行思考，逐步的锻炼学生的合情推理能力。

二、小学数学合情推理能力概述及其意义

（一）小学数学合情推理能力的含义

厘清合情推理概念是培养合情推理的基础前提，简单地说，合情推理就是从既有事实出发，凭借自身的经验或直觉提出猜想，然后再经过归纳、类比等推理手段推断结果，最终明确思路或确定结论。其中归纳和类比手法的推理过程存在一定的差异，即归纳的方式是从大量的案例中得到一般性的认知，推理方法是从特殊到一般的方法；类比推理则是对相似的案例进行推理，推理的过程是从特殊到特殊的方法，所以类比推理的应用建立在两者相似的前提下，如此方能通过一类事物的性质推理另一类事物。

数学合情推理能力是一个更狭义的概念，准确地来说是一种心理特征，即顺利完成合情推理活动的心理条件。学生从自己已经学习过的知识、定理出发，根据自身学习经验和判断直觉，历经猜想、归纳、推理等活动，对某些结论进行合乎情理的推断。小学数学合情推理能力则是细化到小学阶段，学生依靠小学阶段学习的知识、积攒的经验，通过猜想推理等思维过程，进行合情推断时表现出的心理特征。

（二）培养学生合情推理能力的现实意义

合情推理能力的培养过程中，学生的数学综合素养也会得到相应的提升，以下将对学生具体的发展进行分析。

1.数学观察能力提升

观察是人类认识世界的基本手段，学生观察能力的好坏会在很大程度上影响最终的学习效果。过去的教育理念对观察的重要性认知不到位，认为观察只能对事物产生感性的印象，但事实上很多数学的性质研究都是从观察开始，若是不能进行合理的观察，人们也就无从得知这些数的性质。数学观察能力指的是有计划、有目的地对数字和数学关系式进行观察的“数学感知能力”。学生在合情推理的过程中，需要广泛观察推理对象，具体观察中要做到观察目的明确、具备相应基础知识、观察方法得当，如此方能保证观察的有序性。经过持续的合情推理培养以后，学生对基础知识的理解、观察方法的把握也会得到显著的改善。

2.归纳和类比推理能力优化

归纳推理和类比推理是合情推理中最常见的两种情况，合理地利用归纳和类比可以有效地改善数学推理活动。小学数学学习中的归纳推理同样需要经历从特殊事实到一般原理的过程，学生需要对数学事实进行一定的观察和分析后，才能从中归纳相应的结论。由此可见，这样的归纳推理属于不完全归纳推理，但是学生也能从中窥见真理和端倪。

类比的应用建立在数学研究对象具有相似性的基础上，学生在应用类比推理的过程中，往往需要用已经学习到的数学知识探测新概念、新法则，所以这项过程更像是知识和方法的迁移应用。妥善的使用类比推理方法，可以产生举一反三的学习效果。

3.数学猜想能力的改善

提出猜想是解决问题、实现创新的第一步，在合情推理的研究中，人们普遍认为猜想是合情推理的重要内容，甚至有人将合情推理与猜想等同起来。当然，合情推理必然要围绕猜想进行推论和证明，所以想要提升合情推理的能力，就必须做到合理猜想。

在合情推理的发展过程中，学生的数学猜想能力也会持续改善，这种改善不仅体现在提出数学猜想方面，还表现在检验、修正数学猜想这两方面。以提出猜想的改善来说，学生的猜想可能呈现有理有据或毫无根据的状态，其中有理有据地猜想属于可贵、可靠的猜想，毫无根据的猜想则完全相反，学生应具备大胆猜想的能力，而不是无端猜想的能力。合情推理是一个系统的过程，学生在完成观察与思考后，猜想的合理性也会自然改善。正如植树问题的学习中，“在一千米长的道路一侧植树，每棵树距离5米，共需要载多少棵树”这是学生就可以在简单的计算以后，结合生活经验说出自己的猜想“200棵、201棵、202棵……”。

完成初步的猜想后，学生就要对结论进行证实，确保猜想的基础正确性，若是猜想没有明显的错误，就应加入有力的修正条件，以此提升猜想的可靠性。所以说，在合情推理能力的作用下，学生的猜想过程会变得更加规范、可靠。

4.数学思维表达能力清晰化

合情推理能力的发展能帮助学生更好地思考数学问题，经过系统的观察、推论以后，学生的思考过程也会变得更加清晰，而这显然有利于学生用数学语言表达自己的思维。当学生能快速、准确地表达自己的想法时，教师也能根据学生的思考进行有效指导，而这最终也会推动课堂教学效率的提升。

三、在小学高年级数学中培养学生合情猜想能力的具体措施

（一）教师及时转变教学理念，强化对合情推理思想的渗透

合情推理思想的渗透是一项系统的工作，教师作为小学数学教学工作者的主导者，理应在教学理念方面做出转变，用合理的教学方式鼓励学生进行猜想，帮助学生从合情推理的过程中发展综合素养。

传统的数学课堂遵循着学习新知、复习巩固的教学模式，不过有很多教师在这项教学模式中习惯忽视学生的主观能动性，学生接触知识的过程更像是灌输，而不是主动得到。所以说，教师应尝试对教学活动进行改善，在教学中加入更多有益于学生创造能力发展的部分，如合情推理能力的引导和练习。为了实现这项目标，教师要在正式授课以前深入挖掘教学资源，然后再根据学生的实际状况，有机地结合实际教学与合情推理知识，让学生自然而然地加入求证猜想和发现的学习。由于小学高年级的学生依然童心未泯，教师在具体实施教学的时候可以加入更多的趣味性因素，将课堂打造成富有探索意味的“实验室”，促使学生在沉浸式的学习中实践合情推理，实现知识的“再创造”。

以归纳推理方法的指导来说，由于学生的猜想验证能力比较弱，教师在日常教学中要注意培养学生提出猜想、验证猜想的能力。正如圆锥体积公式的推导学习中，教师可以利用多媒体教学设备投用圆锥体图形，让学生观察圆锥体的特点，学生经过观察以后回答道“侧面展开是一个扇形”“只有圆形的下底，所以从正上面看是一个圆”“从侧面水平看是一个等腰三角形”等。完成圆锥体的观察以后，教师可以再次展示等高、等底的圆柱体，让学生重复观察环节，寻找两者的相似之处，这时就有学生提出“底面相同、高相同”等相同属性；观察完成后，教师询问学生是否有关于圆锥和圆柱的思考，让学生用书面或语言的形式表达出来。需要注意的是，学生的猜想可能存在谬误，但是敢于猜想的精神值得肯定，所以教师要始终保持开放鼓励的态度，让学生合理地进行猜想。这时就有学生提出来“圆锥的侧视图看起来像是等腰三角形，圆柱的侧视图是一个长方形，按照侧视图的面积来看，圆锥和圆柱存在数量关系，圆柱的侧面积是圆锥的两倍，所以体积也可能是圆锥的两倍”；猜想完成以后，教师可以将学生的猜想罗列在黑板上，并开始用实际行动验证猜想的正确性。为了思考学生猜想的正确性，教师首先选择举正例的形式，即登高的长方形和正方形的侧视图面积比等于两者的体积比。不过紧接着教师又利用实验的方式进行验证，让学生用圆锥容器盛沙子，然后再倒进等底同高的圆柱中，最后发现圆柱的容量是圆锥的三倍。经过证明以后，学生发现圆锥的体积计算比较特殊，不能采用对比侧面积的方式得出与圆柱的正确关系。经过这项教学以后，学生认识到合情推理有助于帮助深度理解知识，辨析知识间的联系和差异，从错误的猜想中明白要从多种角度进行分析，这样才能更大限度地保证合情推理的有效性。

（二）在课堂教学的各个环节中引入合情推理

小学数学课堂教学内容可以分为知识讲解和问题解决，教师可以在两种教学中采用不同的方式发展学生合情推理能力。在知识讲解课中，学生会接触大量的概念和规则，而概念与规则形成的过程需要经历大量的观察、对比和归纳，才能全面概括同类事物的本质。由此可见，数学课堂中具有丰富的合情推理资源，教师要妥善地利用知识讲解课的结汇，引导学生识别规律、初步猜想、验证猜想。在这项教学过程中，教师可以引入类比推理和归纳推理的方法，正如学习了“商不变的规律”后，教师可以引导学生将这个知识点推至“分数和除法的关系”中，此时学生就会产生猜想“分数中是否也存在相同的性质”，如此便实现了应用属性推理的过程。经过的例子验证，学生发现这项猜想行得通。在此基础上上，教师要求学生继续增加猜想有关的条件，以此增加可靠性，最后学生在“相同的数”中排除了0，实现了归纳推理和类比推理的全过程。另外，在问题解决的教学中，教师可以引导学生从不同的角度观察问题，充分利用归纳和类比的方式，将问题解决的过程简单化。

（三）合理架构知识点，构建完整数学知识体系

合情推理需要坚实的数学基础知识做支撑，教师在日常教学中既要引导学生自主思考和分析问题，还要持续优化学生的知识结构。为此，教师要加深对学生知识结构的了解，在日常教学中帮助学生组织数学结构，将原本散乱的数学知识打造成完整的系统。这样做不仅能夯实数学基础，还可以促进学生提升归纳、类比能力，因为构建数学知识系统本身就是归纳的过程，学生在甄别知识类型的同时也会对相同的知识做类比。在完整知识体系的作用下，学生将会融会贯通既有的知识，进而用合情推理的方式提出新问题，作出新思考。

（四）把握合情推理时机，确保合情推理培养的有效性

合情推理的培养是一项持续的工作，小学数学教师应将其贯穿于日常教学中，不过教师在培养学生合情推理能力的同时也要把握适度性原则，在恰当的时机与教学内容中展开合情推理培养，而不是生搬硬套地用于各项教学活动中。可贵的、可靠的猜想才是有意义的猜想，所以合情推理的培养要紧密围绕教学目标进行，对能引发学生猜想的内容，教师应深入地讲解，给学生创造自主思考、猜想验证的机会。在不适宜合情推理的教学部分，教师只需一笔带过，过多赘述反而浪费教学时间。就小学阶段的教学内容来看，合情推理的主要对象还是集中于数与代数、图形与几何的教学中。

四、结语

在小学高年级数学教学中培养学生合情推理能力的重要性不言而喻，小学数学教师应在准确认知合情推理的基础上，不断优化合培养方式，构建内容丰富的评价体系，持续关注学生合情推理能力的发展，让学生在合情推理能力的支持下深度学习数学知识，发展创新、创造能力。