网络体系效能评估改进FDNA模型

邱禄芸, 方志耕, 陶良彦, 陶秋澄

(南京航空航天大学经济与管理学院, 江苏 南京 211100)

0 引 言

信息技术的高速发展和广泛应用使得复杂系统的集成、管理和评估问题愈发突出。现代战争中“联合全域作战(joint air defense operations, JADO)”、现代通讯中“天地一体化(sky-earth integration, SEI)”等进一步表现为“为了达成某种目标,由相互独立又相互协作的一些系统组织在一起的更高层次的系统组合”,这种组合被称为“体系”。体系概念经由Ackoff[1]的“一组集成的系统概念”,到Eisner等[2]的“体系内系统具有相互依赖性”,再到Maier[3]的“体系具备5项关键特性:组件系统的运行独立性、管理独立性、地理分布、涌现行为、进化性”而逐渐成熟。对体系效能做出准确评估是改进体系结构、优化指挥决策、完善行动控制的重要前提。而传统的针对单一系统的效能评估方法无法满足“巨系统”即体系的评估需求,亟待开展针对体系特性的新的效能评估研究。

目前,效能评估方法主要有数学解析法[4-5]、仿真分析法[6-7]、复杂网络法[8-9]等类型。功能依赖网络分析(functional dependency network analysis, FDNA)方法作为一种结合经验的数学模型,可对体系内组件系统的依赖关系进行建模和度量。该方法最早产生于风险管理领域,由Garvey和Pinto为了研究因系统之间的依赖性引起的连锁反应而提出[10-11]。在级联失效的研究上,有别于Markov方法对失效传递给后续系统的概率进行建模[12-13],FDNA方法直接对依赖关系的失效影响进行建模。该方法基于图论知识、冯·纽曼-摩根斯坦(von Neumann-Morgenstern, vNM)效用理论和风险管理最弱环规则(weakest link rule, WLR)展示了体系中组件系统的多层级依赖关系,体现了体系的“互联互动”“松散耦合”等特性。Guariniello等对FDNA方法进行了完善,提出了“自主效能(self-effectiveness, SE)”[14]“数据可用性(availability of data, AOD)”[15]“依赖影响(impact of dependency, IOD)”[16]等概念,并应用于航空航天领域[17]。文献[18]应用于金融网络体系,文献[19]应用于社交网络体系,文献[20]引入“降解指数(degradation index, DI)”用作局部依赖关系和全局关键节点的媒介,文献[21]将依赖关系进一步区分为“使能依赖”和“增强依赖”。在国内,也有不少学者开展了相关研究。张旺勋等丰富了“绝对自主效能”和“相对自主效能”的概念[22-23],并应用于卫星导航体系[24]。文献[25]引入“退化系数”,分析了装备体系任务能力依赖性,文献[26]研究了参数获取的办法,文献[27]研究了依赖关系的波及效应。

分析研究现状可知,以往的基于FDNA方法对体系效能进行评估存在以下不足:① 研究重点放在了对节点间的依赖关系分析上,而对效能结果作了单一性假设,这与实际不相符;② 没有考虑组件系统的多态问题,虽对“自主效能”概念进行了探索性分析,但是只停留在概念的界定上,没有考虑组件系统自主效能变化的内在逻辑,缺乏对组件系统是否存在多个状态、状态间是否以不同的速率进行转移、不同状态的效能衰减速度是否不同等问题的研究;③ 在进行体系效能评估时,没有考虑体系内组件系统的重要度问题。文献[14]虽也通过节点效能变化对其余节点的影响来识别关键节点,但其仅在主观上依靠影响节点个数和数值范围进行判断,缺乏严密的逻辑推理和数学证明。

因此,在使用FDNA方法对网络体系效能进行评估时,有以下改进要点:① 对体系效能进行评估,不能基于简单系统“分解、静态、孤立”的方式,必须用“整体、动态、依赖”的分析方法。体系是复杂动态环境衍生的技术框架[28],应构造包含时间变量的函数来了解、描述其演化过程;② 考虑组件系统的多态问题,基于组件系统状态转移的内在机理给出自主效能衰减函数的推理和自主效能衰减系数的定义,改进传统FDNA方法中的计算表达式;③ 体系缺乏“可加性”,体系的效能值并非所有组件系统效能值的简单相加[29]。应考虑组件系统对体系的影响,识别组件系统的重要性。最后,以文献[14]提出的五节点航天网络体系为例,验证了所提方法的可行性。

1 网络体系效能评估特性分析

在对网络体系效能进行评估时,要综合考虑以下几组看似矛盾,实则辩证统一的特征。

1.1 独立性及依赖性

Maier认为,组件系统的运行独立性和管理独立性是体系区别于系统的主要特征[3]。在单一系统内部,其各要素相互依存,无法实现独立运行。但对于体系来说,其组件系统具备松散耦合的特点[30],其独立运行时的效能变化对体系效能产生较大影响。因此,有必要将组件系统自主效能的变化作为一重要研究对象。

同时,体系是互相依赖的系统的集成[31],各组件系统之间存在上下游或其他逻辑的依赖关系,通过协作或交互方可提供体系完成任务所需的效能,必须考虑各节点间的依赖关系[32-33]。

1.2 动态性及稳态性

体系是不断演化的,具备动态性,其效能评估会受到组件系统本身(如损毁率、修复率等状态转移强度参数)及其依赖关系(依赖强度、依赖关键度)等相关参数的影响。应该抛弃效能单一性假设,科学的评估不应当是一次性的,而是持续的、动态的监测。

同时,常见的体系内的组件系统往往是有限状态,通过分析状态的一步转移概率,了解系统状态的特性,建立稳态概率的方程等方式,通常可以求出稳态解,了解当时间趋于无穷时,体系效能的稳态情况。

1.3 不确定性及规律性

体系的定义有很多,但“不确定性”是诸多概念的共识。应当把体系及组件系统的效能本质上看作随机变量,且网络拓扑结构的特性注定会带来级联效应[34],引发不确定影响。

同时,体系虽具有“涌现性”,但对其效能评估开展研究时,应侧重把握主要规律。例如,了解网络体系的拓扑结构规律、了解组件系统的状态转移规律、了解组件系统的重要度排序规律等,对这些问题的回答能够为发现体系的运行规律和揭示体系效能演化机理创造有利条件。

1.4 传统FDNA模型的改进方向

根据传统FDNA模型的简要介绍及网络体系效能评估的特性分析,可以对传统FDNA模型针对体系进行效能评估时的优缺点及改进方向做简要分析,如表1所示。“改进方向”为本文重点研究内容。

表1 传统FDNA模型针对体系效能评估问题的优缺点

2 改进FDNA评估模型构建

2.1 网络体系效能评估框架

评估过程分为5步:体系描述、组件系统的多态分析、FDNA方法的改进、组件系统的关键性识别、网络体系效能的评估。具体如图1所示。

图1 体系效能评估框架

(1) 体系描述

要对网络体系进行效能评估首先需要明确评估对象。评估对象可以是联合作战体系、卫星通信体系等独立系统之间、诸多系统与所处环境之间具备复杂关系、相互作用及深刻影响的体系。为把模糊、不确定的棘手问题简化为清晰、明确的模型,应将体系中组件系统抽象成节点,组件系统之间的关系抽象成边。

(2) 组件系统的多态分析

网络体系内组件系统的特征在于运行和管理的独立性,应重点考虑其自主效能的随机特性。根据组件系统的失效情况划分为不同状态,输入转移概率矩阵,通过Markov过程分析,可得到组件系统在不同状态下的停留概率函数,进而求得可靠度函数,为组件系统可靠度的重要度计算提供依据。

(3) FDNA方法的改进

为克服传统FDNA方法中依赖强度表达式中的固定参数导致的效能计算不准确的问题,重点关注组件系统自主效能衰减机理,通过状态转移密度矩阵及自主效能衰减矩阵,推导出自主效能衰减函数及系数,为传统FDNA方法中的依赖强度表达式的改进提供支撑。

(4) 组件系统的关键性识别

网络体系中每个组件系统的可靠度不同,对体系的影响也不同。在对整个网络体系效能进行评估时,必须要识别出组件系统的关键性。定义了“相关体系”的概念并求得可靠度,对组件系统的可靠度求偏导,得到组件系统的重要度。

(5) 网络体系效能的评估

根据组件系统始于不同状态时的自主效能衰减函数及重要度权重,求出整个网络体系的效能函数。

2.2 组件系统的多态及效能衰减分析

假设在某体系中有k个组件系统,所有组件系统在任一时刻可以有w个状态(如图2所示,0态为最佳状态,w态为完全失效状态,其余为中间态)中的一个状态。

图2 组件系统的多态转移示意图

(1)

假设初始条件即t=0时,组件系统为0态,即

(2)

体系或组件系统会在运行过程中发生故障、磨损、老化、被攻击乃至失效等的情况,组件系统的自主效能会发生下降,称此现象为自主效能衰减(decline of self-effectiveness, DoSE),DoSE为一个分布在[-100,0]区间的、以utils为单位的数值。

当组件系统Nj具有以下转移密度矩阵Aj及自主效能衰减矩阵Dj:

(3)

(4)

根据式(4)及矩阵Aj、Dj,可得

当t增大,组件系统Nj的自主效能平均衰减率为每小时1.43 utils,与初始状态无关。当Nj开始于n态时,10小时后自主效能的衰减量为9.499 utils,当Nj开始于m态时,10小时后自主效能的衰减量为20.702 utils。

一般情况下,重视对长期稳态特性的分析,令组件系统Nj的自主效能衰减函数为

(5)

在式(5)两端乘以组件系统各个状态下的稳态概率和,得

(6)

2.3 考虑效能衰减的模型参数改进

传统FDNA方法结构如图3所示,定义了接受节点与供给节点间两类依赖关系:依赖强度(strength of dependency, SOD)和依赖关键度(criticality of dependency, COD),分别由α和β两个参数表示,0≤α≤1,0 utils≤β≤100 utils。

图3 FDNA基本模型

图3中,节点Nj的效能依赖于k个供给节点效能,即

Oj=Min(SODOj,CODOj)

(7)

其中:

(8)

传统FDNA方法主要关注节点间的依赖关系及级联效应,默认节点本身的效能为100 utils,即不考虑节点本身的效能变化。然而在如联合作战体系、卫星网络体系等实际的体系环境中,普遍存在节点受到外界攻击、干扰或内在磨损、故障等诸多非依赖性关系造成的效能减退影响的情况。因此,有必要考虑节点自身的效能衰减。Guariniello、张旺勋等均对“自主效能”开展了不同程度的研究,将其定义为“不考虑任何依赖关系时,节点自身的性能状况”,为一个0到100的值。节点Nj的输出性能由SODOj和CODOj两部分共同决定,其中SODOj表示的是供给节点、依赖关系和接受节点自身共同作用对Nj的效能输出;而CODOj表示的是供给节点和依赖关系对Nj的制约或限制,接受节点在该部分没有贡献。因而,学者多针对SODOj的表达式开展改进研究。Guariniello用SEj直接替代了SODOj计算公式中的“100”,虽考虑了接受节点的自主效能,却较简单粗暴,没有考虑当自主效能极低时,依赖关系的有限性。张旺勋将接受节点的自主性能作为一个基础,依赖关系基于此按比例发挥作用,但该方法未考虑节点自主效能的衰减性、随机性,且将依赖强度速率设计为节点自主效能的比例关系,缺乏机理依据。

改进后的SODOij(t)的表达式如下:

(9)

基于图4数据,根据Garvey[10]、Guariniello[14]、张旺勋[23]及本文提出的式(9),四者计算结果的对比如表2所示。

图4 两组件系统的依赖关系

表2 4种方法的对比

由表2可以看出,当接收节点正常,而供给节点效能降低时,前3种方法与本文方法在t=0时的计算结果相同,由于接收节点自主效能存在衰减现象,本文方法在t为5及10时,接收节点效能有不同程度的下降。当接收节点的自主效能降低时,Garvey方法不考虑此因素,默认接受节点只受供给节点影响,有明显不足。Guariniello方法考虑了接受节点的自主效能,但仍有缺陷,如当接受节点完全失效,即SEj=0时,仍能通过依赖关系获得高达90 utils的效能,显然和实际情况相违背。张旺勋方法认为“接收节点是整个依赖关系的根本和基础,而不仅仅是部分”,因而当接收节点完全失效时,即便受到供给节点的支持,效能仍为0 utils。本文方法认同张旺勋法思路,计算结果相同。但当接收节点与供给节点均有不同程度的下降时,张旺勋法将接受节点的效能下降速度设为自主效能的0.01倍,科学性有待考究,当供给节点效能为60 utils,接受节点自主效能为30 utils时,接受节点在依赖关系的影响下,降至19.2 utils,结果与常理不符,本文方法考虑了“供给节点效能高于接受节点自主效能,可以提供贡献”,认为在t=0时,接受节点效能提升为57 utils,但受自主效能衰减影响,在t=10时,会降至37.83 utils。

2.4 组件系统的关键性识别

基于组件系统的多态分析、自主效能衰减机理分析以及改进的FDNA方法,可以求出单个组件系统在依赖关系的影响下的效能。为计算网络体系的效能,充分考虑各个组件系统的特殊性,需识别组件系统的关键性。

(10)

定理 2相关体系。若体系Ψ在组件系统xi(i=1,2,…,n)处为常量,即在所有(0i,X)上,Ψ(1i,X)=Ψ(0i,X),则第i个组件系统xi对于体系Ψ结构是不相关的,否则就是相关的。其中:

Ψ(0i,X)≡(x1,…,xi-1,0,xi-1,…,xn)

Ψ(1i,X)≡(x1,…,xi-1,1,xi-1,…,xn)

该定理的证明简单,证明过程省略。该定理证明了相关体系中的每一组件系统都是不可或缺的。

定理 3体系结构函数的和式表达式。对于一切n阶结构函数Ψ,所有的xi(i=1,2,…,n)皆有

Ψ(X)=xiΨ(1i,X)+(1-xi)Ψ(0i,X)

重复应用得

这个和式包含了所有n阶的二值向量,约定00≡1。

定理 4相关体系被并联、串联体系的性质所界定。对任意阶的相关系统Ψ(X)有：

证明在结构函数

中,若yj=1,有

或

对于对偶函数,亦有

即

或

证毕

定理 5相关体系可靠度的边值。令Ψ为一相关体系,在定理4的基础上,很容易得到:

(11)

式(11)含义为:相关体系的可靠度被体系的割集与路集界定,高于割集而小于路集。

定理 6组件系统可靠度的重要度。体系内组件系统的可靠度不同,对体系造成的影响也不同。将体系中组件系统Nj的可靠度的重要度定义为

(12)

2.5 改进的网络体系效能评估FDNA模型

在充分考虑网络体系内各个组件系统的可靠度的重要度的基础上,改进后的网络体系效能评估FDNA模型如下所示：

组件系统的效能函数为

(13)

其中:

(14)

网络体系的效能函数为

(15)

3 实例分析

以Guariniello和DeLaurentis提出的经典五节点航天网络体系为例[14],该网络包括地面设施(N1)、两颗卫星(N2和N4)、一架无人机(N3)和一艘船(N5)。链接表示通信和数据依赖:卫星和无人机需要来自地面设施的数据,无人机也使用卫星导航,船从无人机和一颗卫星获得数据。

图5 五节点航天体系

图6 对应的FDNA模型及相关参数

设N1～N5的初始自主效能为90 utils、80 utils、95 utils、90 utils、75 utils。状态转移矩阵Pj分别为

3.1 组件系统的多态及效能衰减分析

由于组件系统N3既是接收节点又是供给节点,所处的网络结构地位较特殊,因此以N3为例进行分析。根据PN1、式(1)、式(2),可得该组件系统在各态的停留概率时间函数：

图7 组件系统N3在各状态的停留概率函数

图8 组件系统N3的自主效能衰减曲线与效能曲线

根据式(6)可求得稳态时,该组件系统单位时间效能衰减期望值,其他组件系统的计算类似。表3为该体系内5个组件系统(假设均始于0态)的重要效能参数对比,包括自身效能、效能衰减量(t=2)、不考虑依赖关系的效能值(t=2)、考虑依赖关系的效能值(t=2)、单位时间效能衰减期望值(稳态)。

表3 组件系统的重要效能参数对比

据表3数据的第3行(仅考虑自身效能衰减时的效能)和第4行(既考虑自身效能衰减又考虑节点间依赖关系的效能)可知,N1作为供给节点,效能仅与自主效能衰减值有关,不受依赖关系影响。N2与N5由于自主效能较低,接受了来自于供给节点的数据支撑,使得效能值在自主效能衰减的基础上,略有所提升。N3与N4的供给节点自主效能衰减较大,使得此二节点的效能值在自主效能衰减的基础上,受依赖关系制约,略有下降。稳定状态时,单位时间自主效能衰减量最大的是N2,最小的是N4,可以为运行期间的维修策略提供数据参考,例如加强对N2的维修保养或做好备件供应。

3.2 可靠度的重要度分析及体系效能评估

该网络体系的最小路集为{N1,N2,N3,N5}, {N1,N4,N3,N5}, {N1,N3,N5}, {N1,N4,N5},最小割集为{N1}, {N5}, {N3,N4}。由式(11)可得下界(3个最小割集先并后串组成的结构)和上界(4个最小路集先串后并组成的结构),等效结构图如图9所示。

图9 体系的等效结构图

根据式(12),对于组件系统Ni的重要度IΨ(Ni)有:

将相关参数代入计算,可得各组件系统的重要度区间。再根据式(13)～式(15),可得组件系统始于不同状态时,网络体系效能的上下界限的演化情况,如图10所示。图10中,红色、蓝色、黄色区域分别为组件系统始于0态、1态、2态时的网络体系效能区间,整体随时间变化呈下降趋势。t=5时,始于0态的体系效能区间为[59.92, 66.77],始于1态的体系效能区间为[56.28, 63.2],始于2态的体系效能区间为[53.23, 60.81]。3个区域高度按0态、1态、2态递减且有所重叠,符合网络体系内组件系统的多态转移及效能衰减特征。

图10 体系效能上下界曲线

4 结 论

本文的3项重点工作为:① 研究了网络体系内组件系统的自主效能衰减机理。开展了Markov过程分析,提出了自主效能衰减函数及系数的概念,给出了相关公式和推导过程,优化了传统FDNA方法中依赖强度的表达式,克服了传统方法默认“自主效能为固定参数100 utils”及“自主效能一成不变”的缺陷;② 计算了组件系统可靠度的重要度。界定了“相关体系”“相关体系可靠度的边值”等概念,考虑了不同组件系统对体系的影响力,给出了网络体系效能的评估公式;③ 以经典五节点航天网络体系为例,进行了模型验证。可以为联合作战体系、卫星网络体系等类似网络体系提供效能评估与预测、重要节点识别、运行管理与维修等的现实问题的数据支撑与策略参考。

该方法在对网络体系进行效能评估时,可以较好地兼顾体系“独立性及依赖性”“动态性及稳态性”“不确定性及规律性”等的特性,发挥传统FDNA在分析体系中依赖关系的优势,克服传统方法存在的忽视组件系统的运行独立性、未考虑体系层面、效能结果单一性假设等缺点。构建的网络体系效能评估改进FDNA模型可以为类似的评估工作提供一定的参考价值。