一道IMO42不等式试题的探讨

冯光文 (云南省昭通市第一中学 657000)

本文从一道IMO42不等式试题说起，谈谈如何运用多种方法进行证明，并通过迁移和变通解决新问题，看清问题的源与流．

评注证法1两次运用柯西不等式，通过不等式的放缩进行转化，利用差值比较法以及n元均值不等式实现证明．

还有其他的变形方法，留给读者思考．

与问题2如出一辙，可用问题2的方法对其进行证明．文[3]中对②式用了五种方法证明，其本质上还是待定系数、去分母转化等．有些资料中有如下的问题：

问题3(2007年台湾地区竞赛题)设a,b,c为正实数，证明：

分析 与问题1对比发现，其结构一样，只不过分母根号内的系数由8变为9，这导致了两个不等式的下界不同．问题1有多种思考策略，本题亦如此，当然可以利用权方和不等式来证．

不难发现与问题1不同的是增设了一个条件a2+b2+c2=1，其他是一样的，可沿用问题1的方法解决，留给读者思考．我们还可以将上面的问题推广到下面的问题4．

问题5(2004年波兰数学奥林匹克试题)设a,b,c,d是正实数，证明：

分析 显然该不等式是对上面所讨论不等式的拓展，其结构与问题1～4类似，在文[1]中还是利用待定系数法对其进行证明．我们仍用权方和不等式进行证明．

问题1～5探讨了同源问题的来龙去脉，利用权方和不等式统一证明了这一系列的问题，同时还对其进行推广，获得了相应的结论．数学解题的核心素养就在于学会“观、思、变、论、推、创”，这样才学得灵活，学得透彻，学得富有新意．