浅论数学“解题模型”教学四步骤——以“十字架”模型为例

324400 浙江省龙游县教育局教研室 徐伟建

324402 浙江省龙游县小南海初中 余 昊

数学“解题模型”通常是指教师在解题教学中发现并总结出的一些结论性认识，它表现为一种能有效解决某类题型的技巧，是课标、教材中知识的进一步拓展、延伸或更加直观的表述[1].数学“解题模型”往往是学生解题时联想的“原型”，是探究问题的固着点，它能够启迪解题方向，帮助学生形成良好的解题直觉，并实现解题经验和方法的有效迁移.因此，在日常教学中，以“解题模型”的运用进行专题复习教学深受教师青睐.然而，笔者发现，“解题模型”教学中还存在着许多不足之处.例如，有的教学“掐头去尾”，采用“模型+练习”的方式，缺少模型提炼与深度拓展的过程，不知模型从何而来，到何处去；有的模型呈现割裂单一，缺少系统架构；有的模型运用机械重复，问题设计缺少层次感；还有的教学在模型运用之后，缺乏思想方法的提炼渗透等.种种数学“解题模型”教学的误区，使教学陷入“应试教育”的泥淖.

那么，如何开展数学“解题模型”教学呢？笔者以“十字架”模型的教学设计为例，探讨“解题模型”教学的四个步骤.

一、 模型提炼

数学“解题模型”是抽象的，而数学抽象需要学生经历观察、比较、分析、概括等数学学习活动.数学概念的抽象需要经历上述过程，数学“解题模型”的形成也是如此.“解题模型”的提炼过程，就是探寻模型出处，促进学生认知模型结构的过程.

图1

问题1已知：如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是BC，CD上的点，AE⊥BF.求证：AE=BF.

问题1为浙教版教材八年级下册“5.3正方形(2)”中的习题(P.127第4题).将问题1中的线段AE，BF位置进行适当平移，可得到如下问题2、问题3.

问题2已知：如图2，在正方形ABCD中，若E，F，G分别是BC，CD，AB上的点，AE⊥GF.求证：AE=GF.

问题3已知：如图3，在正方形ABCD中，若E，F，G，H分别是BC，CD，AB，AD上的点，HE⊥GF.求证：HE=GF.

图2图3

解析：对于问题1，可以直接判定Rt△ABE≌Rt△BCF，证得AE=BF.对于问题2，添加一条辅助线，构造Rt△GMF(如图4所示)，则Rt△ABE≌Rt△GMF,结论得证，也可以平移GF，将问题化归到图1解决.对于问题3，添加两条辅助线，构造Rt△HNE和Rt△GMF(如图5所示)，则Rt△HNE≌Rt△GMF,结论得证，也可以平移GF，HE，将问题化归到图1解决.

设计意图：问题1源自教材习题，问题2、问题3是问题1的变式.以教材习题及其变式题创设问题情境，有两方面的意义：一是让学生体会到“解题模型”根植于教材，探寻到模型的出处；二是为学生提供足够数量的感知材料，便于学生从中发现并提炼出“解题模型”.

图4图5

完成解题后，引导学生思考下列问题.

思考题1观察图1-图3，除了正方形之外，它们都有一个怎样的模型结构？

思考题2该模型需要具备的条件是什么？结论又是什么？

思考题3证明结论的方法是什么？

设计意图：设计三道思考题，重在让学生经历模型的提炼过程.思考题1引导学生在观察、比较、分析图1-图3的基础上,形象地感知解题模型——“十字架”模型.思考题2引导学生寻找模型具备的条件，即两条线段互相垂直，且垂线段的端点分别在正方形的两组对边上；结论是这两条垂线段相等.思考题3证明结论的方法是借助正方形的边和角构造出全等的直角三角形，再运用全等三角形性质得到.通过以上问题的探究，促进学生加深对模型结构的认知，为模型的迁移运用奠定基础.

典型的“解题模型”通常来源于教材，它是教材知识的拓展延伸.为此，情境问题应源自教材中的例题、习题，这能让学生体会到模型存在的重要基础，引导学生关注教材.模型提炼还应在预设或生成问题的启发引导下，让学生自主探究，发现、提炼模型，辨析模型条件，获得模型结论，掌握证明结论的原理或方法，这些都是模型运用与拓展的前提.因此，“解题模型”教学不能忽视模型的提炼过程.

二、 模型演变

在“解题模型”教学中，应该系统地、联系地看待“解题模型”.在进行教学设计时，应进行如下思考：还有没有其他模型可通过该模型演变得到？它们之间存在怎样的联系？变式模型是否也存在着广泛的运用？经过深入思考，系统地梳理模型及其变式，让学生从整体上架构起模型体系.例如，通过梳理发现，除了运用于正方形背景中，“十字架”模型在矩形背景中同样有着广泛运用，自然就得到如下的演变模型.

图6图7

思考：请你比较矩形和正方形背景中“十字架”模型的条件、结论和证明结论的方法，它们有何区别与联系？

设计意图：问题4使模型的背景由正方形变成了矩形.通过解题后的思考，学生进一步明确在矩形背景中，该模型的条件是两条线段互相垂直(即EF⊥GH)，且垂线段的端点分别在矩形的两组对边上；结论是这两条垂线段与矩形的边长对应成比例；解题的基本方法是借助矩形的边和角构造出相似直角三角形，再运用相似三角形性质解题.

三、 模型运用

心理学研究表明，数学模型在获得后若不能得到及时巩固与内化就会被遗忘，因此，运用、巩固模型是十分重要的环节.模型的运用应遵循知识发生、发展的逻辑链条，由浅入深、层层递进设计.通过模型运用环节，促进学生识别模型，运用模型的基本结论和方法解决新问题，达到学习经验有效迁移的功效.

问题5已知：如图8，在正方形ABCD中，若E，F分别是BC，AB上的点，且CF⊥DE，过点E作EG⊥DE，使得EG=DE，联结FG.试判断FG与CE的数量关系和位置关系，并说明理由.

图8

解析：FG∥CE，FG=CE.

理由：根据正方形中的“十字架”模型，可得DE=CF，因为EG=DE，DE=CF，所以EG=CF;因为EG⊥DE,CF⊥DE，所以EG∥CF.因此，四边形ECFG是平行四边形，得到FG∥CE，FG=CE.

图9

设计意图：问题5有一定的综合性，学生既要识别正方形背景中的“十字架”模型，运用其结论和方法，也要结合平行四边形判定与性质解决问题.问题6在矩形背景中增加模型个数，图形看似复杂，但若能识别模型，并两次运用模型结论，再进行适当转化，问题不难解决.问题5、问题6将完整的“十字架”模型置于较复杂的图形中，增强学生识别、运用模型的能力.

四、 模型拓展

数学“解题模型”的运用不仅局限于模型的直接运用，还需要适度拓展，通过模型拓展运用，拓宽学生视野，发展学生思维，渗透化归等数学思想方法.模型的拓展运用，通常可采用“虚化”模型结构或者“弱化”模型背景等策略，化“全模”为“半模”，引导学生以模型为固着点，展开积极的联想，找到解题方向，使问题化生为熟、化难为易，从而达到从运用模型向构建模型的跨越.

问题7如图10，将边长为4的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边上，求折痕FG的长度.

图10图11

图12图13

设计意图：对于问题7，直接求出折痕FG的长度比较繁琐，通过观察可以发现，线段GF的两个端点在正方形的一组对边BC，AD上，如果另外有一条线段的两个端点在另一组对边上，且与GF垂直，就可以利用“十字架”模型解决问题，这就为解题提供了联想的方向.依据图形折叠性质，联结对称点A，E，隐藏的“十字架”模型即浮出水面(如图11所示)，问题迎刃而解.问题8虽然具有完整的“十字架”(AM⊥DN)，但垂线段AM，DN的端点并不满足在矩形的两组对边上，观察图形特点，借助∠ABC=90°，通过添加辅助线构造出矩形背景(如图13所示)，此时，顿有一种豁然开朗的感觉.对于模型的拓展运用不能停留在解决问题的层面，还需要适时反思，感悟其中的数学思想方法.例如，解题后引导学生再思考以下问题：你为什么会联想到“十字架”模型？你是怎样转化到“十字架”模型的？在转化的过程中，你运用了什么数学思想方法？在反思感悟的过程中，学生自然能深刻感受到化归、类比等数学思想方法的神奇力量，也实现了知识与经验的有效迁移.

“解题模型”的拓展运用关键在于问题的设计，问题既要有层次性，避免机械重复地讲解与练习，也要有适切性.问题并非越难越好，好的拓展题应让学生从题意中联想到“解题模型”，启迪解题方向，形成解题思路，让学生体会到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的成就感和愉悦感.这样的拓展运用既能起到固本的功效，让学生体验到模型学习的意义，又能帮助学生积累联想经验，提高解题能力，发展学生思维水平.

五、结语

数学“解题模型”的教学要让学生经历“模型提炼、演变、运用、拓展”这一完整的学习过程，在过程中让学生探寻模型出处，认知模型结构，架构模型体系，实现从识别模型到构建模型的提升；“解题模型”教学既要注重模型基本结论的运用，也要注重数学思想方法的提炼与渗透，这样才能发挥“解题模型”教学的更大价值.