利用Lagrange方程演绎Schrodinger方程的守恒定律

杨 祺 张琦森 郑永刚

（1.云南师范大学 物理与电子信息学院，昆明 650092；2.云南师范大学 附属世纪金源学校，昆明 650214）

量子波动力学的方法早在1926年，由物理学家Schrodinger完成，并发展为今天的基本理论。然而，量子力学的波动方程和经典力学的场仍然有很多相似之处，我们知道在相对论量子场论中，可以将Draic方程通过最小作用量原理构造得到。与此类似的，可以使用最小作用量原理构造Schrodinger方程，并且将量子力学波函数比作经典场的话，量子力学的能量、动量、角动量守恒可以完全看成是经典场的结果。本文介绍通过构造Schrodinger方程的Lagrange函数的方法，利用最小作用量原理来得到量子力学的守恒定律的微分方程——动量、能量、角动量的守恒形式，而其这一结果并不违背我们熟知的守恒量算符在Hilbert空间的内积的结果。并其通过U（1）对称性，得到了流守恒定律。

1 Schrodinger方程与Lagrange方程

在相对论性量子力学中，经典场的Lagrange方程[2-3（]文中使用Cartesian张量，采用Einstein求和约定[4]）

由于我们讨论Schrodinger方程（或者是波动方程）是低能的非相对论方程，因此其Lagrange方程为[1，3，12，14]

对于粒子的Schrodinger方程，我们构造其Lagrange密度函数为[1，3，11]

由此即可生成Schrodinger方程

2 Noether定理和守恒定律

经典场在满足空间、时间和转动不变性时就分别对应动量、能量和角动量守恒定律，这是我们已经熟知的结果，其守恒定律对应为如下方程

其中θij…k为守恒量的空间密度函数，Θkij…l为对应守恒量的守恒流，根据Noether定理选择如下无穷小变换[2，3，5，6，15]

场和Lagrange密度的变化为

也就是

所以我们可以得到

积分测度的变化取决于Jacobian行列式

所以因为坐标变换而导致的作用量变化为

代入上面的公式，并注意在运动方程（2）的条件下满足最小作用量原理，由于

代入作用量变分就可以得到

我们假设变换具有如下一般形式

当aij…k=0时，变换为恒等变换，因此上面的方程可以构造得到

当时间变换满足，而空间不发生改变时，对应的守恒密度和守恒流为

这里的ρ就是能量密度，Sk是能流密度矢量；同样对于空间变换x=x+a，有动量守恒，其动量密度和动量流密度为

选择空间转动变换（无穷小转动）[2-3]

其中aij是无穷小转动矩阵，并且满足aij=-aji，因此

所以根据（7）（8）的构造，对应的守恒量

按δij展开后得到

3 Schrodinger场中的力学量

当我们代入三维粒子的Schrodinger方程的Lagrange量（4），由（9）到（14）式得到对应的能量密度，动量密度，角动量密度为

由于量子物理量的积分意义，所以对应粒子的能量、动量、角动量为[7，13]

由于量子的统计意义，对（15），（16），（17）正是粒子的能量，动量，角动量在坐标表象的分布函数。（18），（19），（20）与算符在Hilbert空间的内积的结果是一致的。不过，对于量子力学的波函数而言，因为其复场的性质，因而在U（1）对称性下，也就是在变换ψ′=ψeiα下，根据（6），（7），（8）构造得到有守恒定律[8]。

4 总结

本文将量子力学的波函数当成了经典力学的场，通过最小作用量原理构成得到了Schrodinger方程的Lagrange函数，并由Noether定理的构造得到量子力学的动量守恒、能量守恒、角动量守恒及概率流守恒，这些守恒定律分别对应空间、时间和转动不变性以及U（1）对称性。这个部分为Schrodinger场论中关于对称性和守恒定律的证明，我们希望通过对场论的证明能够帮助量子物理的学习者从经典物理的角度来联系量子物理的内容。因此，文章并未讨论二次量子化后的场的算符形式。场论的方程在固体物理中和凝聚态物理可以和其他准粒子场耦合，由于不涉及二次量子化，在此不过多赘述。