以问题设计为手段 发展学生核心素养——以“两角和与差的余弦公式”教学为例

王 燕 (江苏省梁丰高级中学 215600)

新一轮课程改革以培养学生“核心素养”为目标，普通高中数学课程标准所设定的核心素养的本质就是抽象、推理、模型．数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．基于“四基”的数学教学就是基于数学核心素养的数学教学．[1]这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体．数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现．数学教育的终极目标是用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界．

随着课程改革的深入，广大教师的教学理念也发生了重大转变，学生的学习方式也随之转变．教师与学生在课堂上的角色也在不断地发生变化．教师从单纯的知识传授者转变为学生学习的促进者、课程的开发者和研究者．学生也从学习上的接受者转变为教学活动的参与者、问题的研究者和学习者．

一堂高效的数学课，首先应该基于对教学目标的准确定位，在课堂教学中基于目标分步骤实施教学计划.在教学实践中，重要的是教给学生研究问题的方法，让学生学会学习，从而使学生的数学核心素养培养得以落实．课堂教学设计是课堂成功与否的关键，设计的成功与否在于能否吸引学生融入到课堂中去．本文以“两角和与差的余弦公式”的教学设计为例，谈谈在数学课堂教学设计中，如何渗透数学核心素养的培养．

1 回顾旧知，引出问题

我们在必修四第二章《平面向量》中，学习了向量的概念及表示、向量的运算和坐标表示，以及向量的数量积．数量积公式a·b=|a||b|cosθ(其中θ为向量a,b的夹角)，另外a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a·b=x1x2+y1y2．

设计意图引导学生从联系与变换的角度自然地提出接近研究水平的问题，增强学生的问题意识．不直接提出先研究cos(α-β)，是为了使探究更真实、更自然．

2 解决问题，意义建构

2.1 大胆尝试，合理猜想

问题3如何用角α,β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)呢？如果没有特别说明，α,β都表示任意角．同学们第一反应这个结果可能是什么？

如果有学生提出cos(α-β)=cosα-cosβ．

师：既然是猜想，那就根据我们所学的知识来验证这个猜想是否成立．当a=60°,β=30°时，同学们动手算一算，等式两边相等吗？

师：我们再取一组角α=120°,β=60°，通过验证，我们可以得出这样的结论，对角α,β，cos(α-β)≠cosα-cosβ．下面让我们先讨论α,β,α-β都是锐角的情况．

设计意图进一步强化学生的猜想与探究意识，同时让学生感受或学会思维受阻时如何“拐弯”，发展学生的逻辑推理素养．

问题4怎样用α,β的三角函数来表示cos(α-β)？

引导学生构造如图1所示的直角三角形，并用割、补的方法得到cos(α-β)=OM=OB+BM=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα．

设计意图让学生感受如何化陌生问题为熟悉问题，如何通过作辅助线，用“割补法”寻找量与量之间的联系，利用几何直观发展直观想象和逻辑推理的数学素养．

2.2 联想旧知，科学证明

问题5上面这个式子是否对任意角α,β都成立？

教师借助事先设计的多媒体软件，由学生提出任意角进行验证．数学是严谨的，数学结论必须经过严格的逻辑证明．现在初步结果已经出来，目标和方向已经明确．请大家仔细观察上面两式的构成要素和结构特征，看看从中会得到什么样的启发？产生怎样的联想？或有什么新的发现？

问题6如何证明cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ？(学生分组讨论，共同解决问题)

设计意图引导学生关注两个向量的夹角θ与α-β的联系与区别，并通过观察和讨论搞清楚α-β=2kπ±θ(k∈Z)，增强学生用数形结合、分类讨论的方法解决问题的意识，感受数学思维的严谨性．

问题7从刚才我们推导两角差的余弦公式的过程来看，大家有什么启发和感悟？教材为什么要先提出求cos(α-β)？

设计意图引导学生从探究思路、数学思想方法、所用到的数学知识等方面进行回顾与反思，强化学生的思维发展，突出向量的工具价值．

问题8我们能否利用两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？

生：在两角差的余弦公式中，用-β代替β，可以得到cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosβcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ，所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ．

师：请同学们总结两角和与差的余弦公式的特点．

生：(1)对任意的角α,β均成立；(2)左右两边的符号相反；(3)右边三角函数排列顺序是 cosαcosβ,sinαsinβ．

师：利用向量的数量积公式通过算两次的方法，我们推导出了两角差的余弦公式，通过“用 -β代替β”的换元法，我们得到了两角和的余弦公式．今后我们可以运用这组公式来解决非特殊角的三角函数求值问题．

3 运用巩固，培养能力

例1利用两角差的余弦公式求cos 15°, cos 75°的值．

引导学生用15°=45°-30°和15°=60°-45°两种方法求解．

设计意图通过例1的讲解，让学生当堂巩固两角和与差的余弦公式，感受15°角的不同拆分方式．

师：请同学们自编一个利用两角和与差的余弦公式求解的题目，并且尝试自己解决．

设计意图例2的设计，主要是为了强调角的范围对三角函数值正负的影响，同时通过本例给学生示范解答的规范性．教师在课堂上给学生适当的铺垫、点拨、示范，指导学生提问的方向和思考问题的路径．通过让学生尝试编写题目，培养学生提出问题的能力．

4 回顾总结，提升认识

本节课你有哪些收获？学到了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？学生交流后归纳，教师补充完善．

设计意图让学生对探究的过程与思路、方法有一个清晰的认识，进一步达到“教思维”的目的．

5 拓展阅读，渗透文化

无字证明：20世纪90年代末美国《数学杂志》开辟没有文字的证明专栏，受到广大数学爱好者的关注，图3就是其中刊登的一个典型案例！

设计意图通过阅读材料的介绍，可以丰富学生对数学发展史的认识，拓宽学生的知识面，提高学生学习数学的兴趣，同时也将数学文化融入课程．

6 课后作业，巩固延伸

(1)教材106页，习题第1～6题；(2)试自主探究公式Sα+β，Sα-β，并加以证明．

设计意图通过课外作业的布置，达到对课堂知识的复习巩固和强化的目的．另外，适当布置一些探究性的问题为下一节课作铺垫，起到承上启下的作用．

7 感悟反思，促进提高

在本节课的教学设计中，教师以问题的提出和解决作为这堂课的出发点和归宿地，以问题为主线的教学方式使学生始终处于主动探索的状态，有助于有效提升课堂教学效率．每个教学环节紧紧围绕教学目标的达成而精心设计，以问题为载体，在教师创设的问题情境中，每个学生都积极投入探究过程，学生在疑惑中去探索，在探索中去思考，在思考中去发现．教师搭建学习平台，并给学生充分表现的机会，把学习的主动权真正地交给学生，以实现学生角色的转变．课堂上教师只是适时对学生进行引导，把实践的空间都留给学生进行思考、探究、交流．教师树立以发展学生数学核心素养为导向的课程意识与教学意识，将数学核心素养的发展贯穿于数学课堂的全过程．

高中数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考，引导学生会学数学、会用数学．问题是推动学生自主探究的主要动力，启发学生的问题意识是生态课堂的重要部分，问题意识是思维的起点．美国教育家布鲁巴克认为：最精湛的教学艺术，遵循的最高准则，就是学生自己提出问题．爱因斯坦指出：“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要．”教师根据教学内容设置问题固然能使教学按照既定方向进行，但是学生获得的仅仅是数学上或是实验上的技术，而让学生提出新的问题，发现新的可能性，却可以唤醒学生的想象力，让学生不再缺席“提问”这一科学探究中最重要的一环．本节课在讲完例2之后，教师通过让学生自己编题这一环节，给学生搭建平台，引导学生自主提问．体现了教师在教学中落实“四基”，培养“四能”，促进学生数学核心素养的形成与发展．

本节课教师从学生的学情出发，站在学生的角度去探索问题，给学生提供更多探索新知的机会，激发学生学习数学的兴趣，为学生思维能力的提升搭建平台．教师是学生自主探究的引导者、组织者，当然教师在教学中的引导作用必须以确定学生主体地位为前提．在教学的每个环节，都应通过启迪和引导，使学生参与到分析知识的形成过程中去，从而使学生思维能力得到有效的培养和开发，我们的课堂教学效益才会在更大的范围内、更深的层次上产生质的飞跃，才能保证数学教学始终在新的理念指导下获得预期的教学效果，才能实现数学教育的终极目标．