数学概念模糊对解题的影响及应对策略*

贾震霆 (南京师范大学教师教育学院 210024)

姜海波 (盐城师范学院数学与统计学院 224002)

数学概念是人类对现实世界空间形式和数量关系的概括反映.其来源于两方面，一是对客观世界中的数量关系和空间形式的直接抽象，二是在已有数学理论上的逻辑建构．[1]学生学习数学知识的过程往往不是一蹴而就的，在知识的传授与知识的内化过程中经常会发生各种错误.学生通过对错误的解决，弥补知识体系的漏洞，逐渐形成知识网络．数学概念学习也不例外．

学生学习知识的过程也是主动建构的过程，是在已有知识结构的基础上不断拓展的过程，因此，旧的知识结构会对学生学习新的概念产生阻碍作用，甚至让学生以错误的思维方式学习新概念；另一方面，学生在学习完新概念后，不注重理解概念的本质，没有与头脑中的其他概念或知识产生有效的联系，新学的概念犹如“孤岛”一般，导致学生在解题过程中很难联想到运用新学的概念解决问题．

1 概念学习错误类型

李善良教授将数学概念学习中的错误分为过程性错误与合理性错误.过程性错误是在数学概念形成的过程中，各个阶段或层次可能产生的错误概念；合理性错误是学生认知的“惯性”或者个性倾向的“偏好”导致的错误．[2]下面通过几个例子来分析这两类错误．

1.1 过程性错误

案例：日本教育家藤井齐亮为了考察学生对不等式性质的理解程度，提问学生如何解不等式x-2>5，学生异口同声回答通过等式两边同时加上2，即x-2+2>5+2．继续提问如果在不等式较大的一端加2，较小的一端加1，即x-2+2>5+1，保证不等式方向不变，但是为什么得出了不一样的答案？不少学生面面相觑，前面的解法解出x>7，后面的解法解出x>6，而这两种解法都符合不等式的性质，学生开始陷入矛盾之中．

其实，这便是学生概念学习过程中的过程性错误，在学习概念时并没有明晰其定义，了解其本质，导致无法判断相应的题目．不等式性质可以分为等价关系和推出关系，等价关系如同充要条件，条件和结论是等价的，案例中的前一种做法在不等式两边同时加上2，是不等式性质中的加法单调性，属于等价关系，所以解出的答案和问题等价，即任意符合答案条件的x也满足问题的条件．推出关系则类似充分条件，案例中的后一种解法在不等式两边加了不同的值且保证不等式方向不变，是不等式性质中的同向不等式可加性，属于推出关系，即满足答案条件的x不一定符合问题条件，换句话说，可以由问题推出答案，但不能由答案推出问题．

1.2 合理性错误

例1在直角三角形ABC中，已知a=3,b=4，求c的值．

这是一道非常简单的运用勾股定理便能求解的题，但不少学生只求出c=5，忽视了边b为斜边的情况，这正是思维定势造成的．在平时做题过程中，直角三角形中三条边的长度分别为3,4,5的情况非常多见，于是久而久之形成思维定势，学生在遇到这道题时，默认a和b为直角边，导致了少算一种情况．

六年级学生对小数和分数概念及运算已经熟练掌握．然而一项调查显示，在判断“两个数的积与这两个数的差(0除外)，在任何情况下都不会相等”时，300人中只有41人(14%)给出了正确答案，究其原因则是学生把思维限定在自然数中[2]，而题目并没有明确规定这两个数的数域．学生在做题时无意识地给题目加上限制条件，从而造成了这样的错误．

2 应对策略

2.1 授课数形结合，强调直观理解

华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”学生在学习新的概念时，会先借助实物、模型、直观教具在头脑中进行表征，这是学习知识的第一步，对随后的内化知识及运用知识起到基础性作用．在学生学习几何学及函数时尤为明显，比如，在学习指数函数时，首先引入指数增长的图形，通过观察图形，明白指数函数是一种不同于以往一次函数、二次函数的函数，它的增长率是常数且为爆炸式增长，然后再结合图形，研究指数函数的性质．

教师通过形象的几何直观，帮助学生建立正确的表象，有利于加强学生对概念本质的理解，有利于培养学生良好的做题习惯.做题时通过作图辅助解答，也有利于培养学生数形结合的思想，将枯燥的数学符号转化为生动多样的图形．当学生解题时忘记了相关概念及性质，也可以通过作图，辅助回忆相关概念，比如通过作图比较指数函数y=ax与y=bx(a>b>0)在实数域R上函数值的大小．

2.2 抓住本质特征，正确概括概念

数学概念定义最为关键的一步，是对实例中各种特征进行概括，抽象出本质属性.学生在概括时，可能会将非本质特征当作本质特征进行概括，可能只概括了部分本质特征，也可能歪曲了本质特征．[3]以几何学为例，几何的研究对象是点、直线、平面等基本几何元素，以及三角形、四边形、圆等各种各样的几何图形．几何图形的性质是由几何要素之间的位置关系、大小关系确定的，比如，相交线会形成四个角，这四个角之间的关系便是顶点和边之间的关系，因此这四个角之间确定的位置关系、大小关系就是相交线的性质；而对于平行线，直线是平面的组成要素，因此探讨平面内两直线平行便是探讨平面内其他直线与这两条直线的关系；对于三角形，三角形的边与角之间的相等与不等的关系，构成不同的三角形及对应的不同性质[4-6]．

很多时候，学生会把做错题目的原因归于马虎、粗心等，但这只能反映小部分原因，实际情况是学生对概念掌握得不牢固，没有理解概念的本质特征或者歪曲了本质特征，在看到正确答案后似乎已经掌握，但仍然是一知半解.他们只是订正了答案却不反思为什么出错，导致下次碰到同样的题目依旧出错．所以对于数学概念一定要抓住其本质特征，以小见大、见微知著，掌握本质特征后也会对概念的性质、其他相关概念的学习产生促进作用．

2.3 注意条限定件，回归概念本质

2.4 打破思维定势，加强变式训练

思维定势是指个体由于学习积累起来的习惯倾向，以自己最熟悉的方式作出反应的倾向．比如拿到一道数学题目，学生会回忆有没有做过类似的题，再套用类似题目的思考方式及解题思路，对新题目尝试解答．思维定势在解决问题过程中可能起着积极作用，也可能起着消极作用：当问题情境不变时，它能够提高解决问题的效率；当问题情境改变时，它使得思维刻板化，阻碍学生想到新的方法来解决问题．

作业，作为教与学的交叉点，是学生学习知识、培养能力、发展思维的最常见的一项实践活动，是学生在实践中巩固深化知识、形成熟练技能的重要环节，是课堂教学的补充和延伸，也是师生交流信息的一个重要窗口，是完成教学目标不可或缺的环节．[7]然而目前高中数学作业存在以下弊端：数学作业缺乏针对性与有效性，缺乏层次性与选择性，缺乏多样性与创新性，缺乏启发性与拓展性．[8]

3 小结

学生在学习概念过程中，难免会出现错误，然而错题本身是一种资源，通过对错题的分析，找到学生犯错的原因，对症下药尝试改正，解决概念上的漏洞，形成良好的知识网络.通过如此的错误样例，能够有效促进学生的批判性思考，提高学生探究事物的能力和对知识的准确理解，增强学生的内部动机，提高学习者的自我效能感，减少焦虑；同时，纠错过程中也能激发并集中学习者的注意力．[12]因此，学生自身要积累在练习与测试中的错题，对模糊的概念有针对性地查漏补缺；教师要注重搜集普遍性的错题，对班级的共性问题进行有效解决；同时，也要注重收集历年典型错题，作为课堂教学的有效补充．[13]