一类二元最值问题的解法探究

2022-11-14 16:30孟伟业
中学数学 2022年3期
关键词:约束条件所求最值

孟伟业

(江苏省扬州大学附属中学 225009)

二元最值问题是指含有两个变量、以求解最大值或最小值为目标的一类数学问题.本文对以为约束条件的二元最值问题进行探究,以两道具体的二元最值问题为例,寻求解决这类问题的方法.

1 问题呈现

问题1

(2018年南通密卷一第13题)已知则的最小值是

.

问题2

(2019届如皋2.5模第13题)已知正数

x

,

y

满足则的最小值为

.

2 分析求解

运用基本不等式求解多元最值的问题中,有一类重要的问题就是“已知

ax

+

by

=

c

,求的最小值(其中

a

,

b

,

c

,

m

,

n

均为正的常数)(*)”.考虑到

x

与与的相对性,这类问题也可以变形为:已知求

mx

+

ny

的最小值;已知求的最小值;已知求的最小值.对于这一类问题,我们常用“1”的代换,问题(*)可用乘“1”的方法加以解决,即当且仅当时,取“=”.

问题1的约束条件是这正是(*)中“条件”和“目标”的和式的结构,本题所求的目标出现在约束条件中,于是约束条件可以“重组”为而当且仅当时,取“=”.于是问题1的解答如下:

设则

a

+

b

=10.因为当且仅当时取“=”),所以

a

(10-

a

)≥16,解得2≤

a

≤8,所以的最小值是2.

问题2的约束条件是目标是“求的最小值”,所求目标并未出现在条件中,即使“配凑”得到也无法借鉴问题1中的方法加以解决.但我们可以在目标中加上一个“0”,可以得到的结构,这样利用两次基本不等式也可以研究最值,于是问题2的解答如下:

当且仅当时取等号,且满足条件.

3 深入探究

问题2的解答让人感觉非常巧妙,一切很和谐.从结构上看,问题2和问题1差不多,约束条件均是的结构,前面我们得出问题1的答案是2.下面我们尝试用问题2的方法解答问题1,即有当且仅当时,取“=”.但此时故这一方法失效.但是也给我们启发,这里失效的原因是最后不能取等号,那么能否用待定系数法求出具体的系数,让等号能够取到呢?

下面用待定系数法尝试解答问题当且仅当时,取“=”.

要使得等号成立的

λ

是多少呢?“回代”到原来的条件,得即即由

λ

>0,解得即所以故的最小值为2.

4 揭示本质

在高等数学中,对于约束条件为

φ

(

x

,

y

)=0的二元函数

z

=

f

(

x

,

y

)求极值问题,可运用拉格朗日乘数法,先作拉格朗日函数

F

(

x

,

y

)=

f

(

x

,

y

)+

λφ

(

x

,

y

),其中

λ

为拉格朗日常数,则由方程组解出

x

,

y

λ

,其中(

x

,

y

)就是函数

z

=

f

(

x

,

y

)在约束条件

φ

(

x

,

y

)=0下的可能极值点,进一步即可求出

z

=

f

(

x

,

y

)的最值.用待定系数法求解问题1,表面上加了“

λ

·0”,实际是构造了拉格朗日函数整理得根据结构特征,运用两次基本不等式,将取等的条件再代入约束条件

φ

(

x

,

y

)=0,求出进而求出的最小值为2.问题2实际是取

λ

=1,构造了拉格朗日函数整理得根据结构特征,运用两次基本不等式,取等的条件恰好满足条件

φ

(

x

,

y

)=0.根据上述的分析,虽然都是构造“拉格朗日函数”,但由于整理后为(

a

,

b

,

c

,

d

∈(0,+∞))”的形式,所以并未采用高等数学中的求偏导数的方法,而是运用基本不等式进行求解.

5 方法归纳

解决“约束条件为求或的最小值”这类问题时,若采用构造“拉格朗日函数”,在满足基本不等式成立的条件下(

a

,

b

,

c

,

d

,

m

,

n

不一定要全为正数),运用基本不等式即可使得问题求解.但事实上,根据取等条件,反求待定的

λ

值不是一件容易的事情(常用观察法确定

λ

的值).但是根据前面的分析求解、深入探究以及揭示本质,我们可以进一步归纳这类问题的解法:①所求的目标在条件中出现时,可以利用求出

X

Y

的最值(如或等);②在①的研究中,计算

XY

时,可能出现形如

xy

或等结构,我们可以由解得或的范围,类似地,也可以由解得

xy

的范围;

③所求的目标形如或时,无论是否出现在约束条件中,均可用构造“拉格朗日函数”的方法,在符合基本不等式应用的条件下,利用基本不等式求解.

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