孟伟业
(江苏省扬州大学附属中学 225009)
二元最值问题是指含有两个变量、以求解最大值或最小值为目标的一类数学问题.本文对以为约束条件的二元最值问题进行探究,以两道具体的二元最值问题为例,寻求解决这类问题的方法.
问题1
(2018年南通密卷一第13题)已知则的最小值是.
问题2
(2019届如皋2.5模第13题)已知正数x
,y
满足则的最小值为.
ax
+by
=c
,求的最小值(其中a
,b
,c
,m
,n
均为正的常数)(*)”.考虑到x
与与的相对性,这类问题也可以变形为:已知求mx
+ny
的最小值;已知求的最小值;已知求的最小值.对于这一类问题,我们常用“1”的代换,问题(*)可用乘“1”的方法加以解决,即当且仅当时,取“=”.问题1的约束条件是这正是(*)中“条件”和“目标”的和式的结构,本题所求的目标出现在约束条件中,于是约束条件可以“重组”为而当且仅当时,取“=”.于是问题1的解答如下:
设则a
+b
=10.因为当且仅当时取“=”),所以a
(10-a
)≥16,解得2≤a
≤8,所以的最小值是2.问题2的约束条件是目标是“求的最小值”,所求目标并未出现在条件中,即使“配凑”得到也无法借鉴问题1中的方法加以解决.但我们可以在目标中加上一个“0”,可以得到的结构,这样利用两次基本不等式也可以研究最值,于是问题2的解答如下:
当且仅当时取等号,且满足条件.
问题2的解答让人感觉非常巧妙,一切很和谐.从结构上看,问题2和问题1差不多,约束条件均是的结构,前面我们得出问题1的答案是2.下面我们尝试用问题2的方法解答问题1,即有当且仅当时,取“=”.但此时故这一方法失效.但是也给我们启发,这里失效的原因是最后不能取等号,那么能否用待定系数法求出具体的系数,让等号能够取到呢?
下面用待定系数法尝试解答问题当且仅当时,取“=”.
要使得等号成立的λ
是多少呢?“回代”到原来的条件,得即即由λ
>0,解得即所以故的最小值为2.φ
(x
,y
)=0的二元函数z
=f
(x
,y
)求极值问题,可运用拉格朗日乘数法,先作拉格朗日函数F
(x
,y
)=f
(x
,y
)+λφ
(x
,y
),其中λ
为拉格朗日常数,则由方程组解出x
,y
及λ
,其中(x
,y
)就是函数z
=f
(x
,y
)在约束条件φ
(x
,y
)=0下的可能极值点,进一步即可求出z
=f
(x
,y
)的最值.用待定系数法求解问题1,表面上加了“λ
·0”,实际是构造了拉格朗日函数整理得根据结构特征,运用两次基本不等式,将取等的条件再代入约束条件φ
(x
,y
)=0,求出进而求出的最小值为2.问题2实际是取λ
=1,构造了拉格朗日函数整理得根据结构特征,运用两次基本不等式,取等的条件恰好满足条件φ
(x
,y
)=0.根据上述的分析,虽然都是构造“拉格朗日函数”,但由于整理后为(a
,b
,c
,d
∈(0,+∞))”的形式,所以并未采用高等数学中的求偏导数的方法,而是运用基本不等式进行求解.a
,b
,c
,d
,m
,n
不一定要全为正数),运用基本不等式即可使得问题求解.但事实上,根据取等条件,反求待定的λ
值不是一件容易的事情(常用观察法确定λ
的值).但是根据前面的分析求解、深入探究以及揭示本质,我们可以进一步归纳这类问题的解法:①所求的目标在条件中出现时,可以利用求出X
或Y
的最值(如或等);②在①的研究中,计算XY
时,可能出现形如xy
或等结构,我们可以由解得或的范围,类似地,也可以由解得xy
的范围;③所求的目标形如或时,无论是否出现在约束条件中,均可用构造“拉格朗日函数”的方法,在符合基本不等式应用的条件下,利用基本不等式求解.