4-维幂零李代数的Hom-Lie代数结构

林丽芳，曾月迪，陈梅香

(莆田学院数学与金融学院，福建 莆田 351100)

0 引言

在研究向量场上Witt代数和Virasoro代数的量子形变时，Hom-Lie代数的结构得到了学者的关注与研究[1].Hom-Lie代数作为李理论的一个重要研究方向，与李代数有着十分密切的关系.近年来一些特殊李代数上的Hom-结构得到了充分研究，比如一个5-维可解李代数[2]、(n-3)-filiform李代数[3]、扭Heisenberg李代数[4]、李代数W(2,2)[5].作为一类重要的李代数，幂零李代数的结构和表示在李理论的研究中占有重要地位.GRAAF[6]通过确定基元的方法给出了低维幂零李代数的分类.本文根据低维幂零李代数在同构意义下的分类，确定了4-维幂零李代数的Hom-李代数结构.

1 预备知识

定义1[1]设L为域上的向量空间，带有线性映射α:L→L，L上定义一个乘法运算[-,-]:L×L→L(称为方括号)，如果满足以下条件：

(i)α[x,y]=[α(x),α(y)], ∀x,y∈L；

(ii)[λ1x1+λ2x2,y]=λ1[x1,y]+λ2[x2,y], ∀λ1,λ2∈, ∀x1,x2,y∈L；

(iii)[x,y]=-[y,x],∀x,y∈L；

(iv)Hom-Jacobi等式：

[(α+Id)(x),[y,z]]+[(α+Id)(y),[z,x]]+[(α+Id)(z),[x,y]]=0, ∀x,y,z∈L，

则称(L,[-,-],α)为域上的一个Hom-Lie代数，当α=Id时，Hom-Lie代数就为Lie代数.

GRAAF[6]对低维幂零李代数的结构做出了如下分类：

引理[6]设L是特征为0的代数闭域上维数等于4的幂零李代数，e1,e2,e3,e4是L的一组基，则在同构的意义下，仅有如下三类(其中没有写出来的基元方括号运算为0)：

L4,1:[ei,ej]=0；L4,2:[e1,e2]=e3；L4,3:[e1,e2]=e3, [e1,e3]=e4.

下面研究4-维幂零李代数L4,1,L4,2,L4,3上的Hom-Lie代数结构，也就是确定其上的满足Hom-Jacobi等式的自同态.

2 主要结论

定理1 对于任何一个双线性同态映射α，(L4,1,α)均可构成一个Hom-Lie代数.

证明 因为L4,1是可交换李代数，基元上的方括号运算等于0，即[ei,ej]=0,i,j=1,2,3,4，所以对于任何一个双线性同态映射α，α保持基元的方括号运算和Hom-Jacobi恒等式，也即(L4,1,α)构成一个Hom-Lie代数.

定理2 若(L4,2,α)是一个Hom-Lie代数，则Hom-同态α在L4,2的基元上的作用可表示为

其中，a11a24-a21a14=0，a12a24-a22a14=0，a31,a32,a41,a42,a34,a44为任意常数.

证明 假设Hom-同态α在L4,2的基元上的作用为

将α作用在[e1,e2]=e3上，可得[α(e1),α(e2)]=α(e3)，即

[a11e1+a21e2+a31e3+a41e4,a12e1+a22e2+a32e3+a42e4]=a13e1+a23e2+a33e3+a43e4.

根据L4,2的基元运算，比较两边系数有

a13=a23=a43=0，a33=a11a22-a21a12.

(1)

将α作用在[e1,e4]=0上，可得[α(e1),α(e4)]=0，比较两边系数有

a11a24-a21a14=0.

(2)

将α作用在[e2,e4]=0上，可得[α(e2),α(e4)]=0，比较两边系数有

a12a24-a22a14=0.

(3)

因为L4,2上的基元运算为[e1,e2]=e3，而e3与其他基元的方括号运算为0，所以α显然满足Hom-Jacobi等式：

[α(ei),[ej,ek]]+[α(ej),[ek,ei]]+[α(ek),[ei,ej]]=0, 1≤i,j,k≤4.

结合(1)(2)(3)式，即得Hom-同态α在L4,2的基元上的作用如定理2.

定理3 若(L4,3,α)是一个Hom-Lie代数，则Hom-同态α在L4,3的基元上的作用可表示为如下四种情况：

证明 假设Hom-同态α在L4,3的基元上的作用为

由于[e1,e2]=e3，[e1,e3]=e4，即方括号运算结果仅含有e3,e4，而α保持方括号运算，比较运算两边系数可知α(e3),α(e4)中含有e1,e2的系数都为0，即

b13=b23=b14=b24=0.

(4)

将α作用在[e1,e2]=e3上，可得[α(e1),α(e2)]=α(e3)，比较两边系数，并结合(4)有

b11b22-b21b12=b33，

(5)

b11b32-b31b12=b43.

(6)

将α作用在[e1,e3]=e4上，可得[α(e1),α(e3)]=α(e4)，比较两边系数并结合(4)有

b34=0，

(7)

b44=b11b33.

(8)

将α作用在[e2,e3]=0上，可得[α(e2),α(e3)]=0，比较两边系数并结合(4)有

b12b33=0.

(9)

因为L4,3上的基元运算为[e1,e2]=e3，[e1,e3]=e4，e4与其他基元的方括号运算为0，α(e3),α(e4)中e1的系数为0，所以α显然满足Hom-Jacobi等式：

由(9)可知，b12,b33的取值分为b12=0,b33≠0；b12≠0,b33=0；b12=0,b33=0三种情况.

当b12=0,b33=0时，式(5)(6)(8)可化为

b11b22=0,

(10)

b11b32=b43，

(11)

b44=0.

(12)

由(10)可知，b11的取值分为b11=0和b11≠0两种情况.

当b11=0时，由(11)可知，b43=0，结合(4)(7)(12)，即得定理3中第三种情况.

当b11≠0时，由(10)可知，b22=0，结合(4)(7)(11)(12)，即得定理3中第四种情况.