以数学史为载体渗透数学文化——HPM视角下的初中数学教学实践

奚飞|浙江省桐庐县实验初级中学

1972年，在第二届国际数学教育大会上，数学史与数学教学关系国际研究小组（简称HPM，也常被用来代称数学史与数学教育领域）成立.HPM诞生之后，西方学者对数学史的教育价值进行了更为广泛深入的探讨，英国数学史家福韦尔总结了数学教学中运用数学史的15条理由，如：增加学生的学习动机；改变学生的数学观；有助于学生保持对数学的兴趣；给予数学以人文的一面；有助于解释数学在社会中的作用；介绍概念如何发展，有助于学生对概念的理解；通过古今方法对比，确立现代方法的价值等[1].

作为一门基础性学科，初中数学对学生的成长有着重要的意义.但现实的数学教学往往重“技术”而轻“文化”.张奠宙等人指出：“数学文化必须走进课堂，在实际数学教学中使得学生在学习数学的过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位和世俗的人情味.”[2]数学史是数学文化的重要组成部分，在数学教学中以数学史为载体渗透数学文化，能发挥学科育人价值，激发学生的学习兴趣，拓展其思维，发展其数学素养.

一、激发学习兴趣，实现乐学善学

兴趣是最好的老师.学生一般都对历史故事非常感兴趣，因此，教师利用数学史创设情境，能调节课堂气氛，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，使课堂生动有活力，实现乐学.此外，从知识到应用有时会比较突兀，这时，采用适合的数学历史故事引入，就能将学生的思维与所学知识自然衔接，助力学生对所学知识的理解与掌握，实现善学.

案例1浙教版义务教育教科书《数学》（以下简称“浙教版教材”）八年级上册中《三角形全等的判定》的教学目标之一是“理解角平分线的性质定理”.这是三角形全等判定定理的运用.在学完判定定理后直接运用，是一种常见的处理方式.而在HPM视角下，判定定理的理解与运用之后，笔者讲述历史故事.

师：我们中国是文明古国.在非洲北部也有一个文明古国埃及，埃及的几何学起源于尼罗河泛滥后土地的重新分配和测量.有这样一件事：有两个农户分别有甲、乙两块地在尼罗河南岸（图略），两块地与河岸之间有一块淤积地，他们想把这块淤积地给分了，但他们算不出这块淤积地的面积，怎么样都找不到一个让两个人都满意的分法，最后只有去找当地的法官来评判，这名法官对数学很有研究，很快就想出了令两个人都满意的分法.

师：同学们，如果你是法官，你会怎么分？

课堂气氛被点燃，学生积极讨论，动手操作，给出4种分法.在前两种分法中，边界上的点都是中点，但不能保证面积平分；第三种看似平分，但也不能让人信服；第四种采用角平分线，这样分界线上的任意位置到甲、乙边界的距离都是一样的.

师：（对第四种分法学生）你太棒了！你和法官的判决一模一样，两人确实按照法官的方式分了，而且都满意.那么，同学们，角平分线上的点到角两边的距离是真的都相等吗？

笔者以提问引导学生对猜想进行证明，学生在探究、证明的过程中就自然地运用了所学的新知识.

教学建议：教师可在教学新知识点前，先去查阅与这个知识有关的史料，然后采用学生喜欢的形式与课堂有机结合.比如教学“二元一次方程组”时，可讲述“鸡兔同笼”或“康熙皇帝巧解牛马价”等故事，让学生学方程组变得有趣；又如教学“物体位置的确定”时，可制作微课介绍“解析几何之父”笛卡尔梦见蚊蝇的移动，梦醒之后豁然开朗，发明了解析几何.在数学教学的激趣环节融入HPM，能在更宏大更深刻的视野下引领学生走进数学殿堂.

二、掌握概念符号，促进数学理解

数学学习中，学生会接触到许多概念、符号.很多教师不解释这些概念和符号来源于哪里、其发展历史是怎样的，仅从特征去解释教学，或者让学生“死记硬背”.这样学生就不能真正理解这些概念和符号，于是在解决问题的过程中就会出现困难，乃至演变成学习数学的困难.向学生展示数学史，不仅能解释一些概念或符号产生的历史，而且能让学生理解所学知识在数学发展史上的地位和作用，促进学生对整个数学有宏观的认识，帮助学生突破认知障碍，从而理解数学.

案例2教学有理数的概念时，有学生问：“老师，为什么大多数的质数是奇数，大多数的偶数是合数，唯独2这个质数是偶数？”笔者还未回答，同学们就纷纷发表自己的观点了.

生1：这个是古代数学家们定好的，我们只要记住就行！

生2：这只是凑巧而已，不需要去理解它.

生3：因为2是最小的正偶数，因数只有1和本身，而其他的偶数除了1和本身之外一定还有其他因数，所以只有2这个质数是偶数.

……

学生有疑惑，教师就必须解决.消除疑惑有助于理解数学，学好数学.这是一个绝佳的向学生展示数学史的机会.

师：同学们，你们都发表了自己的想法，但你们的表述还不能解决他对这个问题的疑惑.今天就给大家讲讲质数和合数的由来.在古希腊时期，开始只有整数，而整数都可以用点来计数，而点又可以摆成各种图案，聪明的古希腊数学家发现用整数点可以摆成直线和方形，由此可见古人有多么厉害.这很容易理解：数1不能摆成直线和方形，它只是一个点，所以1既不是质数也不是合数；像2，3，5，7等数字，只能摆成直线，叫作质数；其他的数既能摆成直线又能摆成方形，就叫作合数.

生：哇!原来是这样，这太有趣了，我们对质数和合数又有了进一步的理解.

案例3在七年级数学中，整数和分数统称为有理数，无限不循环小数叫作无理数，对此学生表示很不理解.

生：老师，难道有理数就是有道理的数？为什么叫有道理的数？

教学中不能让这些疑问留在学生心里，而打开心结则需要借助数学史，来理解有理数这个名词的来源.

师：“有理数”这一概念源自欧几里德的《几何原本》，希腊文是“λογος”，原意是“成比例的数”.英文取其意，以ratio为字根，在字尾加上-nal构成形容词，全名为rational number，直译成汉语就是“可比数”.“无理数”就是“不可比的数”.在中国明朝时，《几何原本》传入中国，明朝数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》时，将这个词译为“理”，这个“理”指的是“比值”.

生：我们中国的翻译没有问题，那为什么会是现在这样呢？

师：听我接着讲，日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多采用我们中国文言文的译本，日本学者就将我们的翻译直译成了有道理的“理”了，没有“比值”的意思了，后来慢慢地直接用错误的理解翻译成了“有理数”和“无理数”.清朝末期，政府派留学生到日本，又将这两个名词带回中国.一直就这样延续错误，以至于现在中国和日本都采用“有理数”的说法.

生：这叫将错就错啊，但我们理解了什么是“有理数”.

教学建议：在教学中出现一些让学生难以理解的名词时，我们要允许学生质疑，不能让他们死记硬背，而应该去查阅史料，弄清概念产生的历史，将之与课堂有机融合.比如说，勾股定理中的勾和股是什么意思？三角函数为什么叫正弦、余弦（余弦其实是“余角的正弦”的简称）、正切？此外，有些符号也会让学生感觉很奇怪，不符合学生的认知，比如“根号”，让学生经历“”的发展历史，他们就能理解根号了.概念是思维的细胞.只有理解概念或符号，才能理解数学，发展数学素养.

三、拓宽思维空间，发展数学素养

数学教学的目标是培养学生的数学思维，发展数学素养.教学中运用素材加强对学生思维的培养，方法的对比与提炼尤为重要.

（一）古今对比，拓宽思维

数学发展到现在，很多方法经过提炼，具有一定的模式和步骤，但有些时候现代的方法学生反而不太容易掌握，这时候我们就需要去思考为什么会这样，是不是可以追本溯源，看看古时候是怎么做的.通过古今对比，学生可以对不同的方法进行比较，从而选择适合自己的方法.此外，通过一题多解也能拓宽学生的思维，不会把学生按固定的方法教“死”.可见，以史为泉，能浇灌学生思维之花.

案例4HPM视角下的浙教版教材七年级下册中《分式方程》的教学片段.

在引入分式方程的概念之后是分式方程的解法教学，笔者出示例题“解方程：=0”.旨在通过解题归纳出解分式方程的一般步骤及注意点.解分式方程的关键是通过去分母转化为整式方程来解，这两个方程的区别是：第一个方程有解；第二个方程有增根，是无解的.

学生存在的问题有两个：一个是解分式方程比较复杂，去分母时易漏乘，解不对方程；另一个是分式方程易产生增根，学生会忘记检验，导致出错.

生：老师，解分式方程时经常会不小心出错，怎么办？

师：解分式方程需要按照步骤仔细求解，要明确有哪些步骤，每一步会出现什么样的错误，都要做到心中有数，这样才能保证正确.

生：老师，我会忘记验根的！

师：为了帮助同学们解决这个问题，我再教你们一个解方程的方法，这不是我的原创，是古时候的解法，以第二个方程为例，我来展示一下，大家可以比较一下方法的优劣.

生：哇，这方法太好了，解分式方程只要掌握了分式的加减运算就可以了，不用担心漏乘，不用担心增根问题.

（二）另类方法，促进思考

一题多解向来都是数学教学的常见形式.一题多解属于发散性思维，教师要鼓励学生尝试一题多解，促进学生多角度思考问题.通过一题多解，学生能够串联知识，发展并提升创新思维能力.HPM视角下的课堂，不只是知识的探究与运用，而是将所学知识与历史相结合，让学生与古人一起探讨.学生经历知识的产生过程后，就会赋予数学知识生机，促成思维能力的发展.

案例5《三角形的中位线》在浙教版教材中安排在八年级学完“平行四边形的性质与判定”之后.教材这样安排，是因为中位线性质定理的证明需要用平行四边形的性质.但对于学生而言，学完平行四边形之后突然转到三角形的中位线就很突兀，因此，笔者追溯中位线的历史，以HPM视角来设计教学.

情境引入：几何来源于生活中的土地分割，古代巴比伦有四兄弟要平分一块三角形土地，你有哪些分法？

学生有如图1-1，1-2的分法，主要利用了三角形中线的性质，符合学生的认知特点.笔者出示图1-3，剪下四个小三角形，通过叠合法会发现这四个小三角形全等，不难猜想得出EF//BC，EF=BC，从而给出中位线的定义.

图1 三角形四等分的分法

分析：对性质的证明，学生基本是构造平行四边形，如图1-4，延长DE至点F，使EF=DE，连结CF，证得▱BDFC，继而证得DE//BC，DE=BC.证明的方法有很多，这是因为学生刚学过平行四边形，正处于最近发展区.

为了拓展学生思维，笔者介绍历史上的三角形中位线定理的证明方法，其一是根据《几何原本》中的一个命题：“将三角形两腰分割成成比例的线段，则分点连线段平行于三角形的底边.”[3]

如图2，△ABC中D、E分别是AB、AC的中点，连接BE、CD，

图2 三角形中位线

∵AD=BD,AE=CE，

∴S△ADE=S△BDE,S△ADE=S△CDE，

即S△BDE=S△CDE.

∴DE//BC（由两个三角形同底，得到等高）.

又∵△BDE和△BCE的高相等.

∴DE=BC.

这个方法从三角形自己的中线角度出发，更容易让学生接受.

另一个方法是我国古代数学家刘徽利用割补法推导三角形的面积公式：连接三角形两边中点，得到中位线，过顶点作中位线的垂线段，将中位线上方的两个直角三角形旋转至原三角形两侧，可以证明得到的是长方形，长方形的面积等于原三角形的面积，长方形的高等于原三角形高的一半，所以三角形的面积等于底乘以高的一半；由得到的是长方形可知对边平行且相等，很快就可得出中位线平行于底边且等于底边的一半.

教学建议：在学习一些重要知识的时候，我们可以古今对比，引发思考.比如乘法公式的图形研究，一元二次方程的古代解法，勾股定理的证明，等等.通过对比，学生不仅会加深对知识的理解，还能发现不一样的解法.多种解法能够促进学生思维的灵活性，古今对比能让学生感受思维的辩证性.

四、培养科学精神，实现学科育人

每个学科不仅具有自己的符号表达、知识体系和思维方式，也都有自己内含的价值性和道德意义，是世界观、人生观和价值观的构成因素[4].因此，数学中也蕴含着巨大的德育资源，在育人方面有着重要的作用.数学的历史发展当中有很多好的素材，可以帮助我们培养学生的优秀品质，比如明辨是非的能力、不畏挫折坚持真理的品质、不抛弃不放弃的精神、学会质疑、勇于创新等.从某种程度上说，这些品质比知识本身更重要.

案例6HPM视角下浙教版教材七年级上册中《实数》的教学实践.

生：这还会有危机啊？老师给我们讲讲吧.

师：古希腊大数学家毕达哥拉斯的学生希帕索斯在研究直角三角形的边长之间的关系时，发现直角边为1和1的斜边不是一个可以用整数比来衡量的数，他把它称为不可比的数，但毕达哥拉斯不承认这种新数.毕达哥拉斯学派认为宇宙万物都是可以用整数和整数的比来衡量的，希帕索斯的发现无疑是一个惊天雷，人们都不相信他.为此，希帕索斯在当时受到了不公的待遇，但他还是坚持，后来还证明了无理数的存在.

师：同学们，希帕索斯这种不畏权威、敢于坚持真理的品质非常值得我们学习.

案例7对浙教版教材七年级上册中的《用字母表示数》，很多教师觉得奇怪，这么简单的知识有些学生就是学不好.但如果我们去研究数学史，就会发现其实学生已经很厉害了.公元前1700年古巴比伦人开始用文字来表示方程，这可以说是“文字代数”.之后过了大约2000年，丢番图在其《算术》中首次用“ς”来表示未知数，他也只是表示一个数，并不知道用字母来表示任何数，这可称为“缩略代数”，我们中国宋元时期的“天元术”也属于这个范畴.又经过了大约1300年，韦达在《分析引论》中使用字母表示任何数，出现了“字母代数”，实现了历史的突破.[5]字母表示数从无到有经历了3000多年，这是多么漫长的一个过程，而学生要在一两节课或一个星期掌握这个知识，出现困难是很正常的.

教学建议：在备课时，教师除了组织教学外，还需要思考这节课有没有可以体现育人功能的素材及其如何与课堂教学有机结合，是否有跟所学知识有关的小故事及其能否融入课堂、发挥育人价值.中国有很多数学史故事，这不仅能让学生感受到祖国的伟大，增强爱国情感，还能进而达成学科育人的宏愿.

数学史是数学教学不可多得的优质资源.HPM视角下的数学教学实践的价值应该远不止这些，值得我们继续探索.在教学中，教师应该根据所教的知识选取合适的史料并加工，采用教师讲述、学生阅读、网络搜索、制作微视频等学生喜闻乐见的方式适时融入课堂，使数学史与数学教育有机结合.实践HPM视角下的教学，一方面能够创设有文化的课堂，提高课堂效率，激发学生的学习热情，发展学生的数学核心素养，实现素质教育.另一方面，它也让教师知识变得渊博，专业能力不断成长.因此，HPM能让教师和学生教学相长，实现共同进步，值得进一步探索.