基于数字技术的傅里叶级数实验仪研制

刘维慧，李洪亮，张 振，王 娜，苗永平

(山东科技大学 电子信息工程学院，山东 青岛 266590)

傅里叶级数理论自1807年提出后，得到广泛关注并获得长足发展，被广泛应用于物理学、数论、信号处理、密码学、声学、光学等领域。另外，傅里叶级数概念较为抽象，学生难以理解。因此，在高等学校开展傅里叶级数实验，无论对培养工科学生的分析思维能力、专业技术能力还是促进工科学生对傅里叶级数概念的理解，都具有十分重要的意义[1,2]。

传统的实验仪器功能齐全、操作简单，但在实验教学中存在一些问题。比如，开展分解实验时方波波形易变形；分解实验的测量结果与理论值偏差较大；正弦波波形质量不够稳定、故障率高、调幅调相时波形不稳定，无法有效开展合成实验。学生因实验仪器质量限制而不能有效开展实验，无法有效提升应用理论知识分析问题、解决问题的能力[3]。

我校物理实验中心现使用FD-FLY-A型傅里叶级数实验仪开展实验教学，项目团队总结了该仪器在实验教学中的不足，并结合新时期实验教学需求，深入研究和分析，设计制作了基于数字技术的新型傅里叶级数实验仪，有效提升课程质量。

1 实验原理

根据数学理论，任何具有周期为T的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即：

(1)

在开展傅里叶级数实验时，多以方波为典型周期函数，对其分解与合成。

方波的傅里叶级数表达式为:

(2)

从表达式可以看出，对于频率为ω0的方波，其三角级数有如下特征：

(1)频率为(2n-1)*ω0；

(3)初相位均为零。

在开展傅里叶级数分解与合成实验时，通过构建物理实验模型，验证上述特征。

1.1 傅里叶级数分解实验

以RLC串联谐振电路作为选频电路，对方波信号进行频谱分解，原理如图1所示。

图1 RLC串联谐振电路图

RLC串联谐振电路的总阻抗表示为：

(3)

根据电路原理，当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，有:

(4)

据此，可以推导出谐振频率ω为[4]：

(5)

保持电路中其他参数不变而仅改变电容值,即改变电路的固有谐振频率为ω，此时电路以频率ω谐振，电阻两端电压最大，电压表达式为：

UR(t)=bnsinnωt

(6)

因此，在RLC串联谐振电路中，输入频率为ω0的方波信号，固定电感值，只要改变电容的值，就可以从方波信号中选出频率为(2n-1)ω0的各次谐波。将各谐波信号在示波器上显示和测量，就可以验证傅里叶级数表达式。

1.2 傅里叶级数合成实验

同样的道理，将满足频率和幅度特征的正弦波信号输入一个加法器电路，然后通过调整其相位，就可以得到预期的合成波形。

具体实验时，以频率为1 KHz的方波为典型周期信号，分解出频率为1 KHz、3 KHz、5 KHz正弦波信号并验证其特征；以1 KHz、3 KHz、5 KHz、7 KHz正弦波输入加法器开展合成实验。

2 实验仪设计与实现

2.1 系统设计方案

根据上述实验原理和实验需求，以数字频率合成技术为信号发生电路、以STM32系列单片机为控制核心构建傅里叶级数实验仪，主要包含信号发生器模块、放大器模块、调幅模块、移相模块、方波合成模块等，系统框图如图2所示。

图2 系统设计方案框图

单片机控制信号发生模块产生实验所需的正弦波和方波。方波经放大后进入RLC串联谐振电路开展分解实验；四路正弦波信号则经调幅和相位调节模块后输入合成模块开展傅里叶级数合成实验。

2.2 硬件设计

2.2.1 控制电路

系统选用STM32F103RET6集成微处理器作为控制波形发生的核心控制单元，其72 MHz的处理速度和SPI的通讯方式满足了系统设计的需要，并且64路引脚也完全满足对多路信号的控制需求，性价比高于同类其他芯片。为保证处理器正常运行，晶振选取8 MHz的高速外部时钟，通过PLL倍频为处理器提供稳定的72 MHz时钟源；选取32.768 KHz的外部低速时钟，经15次分频后得到1 Hz频率实现精准定时。

2.2.2 信号发生电路

为了解决模拟选频技术所带来的波形质量和稳定性差等缺陷，本项目采用DDS(Direct Digital Frequency Synthesis，直接数字频率合成)技术产生方波和正弦波信号[5,6]。综合考虑波形频率、系统功耗等因素，选取AD9834作为信号发生芯片。该芯片最大输出频率为37.5 M，输出频率低，功耗也相对较小，仅有20 mW，并且，可同时输出方波和正弦波，满足设计需求。

实验装置设计了四片AD9834，其中一片产生1 KHz方波和1 KHz正弦波信号，另外三片分别产生3、5、7 KHz正弦波信号。图3以1 KHz方波信号和1 KHz正弦波信号为说明电路设计方案。晶振使用75 M的有源晶振，NC脚悬空，通过外部时钟源为AD9834提供工作频率。

图3 方波发生电路图

AD9834通过IOUT引脚输出正弦波，另外，将芯片的VIN脚与IOUT输出相连，通过内部比较器，SBO(即SIGN BIT OUT)引脚输出方波。除此之外，设计LC低通滤波器，滤除高频干扰，使输出波形更稳定，提高波形质量。

2.2.3 方波放大电路

AD9834能够产生频率十分精准且波形稳定的方波信号，但其带负载能力较弱，表现为在开展分解实验时方波信号会发生变形，影响实验结果。该信号变形问题在现有实验仪器中同样存在。

另外，AD9834输出波形的幅度最大为500 mV，不能满足实验要求。因此，设计放大电路提高方波带负载能力以及信号幅度。经综合考虑，选用功率放大芯片LF353搭建电路，以1 KHz方波为例展示如图4。

图4 方波信号放大电路图

2.2.4 正弦波调幅、调相电路

为了满足傅里叶级数合成实验的需求，该实验装置设计了正弦波幅值和相位调节电路，并在前面板上设计了调节电位器，通过其旋钮调节四路正弦波的幅度和相位。

系统选用NE5532芯片配置外围电路实实现调幅和调相功能。该芯片是一款内含两组运算放大器的集成芯片。相较于普通的标准放大芯片，NE5532具有性能好、噪声低等优势[7-9]，更适合应用于各种电子产品设计、控制电路和放大电路中。NE5532的两组运放分别用于正弦波幅度调节电路和相位调节电路。图5以1 KHz正弦波信号为例展示了电路设计方案。

图5 正弦波调幅调相电路图

根据实验需求，设定幅度调节范围为0～5 V，阻值为10 KΩ的电位器可连续调节正弦波信号的幅度。

根据实验需求，设定相位调节范围为0～180°。以NE5532第二级运放搭配RC移相网络构成移相电路，通过阻值为10 KΩ的电位器连接至前面板，实现相位连续调节。

2.2.4 方波合成电路

选用芯片LF353作为合成器件，4路正弦波信号经100 KΩ匹配电阻接入LF353的输入引脚，合成信号经输出引脚连接至示波器显示。

通过调节四路正弦波形的幅度和相位，可改变波形的形状直至接近理论波形。信号合成的工作原理是基于基本运算电路中的加法电路。图6所示电路的输出信号为：

图6 张力测量模块框图

(7)

2.3 软件设计

在Keil uVision5中用C语言编写相关软件代码，系统软件的主要功能是实现处理器同时控制四个AD9834芯片分别产生不同的波形，具体流程如图7所示。

图7 信号流程图

2.4 布局设计

为减少信号干扰，并提高产品组装效率和可维修性，实验仪的硬件电路分为电源板、信号板和前面板三部分，按照信号从左到右、从上到下的流向和板间最短路径接驳的原则，合理设计核心芯片和外接插座的布局，实现信号就近传输，最大限度减少信号干扰；另外，将两款电路板安装于同一个铝合金支架上，成为一个组件后再整体安装到实验仪内部，以模块化理念提升产品可维修性和组装效率。如图8所示。

图8 电路布局图

2.5 样机调试和产品组装

使用电子产品开发工具立创EDA完成电路原理图、印制板图设计，加工、焊接、调试电路板，烧写程序到信号板存储芯片中。使用机械绘图工具Auto CAD完成实验仪机械结构设计，并委外加工。样机调试合格后组装15台产品用于实验教学。

3 实验方案

该实验装置能够提供方波分解和方波合成两项实验内容，实验方案如下。

3.1 方波分解

分解实验的原理是利用RLC谐振原理从1 KHz方波中分解出(2n-1)*1 KHz的正弦波，然后验证其频率和幅度值是否满足方波的傅里叶级数原理。

首先，根据式(4)计算RLC谐振电路在1 KHz、3 KHz、5 KHz谐振时的电容值，记入表格。

然后，按照图1连接电路，并设置电容值，在示波器上得到相应频率的正弦波信号，测试正弦波信号的频率和幅度(峰峰值)。

再次，分析所测正弦波信号频率与理论值的差异，计算正弦波信号的幅度比值并分析结果。

3.2 方波合成

合成实验的原理是将频率为(2n-1)*1 KHz的多路正弦波信号输入到加法器中，调节正弦波的幅度和相位，得到1 KHz的合成方波。在具体实验中，根据实验仪的功能，首先将频率为1 KHz、3 KHz、5 KHz、7 KHz的四路正弦波信号连接入加法器，然后按照如下三种方案开展实验。

方案1：定频率、调幅度、调相位。即正弦波信号频率是固定的，以递加法调节4个幅度和4个相位旋钮得到合成波形；

方案2：定频率、定幅度、调相位。首先将四路正弦波信号的幅度按照理论比例设定好，然后调节4个相位旋钮得到合成波形；

方案3：定频率、定幅度、定相位。在方式2的基础上，将四路正弦波信号的相位也按照理论要求预先调试好，然后在示波器上可直接观测到合成波形。

按照上述三种方案得到合成波形后观察其与理论波形的一致性，测量其频率，评价并分析与理论值的差异。

4 实验仪器性能评价

4.1 输出信号质量测评

为了客观评价效果，各取15台新实验仪器和现有实验仪器，在相同的实验环境下，使用同一组连接线和相同的实验方法，使用同一台DS1052E型数字示波器对仪器的输出信号进行显示并对比测评。测评对象是仪器输出的1 KHz方波以及1、3、5、7 KHz正弦波信号，测评内容主要是信号的频率值以及信号波形的稳定性。

4.1.1 信号频率离散性

借鉴标准偏差的概念，定义反映各测量值偏离真实值离散程度的参数S，其计算公式为：

(8)

其中，fi为测量值，n取15，f0为信号频率标准值。

根据式(8)计算两种仪器四种信号的频率偏差，如表1所示。从表中可以看出，新仪器各种信号的频率偏差明显小于现有仪器，更加接近理论值。

表1 仪器的信号频率偏差对照表

将上述两种仪器的1 KHz方波以及1、3、5、7 KHz正弦波信号的频率值绘制散点图，如图9所示。从图中可明显看出，新仪器产生的信号频率更接近理论值，而且各台仪器信号频率的一致性也明显优于现有仪器。

仪器编号

4.1.2 信号稳定性

在进行信号测量时，观察各种信号波形的稳定性。现有仪器中有3台的7 KHz正弦波波形存在明显的抖动；新仪器的所有信号波形均稳定，无闪烁抖动等不良表现。

4.2 方波分解实验

同样使用新仪器与现有仪器对比测评。将新实验仪产生的1 KHz方波信号接入RLC串联谐振电路，电感值取0.1 H，电阻值为27 Ω，按照3.1所述实验方案开展傅里叶级数分解实验。在相同的实验环境下，使用同一组连接线和同样的实验方法，使用同一台DS1052E型数字示波器，得到分解信号波形、测量并计算。

为了方便比较，定义k13为1 KHz正弦波与3 KHz正弦波的峰峰值之比，k15为1 KHz正弦波与5 KHz正弦波的峰峰值之比。

根据3.1所述实验方案计算同一组实验中k13和k15的值，并将全部30台仪器的计算结果绘制散点分布图，如图10所示。

仪器编号

从图10可以明显看出，使用新仪器分解1 KHz方波所得正弦波信号的幅度比值，无论是k13还是k15，相比现有仪器更接近理论值，且收敛性更好。

分解1 KHz方波所得正弦波信号的频率值也显示出同样的改进效果，不再赘述。

4.3 合成实验

以新实验仪器输出的1 KHz、3 KHz、5 KHz、7 KHz正弦波作为信号源，按照3.2所述3种实验方案开展合成实验，均可得到比较理想的合成波形。典型的合成波形如图11所示。

图11 合成图

另外，四种频率正弦波的相位调节范围为0～180°，满足设计要求，图12以7 KHz正弦波为例展示了源波形和相位调节后的波形，两者相位相差180°；在进行相位调节时，波形的幅度没有发生连带变化，表现出较高的稳定性。

图12 相位调节图

5 结 语

本文基于数字技术研制了一款傅里叶分解合成仪，组装样机测评并生产了15台用于实验教学。将新仪器与现有实验仪器按照同样的条件展开对比实验，从输出信号质量以及分解与合成实验的实验数据准确性等方面测评。结果表明新仪器各项性能满足设计及实验要求，有效改善了现有实验存在的问题，并表现出较好的一致性、稳定性与准确性。通过此仪器学生可以更便捷、高效的完成实验项目，加深了学生对傅里叶级数概念的理解，培养锻炼了实践和创新能力。