合理构造函数 巧妙证不等式

龚小敏

(江苏省通州高级中学 226300)

构造函数法证明不等式，是指在利用导数法证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，通过求导，利用函数的单调性、极值、最值等基本性质来加以证明．而在具体证明时，就要综合函数的不同确定形式，合理选择对应的函数，从不同思维视角来合理构建满足条件的函数解析式，进一步加以求导处理，巧妙证明．

1 作差构造法

证明譬如f(x)，≥)，x∈(a，b)形式的不等式成立，可利用两函数进行作差比较统一成一个函数，结合作差构造法，构造函数F(x)=f(x)-g(x)，x∈(a，b)，通过求导，结合函数的基本性质来证明F(x)<0(或≤，>，≥)，从而得以证明对应的不等式成立．

例1已知函数f(x)=2ln(x+1)+sinx+1，求证：当x≥0时，f(x)≤3x+1．

分析利用所要证明的不等式进行作差处理，通过作差构造函数，借助求导来分析与确定函数的单调性，进而求出对应构建函数的最大值，通过不等式的确定以及变形与转化来证明相应的不等式．

证明设函数h(x)=f(x)-(3x+1)=2ln(x+1)+sinx-3x，x≥0，

从而函数h(x)在区间[0，+∞)上单调递减.

所以h(x)=f(x)-(3x+1)≤h(0)=0，

即f(x)≤3x+1成立．

2 拆分构造法

对于一些所要证明的不等式中含有指数式或含有对数式，求导时不易直接求最值，可通过代数关系式的合理拆分变形来构造函数，利用函数的基本性质来证明对应的不等式；有时也合理拆分变形来构造两个函数，分别计算它们的最值，利用隔离分析最值来证明对应的不等式．

(1)求实数a的取值范围；

分析(1)通过函数求导，结合导函数的零点加以分类讨论，确定函数的单调性及极值的存在性，进而得以确定实数a的取值范围；(2)通过对所要证明的不等式加以分析，通过拆分构造法构造函数，通过函数的单调性及最值的确定来合理转化，进而加以证明相应的不等式．

当a+1≤1，即a≤0时，在区间[1，2]上f′(x)≥0，所以函数f(x)在[1，2]上单调递增，无极值；

当a+1≥2，即a≥1时，在区间[1，2]上f′(x)≤0，所以函数f(x)在[1，2]上单调递减，无极值；

当10得x>a+1，由f′(x)<0得x

综上分析，可得实数a的取值范围为(0，1)．

只需证xf(x)>a(x+1).

只需证xlnx+a+1>ax+a.

即证xlnx>ax-1.

设函数g(x)=xlnx-ax+1，

则g′(x)=lnx+1-a.

所以函数f(x)在区间(0，ea-1)上单调递减，在区间(ea-1，+∞)上单调递增.

所以函数g(x)≥g(ea-1)=(a-1)ea-1-aea-1+1=1-ea-1.

因为00.

则g(x)>0.即xlnx>ax-1.

3 换元构造法

对于所要证明的不等式中含有两个及以上参数的不等关系式，经常借助合理变形，整体化处理，进行合理换元构造对应的函数，化多参数为单一参数，进而通过函数的基本性质、不等式的性质等来分析对应的不等式证明问题．

分析结合满足题目条件的关系式的恒等变形转化，合理配方转化，换元构造对应的函数，结合函数的单调性与最值建立对应的不等式，结合二次不等式的求解来证明相应的不等式成立问题．

证明对于函数f(x)=lnx+x2+x(x>0)，

由正实数x1，x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0，

从而(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2-ln(x1x2).

令t=x1x2(t>0)，函数φ(t)=t-lnt，

易知函数φ(t)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增.所以函数φ(t)≥φ(1)=1.

所以(x1+x2)2+(x1+x2)≥1.

4 同构函数法

在证明不等式时，结合相关所要证明的不等式所对应的关系式的合理转化或变形，提取出其中相同或相似的代数结构，寻找结构的同型或共性，进而合理同构相应的函数模型，结合导数以及函数的基本性质、不等式性质等来合理转化，巧妙证明．

例4(2021年数学新高考Ⅰ卷第22题)已知函数f(x)=x(1-lnx)．

(1)讨论f(x)的单调性；

分析(1)中首先求得导函数的解析式，结合导函数的取值符号即可确定函数的单调性；(2)中利用同构关系将原问题中不等式的证明转化为极值点偏移的问题，结合变形的关系式的特征同构相应的函数，利用函数的单调性与极值来证明对应的不等式问题．

解析(1)由函数的解析式可得

f′(x)=1-lnx-1=-lnx.

则当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈(1，+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减.

(2)由blna-alnb=a-b，得

不妨令x1∈(0，1)，x2∈(1，e)，则2-x1>1.

先证22-x1>1.

即证f(x2)=f(x1)

令函数h(x)=f(x)-f(2-x)，x∈(0，1)，

则h′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)]在(0，1)单调递减.

所以h′(x)>h′(1)=0.

故函数h(x)在(0，1)单调递增.

所以h(x1)

即f(x1)

亦即2

再证明：x1+x2

要证x1+x2

同理，根据(1)中函数f(x)的单调性，即证f(x2)=f(x1)>f(e-x1).

同构函数φ(x)=f(x)-f(e-x)，x∈(0，1)，

则φ′(x)=-ln[x(e-x)]，

令φ′(x0)=0，

则当x∈(0，x0)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增；当x∈(x0，1)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减.

又x>0，f(x)>0，且f(e)=0，

故x→0，φ(0)>0，φ(1)=f(1)-f(e-1)>0.

所以φ(x)>0恒成立.

即x1+x2

其实，构造函数法证明不等式时，除了借助以上一些常见的作差构造法、拆分构造法、换元构造法、同构函数法以及创新构造法等构造函数的基本方法外，还可以通过分类讨论、数形结合以及多个函数的构造等方法来证明相应的不等式成立．破解的关键是借助导数思维，抓住用导数判断函数单调性来处理对应函数的单调性、极值或最值问题，从而再转化为对应的不等式问题，达到有效证明不等式问题，全面提升导数的综合应用，提高数学能力，培养数学核心素养．