一道北京大学强基数学题的变式探究及推广

金迅婴 李 盛

(1.浙江省东阳中学 322100；2.浙江省杭州二中未来科技城学校 311121)

1 题目呈现

A.8 B.9 C.10 D.前三个答案都不对

这一试题从外部结构初看是含参不等式恒成立问题，但内涵丰富,隐藏着丰富的函数思想，具有一定的探究价值.

2 题目解析

解法2比解法1简单，但不如下面的解法简捷.

解法3 (待定常数法)引入待定常数λ>0，根据基本不等式，得

故a的最小值为9.选B.

解题过程十分简洁！但不是解决这类问题的一般性方法.一般方法是化生为熟的基本不等式法.

解法4由于题给不等式对任意正数x,y恒成立,利用极限方法,令y→0,得ax≥5x.

又x>0,所以a≥5.

将题给不等式变形,得

所以a的最小值为9.故选B.

评注解法4先采用极限方法，先确定实数a的一个范围， 再用分离法求解，是解决这类问题的一般方法.

3 变式探究

解析利用柯西不等式，得

还有很多变式，不一一列举.

4 结论推广

经研究,得

证明由于不等式①对任意正数xi(i=1,2,…,n)恒成立,采用极限方法,令xi→0(i=2,…,n),得a1x1≥0.

又x1>0,所以a1≥0.

同理可得：a2≥0,a3≥0,…,an≥0.

将不等式①变形，问题转化为：

应用n元的算术——几何平均值不等式，可得

且等号在a1x1=a2x2=…=anxn时成立.

这样一来，用同一方法，就把问题推广到了n元加权的算术——几何平均值不等式有关的恒成立问题.

解析已知不等式可化为

由定理，知应满足的条件为.