例谈同构法在导数中的应用

白亚军

(甘肃省永昌县第一高级中学 737200)

用导数比较大小、解不等式，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小、解不等式问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小或解不等式.

1 双变量型

含有同等地位的两个变量x1,x2的等式或不等式，同构后使等式或不等式两侧具有一致的结构，便于构造函数解决问题.常见的同构类型有：

(1)g(x1)-g(x2)>λ[f(x2)-f(x1)]⟹g(x1)+λf(x1)>g(x2)+λf(x1),从而构造函数h(x)=g(x)+λf(x)；

(1)求函数f(x)的定义域；

分析第(2)问中的双变量不等式，若变量能分离且结构相同，则问题可转化为函数单调性问题.

所以实数a的取值范围为(2,4)

评注例1中出现的双变量问题是同构法中较为典型的情况，思路明确,针对上述类型的不等式，分离变量，构造函数，利用函数单调性，解不等式.

2 指对跨阶型

2.1 直接变形

(1)积型：aea≤blnb⟹aea≤lnb·elnb,从而构造函数f(x)=xex；aea≤blnb⟹ealnea≤blnb,从而构造函数f(x)=xlnx;aea≤blnb⟹ln(aea)≤ln(blnb)⟹a+lna≤lnb+ln(lnb),从而构造函数f(x)=x+lnx.

(3)和差型：ea±a>b±lnb⟹ea±a>elnb±lnb,从而构造函数f(x)=ex±x；ea±a>b±lnb⟹ea±lnea>b±lnb,从而构造函数f(x)=x±lnx.

2.2 先凑再变形

若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以x，同加上x等，再用上述方式变形.常见的变形有：

(1)aeax>lnx⟹axeax>xlnx；

例2若关于x的不等式ex-a≥lnx+a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是( ).

C. (-∞,1] D. (-∞,2]

分析不等式两侧都加上x，即能出现同构法中的“和差型”.由不等式的结构判断，通过将不等式变形为ex-a+x-a≥lnx+x，符合同构法中的指对同阶模型.

解析将条件不等式两侧都加上x得到ex-a+x-a≥lnx+x.

设f(t)=et+t，则f′(t)=et+1>0.

所以f(t)在R上单调递增.

由ex-a+x-a≥lnx+elnx,得

f(x-a)≥f(lnx).即x-a≥lnx.

即a≤x-lnx对一切正实数x恒成立.

令g′(x)>0，则x>1;令g′(x)<0，则0

故g(x)min=g(1)=1，故a≤1.故选C.

评注不等式或函数中指对数结构都存在时，仔细观察结构特征，可优先考虑放缩或同构，化繁为简，降低单调性判断的难度.故要对常见不等关系的结论及上述的常见变形方法牢记于心，能够熟练变形，构造相应函数.

3 同构放缩或同构换元共存型

有些更复杂的指对不等式，利用常见的变形方法先进行同构变形再换元，使构造的函数较为简单，或者不等式本身的结构不特殊，可以先结合常用不等结论放缩.常见的放缩模型：

(3)利用lnx≤x-1放缩：x+lnx=ln(xex)≤xex-1；x+nlnx≤xnex-1.

例3 已知函数f(x)=xeax-1(a∈R).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

分析待证明的不等式中有xex，lnx+x，容易联系到指对同阶的常见变形，将不等式同构.

解析(1)由题意知，函数f(x)的定义域为R.

设t=xex，则当x>0时，t∈(0,+∞).

令g′(t)=0，则t=1.

所以g(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增.

所以g(t)≥g(t)min=g(1)=0.

评注第(2)问进行指对变形，换元简化函数，同构法让复杂的函数式在指对结构上呈现“一致性”，再换元，大大降低了函数研究的难度，但这类问题，方法不唯一，也可利用其他方法，比如不等式证明问题，直接构造函数求最值，或者变形为f(x)>g(x)的结构，比较最值.