一道期末试题的背景揭示与破解研究

271400 山东省宁阳县复圣中学 张志刚

一、 试题呈现

试题

(2020届浙江宁波高三上学期期末试卷)已知45

x

-12

xy

+52

y

=20，求3

x

+4

y

的范围

.

本题是二元二次方程约束条件下的二元函数范围问题，试题设计简洁清新，构思别具匠心，解法灵活多变，饱含数学思想，凝聚命题专家的智慧

.

但由于涉及知识点多、综合性较强、思维跨度较大，呈现出较强的综合性与选拔性，解答过程需要考生具备较高的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养，以及转化与化归、函数与方程、分类讨论、换元法、配方法等典型数学思想和方法，颇具挑战性和选拔性

.

二、 命制背景

从高等数学的观点来看，本题命制的背景是拉格朗日乘数法求极值问题

.

其基本原理是设给定二元函数

z

=

f

(

x

,

y

)和附加条件

φ

(

x

，

y

)=0，为寻找

z

=

f

(

x

,

y

)在附加条件下的极值点，先构造拉格朗日函数

L

(

x

,

y

)=

f

(

x

,

y

)+

λφ

(

x

,

y

)，其中

λ

为参数

.

求

L

(

x

,

y

)对

x

，

y

的一阶偏导数，令它们等于0，并将其与附加条件进行联立，也即由上述方程组解出

x

，

y

及

λ

，如此求得的点(

x

,

y

)就是函数

z

=

f

(

x

,

y

)在附加条件

φ

(

x

，

y

)=0下的可能极值点

.

若这样的点只有一个，由实际问题可直接确定此点即为所求的点

.

其步骤主要有两步：构造拉格朗日函数，求偏导数并求出可能的极值点

.

其几何意义是，设给定目标函数为

f

(

x

,

y

)，约束条件是

φ

(

x

，

y

)=0

.

如图1，曲线

L

为约束条件

φ

(

x

，

y

)=0，

f

(

x

,

y

)=

C

为目标函数的等值线族

.

在

f

(

x

,

y

)，

φ

(

x

,

y

)偏导数都连续的条件下，目标函数

f

(

x

,

y

)在约束条件

φ

(

x

，

y

)=0下的可能极值点

M

(

x

,

y

)，从几何上看，必是目标函数等值线族中与约束条件曲线的切点

.

图1

拉格朗日乘数法主要有两个优点

.

一是把目标函数和等式约束统一到一个拉格朗日函数中；二是将条件极值问题转化为无条件极值问题，即通过引入拉格朗日乘数将含有

n

个变量和

k

个约束条件的约束优化问题转化为含有

n

+

k

个变量的无约束优化问题

.

因为在构造的拉格朗日函数中无论约束条件

φ

(

x

，

y

)=0如何，都满足限制条件

.

另外，

L

(

x

,

y

)=

f

(

x

,

y

)+

λφ

(

x

,

y

)，其中

φ

(

x

，

y

)=0，不难发现求

z

=

f

(

x

,

y

)的极值点其实就是求

L

(

x

,

y

)的极值点，两者的极值是等价的，且与

λ

无关，至于增加

λ

的目的在于用待定系数法确定此拉格朗日函数

.

拉格朗日乘数法能够保证在取得最优乘数的情况下两者解的一致性，显然通过求解拉格朗日函数的最优解来求得原目标函数的最优解是一种更经济、更便捷的做法

.

应用该法解答如下

.

令

L

(

x

,

y

,

λ

)=3

x

+4

y

+

λ

(45

x

-12

xy

+52

y

-20)，

则解得或或或

设

f

(

x

,

y

)=3

x

+4

y

，则所以3

x

+4

y

的范围是

三、 试题解答

拉格朗日乘数法作为一种应用广泛的约束问题优化算法，其理论上的优越性显而易见

.

然而,在实际操作中，学生对拉格朗日乘数法求极值原理的理解需要一个过程，对于求偏导数也是陌生的，此外，联立方程组求解时对学生运算求解能力要求较高

.

那么，本题如何用初等数学的方法解决？在高中阶段，解决此类问题可以分别从方程有解，函数最值(三角代换或导数)，不等式(如重要不等式、基本不等式、柯西不等式)等途径寻求突破，消参减元转化是解决这类问题的基本原则，把双变量问题转化为一元函数或方程，再辅助以相应的数学知识和方法解决

.

思路1:

应用判别式法

.

对于二元函数取值范围问题，设目标函数

f

(

x

,

y

)=

k

，转化为方程有解，利用判别式

Δ

≥0构造不等式，也是处理该类试题的常见思路

.

例如，本题利用目标函数可构造二次齐次式，分子、分母同时除以

x

(或

y

)，借助换元法将二元方程转化为一元二次方程有解问题，利用判别式

Δ

≥0求解

.

解法

①当

x

=0时，易得②当

x

≠0时，(*)式分子分母同时除以

x

，得设则(52

p

-4)

t

-12

pt

+45

p

-3=0，此方程有实数解，从而

Δ

=-4(52

p

-4)(45

p

-3)≥0，解得所以综合①②，3

x

+4

y

的范围是

评注：

上述解答过程中，分子分母同时除以

x

前，要关注

x

是否为0，必要时进行分类讨论，以保证逻辑推理的严密性、等价性

.

类似地，当

y

≠0时，也可以分子分母同时除以

y

.

思路2:

导数法

.

史宁中教授曾说,“研究和认识函数强调两个基本角度，即整体和局部，单调性、周期性、对称性、最值等都是从整体上刻画函数性质，导数作为特殊极限，开始从局部上揭示函数性质”

.

从单调性到导数，就是从定性地描述变化到定量地描述变化的过程，定量地分析和解决问题是数学的基本特征，也是直观想象、数学抽象、逻辑推理素养的具体体现，这种思想方法在研究函数中发挥重要的作用

.

相对于传统方法而言，导数在判断函数单调性，讨论函数的极值、最值以及证明不等式中发挥出巨大功效

.

对于本题，在思路1的探求过程中，目标函数分子、分母同时除以

x

(或

y

)后，如果实施换元(例如令可以惊喜地发现目标函数可转化为一元函数，然后通过导数方法研究函数的单调性，进而求出极值和最值

.

解法

①当

x

=0时，易得②当

x

≠0时，(*)式分子分母同时除以

x

，得

设则设则有

令

g

′(

t

)=0，得或当或时，

g

′(

t

)<0，

g

(

t

)单调递减；当时，

g

′(

t

)>0，

g

(

t

)单调递增，所以，当时，

g

(

t

)取得极大值当时，

g

(

t

)取得极小值又当

t

→±∞时，所以从而

评注：

上述解答构造齐次式后，通过换元将问题转化为一元分式函数的值域问题,自然可以考虑用导数的方法进行研究

.

其中，只需注意为避免系数“20”参与运算，又适时构造了函数

g

(

t

)，以此节约运算成本，简化问题的讨论

.

此处，也可以深刻地体会导数对于讨论函数(含三角函数、数列)性质的普适性，体会知识之间的有机衔接与融合

.

思路3:

重要不等式法

.

重要不等式

a

+

b

≥2

ab

(

a

,

b

∈

R

)(当且仅当

a

=

b

时取等号)是探索范围(最值)问题的有力工具

.

逆用重要不等式，可将

a

，

b

的乘积项放缩为平方和的形式

.

在本题中，已知条件45

x

-12

xy

+52

y

=20中，除了

x

，

y

的平方和外，还有

x

，

y

的乘积项

.

而本题目标式是平方和的形式，因此解题的方向也逐渐趋于明朗，即考虑将12

xy

进行放缩，积极向所求平方和结构3

x

+4

y

靠拢，其中系数的调控往往需要通过“拆项、添项、配凑”等常见技巧实现

.

具体过程如下

.

解法3：

由重要不等式得12

xy

=2·3

x

·2

y

≤9

x

+4

y

，当且仅当即或时等号成立，从而20=45

x

-12

xy

+52

y

≥36

x

+48

y

=12(3

x

+4

y

)，进而同理，由重要不等式可得到当且仅当即或时等号成立，从而20=45

x

-12

xy

+52

y

≤48

x

+64

y

=16(3

x

+4

y

)，所以综上，即3

x

+4

y

的范围是

评注：

创设重要不等式使用的条件，合理拆分项或配凑因式是经常用到的解题技巧，需要敏锐的观察能力和较强的变形能力，如本题中即有12

xy

=2·3

x

·2

y

和两处拆分、重组，要细心体会如此拆分背后的考量与前进的方向

.

当然，拆与凑的过程可能不是一蹴而就的，很多试题需要结合条件与结论的结构特征与数量关系，经历多次尝试与优化调整后方能达到目的

.

另外，利用各种不等式工具解题要及时关注等号成立的条件，上述解答过程的两处放缩中都要验证等号能否成立

.

思路4:

三角换元法

.

从已知条件切入，用配方法可将已知条件45

x

-12

xy

+52

y

=20变形为此时式子结构为“平方和为1”的形式，联想到同角三角函数基本关系式sin

θ

+

cos

θ

=1，为此，可考虑进行三角换元，转化为单角三角函数的值域问题，之后利用弦函数的有界性解决即可

.

当然，本题也可从问题(结论)出发，设3

x

+4

y

=

p

，配方得同样可考虑进行三角换元，代入已知条件45

x

-12

xy

+52

y

=20中，再通过分离参数将

p

表示为单角三角函数，之后同样借助弦函数的有界性解决即可

.

解法4：

因为45

x

-12

xy

+52

y

=20，配方得令解得将其代入3

x

+4

y

，得其中从而

解法5：

设3

x

+4

y

=

p

，配方得令解得代入已知条件45

x

-12

xy

+52

y

=20，化简得则即

评注：

解法4、解法5虽然思维方向相反，但都是对条件(或结论)进行变形、配方为平方和为1的典型模式，联想到三角函数基本关系式sin

θ

+cos

θ

=1，于是考虑进行三角换元，把双变量问题转化为单变量三角函数值域问题，再利用正余弦函数的有界性轻松求解

.

思路5:

几何意义

.

思路4中的两种解法都是通过变形整理为“两式平方和为1”的结构，进而进行三角代换解决问题的

.

那么,如果不化成上述结构形式，例如保留等式右侧的数值“20”，是否依然能够解决问题？另一方面，通过高中解析几何模块的学习，可以知道每一种圆锥曲线都与一个二元方程相对应，在讨论圆锥曲线的性质时，也总是试图从图形中获取灵感

.

根据这样的学习经验，可以发现本题中已知条件即是二元方程，于是猜想它在几何上表示何种曲线，能否从几何视角萌发解决问题的思路，带着这些疑问进行如下探究

.

解法6：

由于45

x

-12

xy

+52

y

=20，配方得=20

.

设解得其中

a

+

b

=20

.

从而设从而所以，动点(

a

，

b

)的轨迹是长轴长为短轴长为的椭圆

.

当16

m

=20即时，椭圆最小；当12

m

=20即时，椭圆最大

.

所以，亦即

评注：

本题条件是关于

x

，

y

的二次方程，容易联想到圆锥曲线

.

为此，将方程等价变形，经过旋转变换后变成椭圆的标准方程，欲求的范围就是椭圆上的点到中心的距离最值问题

.

逆向来看，本题的已知条件就是一个经历旋转变换之后的椭圆

.

从几何视角考察问题显然更直观形象，一目了然，也为认识问题的本质提供了全新的视角

.

四、 强化训练

以拉格朗日乘数法为背景的二元方程约束条件下的二元最值问题，历来是高考和竞赛考查的热点问题，试题一般是函数、方程与不等式知识的综合应用，技巧性较强，难度较大，可以从函数单调性、导数法、不等式工具等角度考虑，寻求解题灵感，如下面的两例

.

案例1

(“超级全能生”浙江省2020年联考B-10) 已知实数

x

,

y

满足

x

-4

xy

-5

y

=5，则

x

+2

y

的最小值为( )

解析：

本题是二元二次方程约束条件下的二元最值问题，可考虑通过上述思路求出极值

.

限于篇幅，现给出最常用的解法

.

思路1:

利用导数法

.

利用目标函数构造齐次式，然后分子、分母同时除以

x

(或

y

)，换元后将目标函数转化为一元函数的最值问题，然后通过导数研究函数的单调性，进而求出最值

.

解法1：

因为

x

-4

xy

-5

y

=5，所以①当

y

=0时，

x

+2

y

=

x

=5

.

②当

y

≠0时，设则设令

f

′(

t

)=0，得或

t

=-4，当

t

<-4或

t

>时，

f

′(

t

)>0，

f

(

t

)单调递增；当时，

f

′(

t

)<0，

f

(

t

)单调递减，所以当

t

=-4时，

f

(

t

)取得极大值又当

t

→+∞时，

f

(

t

)→1

.

所以即有解得综合①②，所以

x

+2

y

的最小值为故选B

.

思路2:

运用基本不等式

.

观察条件

x

-4

xy

-5

y

=5，发现该等式可以通过因式分解等价变形为(

x

-5

y

)(

x

+

y

)=5，由“积为定值”的结构特征，联想到进行换元

s

=

x

-5

y

，

t

=

x

+

y

，从而将关于

x

，

y

的二元函数转化为

s

，

t

的二元函数，进而借助基本不等式可求出最值

.

解法2：

由

x

-4

xy

-5

y

=5，得(

x

-5

y

)(

x

+

y

)=5，设解得且

ts

=5，所以当且仅当即时取等号

.

所以

x

+2

y

的最小值为故选B

.

思路3:

拉格朗日乘数法

.

解法3：

令

L

(

x

,

y

,

λ

)=

x

+2

y

+

λ

(

x

-4

xy

-5

y

-5)，则解得所以

x

+2

y

的最小值为故选B

.

案例2

(2017清华大学能力测试-12) 已知实数

x

,

y

满足5

x

-

y

-4

xy

=5，则2

x

+

y

的最小值是( )

解析：

参考案例1，答案为A

.

五、 结语

《中国高考评价体系》提出：高考关注与创新密切相关的能力与素养，比如独立思考能力、发散思维、逆向思维等

.

而追根溯源可以直击命题意图，横跨纵联也利于培养学生的发散思维等创新性思维

.

对于诸多高考真题和模拟题，教师要充分挖掘其意境高深悠远、再生能力强、探究空间大的优势，引导学生分析条件，捕捉信息，抓住关键，挖掘本质，揭示所求，寻求联系，形成设想，构建方案，启迪学生运用开放性、创新性的思维方式应对问题情境

.

而学生在感知确认、抽象概括、合情推理、语言转换、审美想象、操作运算、揣摩切磋、思路调整等思维活动中全方位、多角度、多层次地思考问题，综合运用各种方法，提出新视角、新观点、新设想，逐步学会有逻辑地思考数学问题，为数学核心素养的落地提供支撑，如此，才是艺术追求、智慧生成、活泼生动的生态课堂

.

“一题多解”“一题多变”“多题一法”也充分体现了教学的简约性功能，在尽可能短的时间内传播尽可能多的数学思想，对题海战术也是一种“反动”

.

需要注意的是，在引导学生探究时须充分考虑学生认知过程的阶段性，注重整体设计、分步实施、有序落实、螺旋上升，循序进阶

.