质量比对深海立管二维耦合振动特性影响研究

张文林，桑 松，曹爱霞，刘滕飞

（1.中国海洋大学工程学院，山东 青岛 266100；2.青岛黄海学院智能制造学院，山东 青岛 266427）

0 引 言

在国民经济总量不断稳步增长的今天，随着经济、社会、科技的高速发展，世界各国和地区对石油和天然气等重要资源的消耗和需求日益增大，开采范围也逐渐向深海领域发展，各种海洋石油开发装备也应运而生。立管作为海洋平台和海底井口之间的必要通道，承受着浪流、地震等环境载荷和上部浮体运动带来的冲击载荷等，尤其当流致涡激导致流体涡泄频率与立管自振频率接近时，结构会出现大幅运动的情况，直接威胁着立管的安全运营和使用寿命。目前对于深海立管的研究主要采用实验分析法和数值模拟方法，其中数值模拟方法又包括CFD 方法、经验法和尾流振子模型法。Bishop 等（1964）[1]分析总结实验数据，研究发现作用于立管上的力可以采用一个非线性振子来近似模拟。基于Bishop 的分析思想，Hartlen 等（1970）[2]首先将范德波尔方程充当圆柱横流向升力系数的控制方程，通过选择合适的参数，该模型可以模拟当涡泄频率接近立管固有频率时出现振幅大幅增加的现象，同时在运动方向与结构的运动响应进行耦合；Facchinetti 等（2004）[3]对细长结构物后方尾流场进行了研究，深入地探讨了尾流振子模型的动力耦合特性，分析了三类耦合项（立管加速度、立管位移、立管速度）对系统动力响应的影响，研究结果表明对加速度耦合能够成功地定量预报立管涡激振动响应以及其他相关特性。

本文利用经典的结构动力学理论分别建立结构双自由度振动的动力学方程和尾流振子的范德波尔方程，方程中考虑双自由度振动的耦合情况，构建立管二维振动的控制方程，并以此来预报立管平面双向涡激振动相关特性。

1 立管双向耦合振动方程

1.1 振动方程的建立

利用经典的结构动力学理论分别建立了结构双自由度振动的动力学方程和尾流振子的范德波尔方程，考虑双自由度振动的耦合情况，构建立管二维振动的控制方程[4]如下：

式中：ms为结构的质量；ma为流体的附加质量，表示无粘流体的惯性作用力；cs为结构粘滞阻尼；cf为流体附加阻尼，表示流体的粘性作用力；X、Y为圆柱质心位置向量；FVX，FVY为旋涡对结构的交变作用力分力；H为流体实验参数；q为涡场强度；ε为考虑双向运动耦合因子；ωst为涡泄频率。

通过将式（1）的尾流振子方程和结构振动方程无量纲化，即使得x=X/D，y=Y/D，D为圆柱直径，同时令τ=tωst，得到考虑来流方向耦合作用的刚性立管振动方程如下：

1.2 摄动法解析振子响应

考虑到涡激达到稳定后系统方程的解可以近似为简谐振动，故可将横流向和顺流向的振子运动形式表达为

同时可将振幅和相位写成

式中，Φ为随时间变化的相位，ax、ay、aq分别表示顺流向瞬时振子振幅、横流向瞬时振子振幅以及流体振子振幅，ω为振动的圆频率，ϕx、ϕy、ϕq表示相对应的瞬时相位角。摄动法是求数学物理问题近似解的一种方法，它把非线性系统视为模型的参数或结构作了微小扰动的结果来求解其振动过程。运用摄动法对振动方程进行解析可得ȧx，ȧy，ȧq，ϕ̇x，ϕ̇y，ϕ̇q的表达式为[5]

由于变化率(ȧx,ȧy,ȧq,ϕ̇x,ϕ̇y,ϕ̇q)属于摄动值，且和ε具有相同的数量级，对稳定后系统进行一个周期的积分，同时假定(ax,ay,aq,ϕx,ϕy,ϕq)在一个周期T内值的大小不变，从而有

根据式（6）中的第一式，由各系数正负值可得sinψ＜0，所以相位角-π ＜ψ＜0，同理，由第三式可得0 ＜ϕ＜π。整理可得

上式中当ω值较大或者较小时可以用以下近似表达式代替

从图1 可以看出起始阶段在约化速度较小时无量纲频率为1，无量纲频率本质上为立管振动频率与旋涡脱落频率之比，即两者在流场流速较低时相等。当约化速度Ur=3.6 左右时发生锁振现象，结构振动频率和立管的固有频率接近，随着约化速度的继续增加无量纲频率急剧下降到0.73。随后ω继续增加，当Ur＞7.9，ω稳定在0.95附近。

当不同约化速度下的无量纲约化频率确定之后，可以进一步求解结构的双向无量纲振幅ax和ay以及相位角ψ和φ，公式为

通过数值解析式（10）得到如图2 所示的横流向无量纲振幅和顺流向无量纲振幅，其中横向无量纲振幅曲线随约化速度先增大后减小，出现一次峰值，在Ur∈( 4,8 )范围内振幅增加较快，峰值达到0.584。顺流向振幅曲线出现两次峰值，第一次峰值为0.044，第二次峰值为0.145，Ur∈( 4.5,7.5 )时幅值增加较快。

同样，由公式（10）可得到如图3 和图4 所示的顺流向和横流向的无量纲相位角Ψx和Ψy及其夹角θ，三者关系为

由图3 可见，横流向无量纲相位角随约化速度的增加逐渐由0°增加到接近180°，在Ur= 4处发生第一次突变，在Ur= 7.5 处左右出现第二次突变，在Ur∈( 4,7.5 )之间增速远大于两边，Ur＞7.5时曲线接近平稳。可以较为明显地看出顺流向无量纲相位角随流速的增大由-180°变化到0°，在Ur= 2.2处发生突变，相位角由-160°跃升到-20°，当Ur＞4时稳定在0°左右。两个方向上的相位角相差很大，并且发生突变位置也不相同。

由图4 可见，在Ur∈( 2,4 )范围内相位角产生明显的变化，最小值在35°左右。

2 质量比对涡激振动的影响

2.1 模型验证

在实际海况中，由于立管的质量比相对不高（一般不超过14），因此仅需关注低质量比的情况。前面推导并建立了双自由度耦合振动模型，同时推导了耦合模型的近似解，本节将模型方程离散化，应用NewMark-β法求解立管在时域下的振动响应。考虑结构振动的迟滞效应，按流速增加和流速减小两种情况对振动幅值进行讨论，流速间隔为0.05，待系统稳定后提取振幅。以Stappenbel等[6]的实验数据为参照，验证本模型的正确性。Stappenbel进行了多组质量比不同和阻尼比相同的实验，数据如表1所示。本文以质量比为8.79和2.36为例对模型进行数值求解，得到无量纲振幅，并将结果和文献[7]中的试验数据进行比对（见图5）[7]。

表1 Stappenbel试验工况Tab.1 Conditions of Stappenbel test

从图5 中可以看出，在横流向上幅值随流速先增加后减小，在Ur=6.7 左右振幅急剧增加，产生共振现象，流速超过共振区后振幅急剧减小，随着质量比的减小立管的振动幅值呈变大趋势，质量比为8.79 和2.36 的立管的振动峰值由0.66 增加到1.47，Ur∈( 3.5,8.5)范围内产生频率锁定现象，即该区域为锁振区。在顺流向上幅值随流速先增加后减小，随着质量比的增加振幅逐渐减小，振动峰值由0.06 增加到0.44，锁振区为Ur= 4～7.5。横流向和顺流向的立管振幅峰值之比会随质量比的增加而增大，体现了双自由度的振动存在较强的耦合性。总体上随着质量比的减小，因流速变化造成的迟滞现象愈发减弱。本质上讲，立管振动的迟滞现象是由于耦合振动方程中耦合参数ε的存在，从而在流速增大和减小情况下振幅曲线产生的不重叠现象，且耦合参数ε随质量比的减小而减小。本模型预测的锁频域较试验窄但与试验数据曲线呈相同的变化趋势，吻合度较高，能够用来定量地分析立管双向振动的相关特性。

对质量比m*=2.36，阻尼比ξ=0.006，不同流速下刚性立管的平面运动轨迹绘图，如图6所示。

从图中可以看出，随着流速的增加，横流向和顺流向的振幅均先增大后减小。在Ur=4～6时，轨迹类似数字‘8’，从而表明横流向的振幅远大于顺流向的振幅，且横流向的振动频率是顺流向的一半。当流速大于7 时，振幅大幅度减小，流速大于12 之后立管运动轨迹基本保持不变，流速Ur=7～10 范围内运动轨迹呈月牙形。

2.2 不同质量比的立管双向振幅

如表2 所示，选用质量比为1.83～11.05，阻尼比同为0.006 的立管参数，实际海况中立管大多为低质量比立管，考虑到流体的迟滞作用对流速增加和减小的影响，运用数值方法求解耦合振动方程得到横流向和顺流向振幅随约化速度的变化曲线，见图7和图8。

表2 不同质量比工况参数Tab.2 Operating parameters with different mass ratios

从图7 中可以观察到，随着质量比的减小，共振区域逐渐增大，即立管在更大的范围内产生“锁振”现象，振动频率等于旋涡脱落频率。随着质量比的减小，峰值由0.492增加到1.533，并且峰值增加的速率也逐渐减小。流速Ur＞11时，振幅区域呈开口状，且低质量比振幅远大于高质量比的振幅，两者不在同一个数量级。振动的迟滞现象会随着质量比的减小而越发不明显，由图中可以看出，迟滞现象会使得在相同流体参数和结构参数情况下，流速增加的振幅大于流速减小的振幅，这一现象产生的原因是耦合模型非线性方程中流体耦合参数ε会随着质量比的变化而发生变化。

从图8可以看出，在顺流向上迟滞现象不明显，流速增加和流速减小两种情况下的振幅曲线基本重合。无量纲振幅随质量比的减小而增大，和横流向振幅的变化趋势大致相同，但顺流向的振幅和峰值均远小于横流向的振幅和峰值，均出现了两次峰值的现象，且各种质量比情况下出现第一次峰值和第二次峰值的约化速度区间大致不变，Ur=2.6 左右出现第一次峰值，Ur=6.2 左右出现第二次峰值。随着质量比的减小，第一次峰值与第二次峰值的差距逐渐增大，当质量比m*＜8.71时，第一次峰值大于第二次峰值；当质量比m*＞8.71时，第一次峰值小于第二次峰值。

根据以上横流向和顺流向的振幅曲线可得，适当增加立管的质量比有助于减小各种流速下的立管振动响应幅值，同时应合理设计立管的结构参数和材料参数，避免立管的固有频率落入共振区域，产生“锁振（lock-in）”现象，这会引起立管大幅度剧烈振动，产生疲劳损伤，进而遭到破坏。

2.3 立管质心运动轨迹随质量比的变化

根据2.2 节结论，质量比对顺流向无量纲振幅和横流向振幅均有影响，并且会改变锁频域和振幅曲线首尾端形状。在时域下求解双自由度立管耦合振动方程，待系统稳定后提取一个周期内各时刻立管质心的位移，即可求得质心的运动轨迹。如图9所示，设定阻尼比ξ=0.008保持不变，将不同质量比的质心运动轨迹曲线在竖直方向上绘制于一个图中，可得到不同约化速度下质量比对立管运动轨迹的影响。

从图9可以看出，在不同流速下，质量比的增加会引起顺流向和横流向无量纲振幅的减小，且大致形状发生变化。随着流速的增加，两个方向上的振幅均先剧烈增加然后减小，当Ur＜5.5时，振幅较小，质量比对振幅的影响不明显，即该状态下振幅对质量比不敏感。当5.5 ＜Ur＜6.5 左右，轨迹形状大致呈‘8’字形，顺流向振动频率是横流向频率的2倍。在Ur=7.5时横流向振幅达到最大值1.47，该流速下质量比对振幅的影响非常显著，呈阶梯型变化，横流向振幅由1.47减小到0.13。当Ur≥8.5时，各质量比的运动轨迹呈现月牙形，立管两个自由度上的振动存在相位差，Ur=9.5 时顺流向振幅达到最大值且月牙形更加明显，在质量比的影响下振幅由0.42 减小到0.052，横流向振幅减小。当Ur＞9.5 时振幅随着流速的增加而急剧减小，轨迹形状由月牙形过渡到‘8’字形，质量比的影响减弱。综合以上图像分析可得，质量比对两个方向上的振幅均有较大的影响，同时顺流向的振动对整体的影响需要考虑，计算时不可忽略，并且不同流速下影响的强弱不同，振幅急剧增加的区域为锁频域，在锁频区域质量比的影响最大，根据本算例的分析，锁频区域为5.5 ＜Ur＜9.5。

2.4 双自由度振动的耦合

黄智勇等[8]采用SSTk-ω湍流模型求解RANS 方程，深入研究了低质量比刚性立管在分别限制一个方向振动的情况，研究表明顺流向振动与横流向振动有较强的耦合性，双自由度的耦合振动等产生更大的横向无量纲振幅，顺流向对振动系统的影响不可忽视，横向振动频率为顺流向振动频率的一半，且振幅差距一个数量级，数值模拟结果与Jauvtis等[9]的实验探究吻合度较高。

本节主要通过求解非线性的模型方程，研究在不同阻尼比的情况下不同质量比的立管横流向振幅和顺流向振幅之比，定义双向无量纲振幅比为ay/ax,通过进一步分析整理前面的计算结果，绘制双向无量纲振幅比曲线，如图10所示。

观察图10可知，阻尼比ξ＜0.046时双向无量纲振幅比变化趋势大致相同，ξ＞0.15时双向无量纲振幅比变化趋势相同。在整个约化速度范围内，各质量比的曲线均先减小到达谷值然后急剧增加到达峰值，随后逐渐减小，最终趋于平衡稳定状态。在不同阻尼比下，曲线均在流速Ur=2.2～2.4附近取得最小值，在流速Ur=7.5～8附近取得最大值，在低流速区域振幅比较小，且出现小于1的值，表明在低流速区域顺流向振幅ax比重较大，横流向振幅占主导地位，如果忽视顺流向的作用将产生较大误差。在Ur＞4.5的区域双向无量纲振幅比较大，表明在该流速区域横流向振幅占主导地位。Ur＞8时双向振幅比接近平稳，表明该阶段横流向振幅和顺流向振幅表现出强耦合性，顺流向的作用不可忽略。

3 结 论

本文利用经典的结构动力学理论分别建立了结构双自由度振动的动力学方程和尾流振子的范德波尔方程，方程中考虑了双自由度振动的耦合情况，构建立管二维振动的控制方程，采用摄动法解析振子响应，得出了双向振动的振幅和相位表达式。探讨了质量比对立管双向振动的影响规律以及对质心运动轨迹的影响，计算结果表明：

（1）耦合参数ε的存在会影响流速增大和流速减小时的振幅，且耦合参数会随质量比的减小而减小。

（2）质量比对顺流向无量纲振幅和横流向振幅均有影响，并且会改变锁频域和振幅曲线首尾端形状。适当增加立管的质量比有助于减小各种流速下的立管振动响应幅值。

（3）考虑双向耦合因子对立管双向运动和质心运动轨迹会产生一定的影响，横流向振幅和顺流向振幅表现出强耦合性，顺流向的作用不可忽略。