基于SIF均匀化方法的FGM板及FGM圆筒Ⅰ型裂纹尖端应力研究

李 戎，杨 萌，梁 斌

（河南科技大学土木工程学院，河南 洛阳 471023）

0 引 言

功能梯度材料（FGM）因其消除了传统层压复合材料结构中的界面问题，可在满足工程结构轻量化需求的同时增强结构强度而被广泛应用于航空航天、船舶和汽车制造等领域[1-3]。以汽车为例，车身噪音往往会伴随实际行驶速度的持续提高而以几何级数规律增加，共振有可能导致产生裂纹甚至结构破坏，对内燃机和气缸套等关键FGM 零部件进行断裂力学分析是保障整个车体结构稳定性和安全性的先决条件。

FGM 板和FGM 圆筒是工程机械关键零部件常见结构形式[4-5]。已有研究表明，含裂纹结构裂纹尖端应力值与构件断裂韧性密切相关[6]。但是，由于裂纹尖端应力奇异性的存在，由有限元软件得到的应力值不能直接用于工程设计中。因此，目前关于含裂纹FGM 结构的研究主要集中在应力强度因子（SIF）、断裂韧性（临界SIF）特性以及计算方法优化等方面[6-11]。Nazari 等[12]证明了功能梯度钢的断裂韧性取决于裂纹所在梯度区域的位置和方向。Sabuncuoglu等[13]利用位移相关方法（DCT）计算了FGM裂纹尖端附近SIF。陈建等[7]和Kim 等[8]则尝试通过改进节点以及网格划分方式等来优化SIF 计算方法。项目组前期研究结果显示，含裂纹FGM 结构（板、圆筒）和对应含裂纹均匀材料结构的SIF之间存在与裂纹尖端应力值有关的比例关系，可基于此关系直接使用应力比值进行FGM 板SIF 均匀化转换[14-16]。但是，这两者之间裂纹尖端应力关系影响因素尚不明确，应力比值方面的研究在参考文献中还未见涉及。

本文基于SIF 均匀化转换方法，以含裂纹FGM 板和FGM 圆筒作为研究对象，构建FGM 结构和相应均匀材料结构之间裂纹尖端应力比值表达式，研究材料梯度、裂纹尺寸及其所在位置和构件几何尺寸等因素对裂纹尖端应力比值的影响。

1 力学模型

基于有限元软件MSC.Marc.2012 建立如图1 所示的有限宽含边缘裂纹平面应变板模型和含环向裂纹圆筒轴对称模型，裂纹长度/深度为a，模型两端施加相同拉力，L/W＞2，L/h＞2。模型材料分别选用FGM和均匀材料，FGM板和FGM圆筒的材料分别沿x方向以及r'方向按照指数函数连续变化。

2 理论推导

2.1 FGM板SIF的均匀化

图2中给出了FGM 结构裂纹尖端几何模型。对于FGM 板，其裂纹尖端附近应力场可表示为如下形式[17]：

其中，上角标P 代表FGM 板，r和θ为裂纹尖端极坐标，a为裂纹长度，KⅠ为Ⅰ型SIF。β是与结构两侧材料弹性模量比值有关的参数，FGM板左、右两侧材料性质沿x轴方向按照β连续性变化。E(x)为FGM 板弹性模量，FGM 板左侧E(0)=E1，右侧E(W)=E2。当E2/E1= 1 时，FGM 板退化为均匀材料板（*）。E(x)的表达式为

当θ= 0时，y轴方向应力可简化为

FGM 和均匀材料裂纹尖端SIFKⅠ≠，但是应力奇异性不受材料梯度影响[24]，可利用“比值”形式消除应力奇异性。因此，当r→0，FGM板和均匀材料板的板宽、外部载荷和裂纹尖端附近网格划分完全相同时，两者裂纹尖端应力比值σy与相应SIF比值KⅠ/KⅠ*之间存在比例关系[14]

无量纲SIFFⅠ和SIFKⅠ满足关系式FⅠ=KⅠ/(σhπa)，裂纹尖端应力σy和FⅠ之间存在如下比例关系式，可基于此式进行应力均匀化转换。当FGM 板和均匀材料板裂纹尺寸相同a=a*时，(σy)P=FΙ/。

2.2 FGM圆筒SIF的均匀化

假定图1中FGM 圆筒内、外表面材料性质沿厚度r'方向连续性变化，圆筒材料性质沿厚度方向按照幂指数函数变化（材料梯度指数p满足0 ≤p≤∞）。基于线性混合法则[18]，FGM 圆筒弹性模量E(r')为

式中，下角标i代表内表面材料，下角标o代表外表面材料。根据线弹性断裂力学，FGM 圆筒裂纹尖端应力场表达式为

上式中，上角标C 代表圆筒，KⅠ、KⅡ、KⅢ为SIF，(θ)、(θ)、(θ)为无量纲角函数，i、j=1、2、3对应空间坐标系的三个方向，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示三种裂纹形式，r和θ为裂纹尖端极坐标（见图2）。图1所示FGM圆柱壳所对应的Ⅰ型裂纹尖端应力场表达式为

材料梯度不影响应力奇异性以及无量纲角函数[20]。因此，当FGM圆筒和均匀材料圆筒（*）几何尺寸、裂纹类型、外部载荷和裂纹尖端附近网格划分完全相同时，两者间裂纹尖端SIF和应力之间存在与裂纹尺寸有关的比例关系[15-16]，裂纹尖端应力比值可以进一步写成如下形式：

当FGM 圆筒和均匀材料圆筒裂纹所在位置和尺寸均相同时，裂纹尖端应力比值和SIF比值相等，(σy/)C=FⅠ/。

对比公式（4）～（5）和（9）～（10）发现，FGM 板和FGM 圆筒结构形式不同，但是均可基于裂纹尖端应力比值实现SIF均匀化转换，且转换公式相同。

3 算例与讨论

采用四节点四边形单元建立如图3～4 所示模型，裂纹尖端附近网格加密。板宽W=1 mm，圆筒壁厚h=1 mm，两端施加拉力σh=1MPa。裂纹尖端附近最小网格尺寸emin大小参考文献[14～16]，有限宽板emin=1/39mm，等厚圆筒emin=1/38mm。板和圆筒单元总数分别为29911和23 289，裂纹尖端附近单元数约为2万个。设定泊松比为常数，ν=0.3；FGM 板左侧材料弹性模量E1数值固定，FGM 圆筒外表面材料弹性模量Eo数值固定。

3.1 FGM板和均匀材料板之间Ⅰ型裂纹尖端应力关系

本文算例中，FGM板和相应均匀材料板裂纹尺寸相同。通过算例分析了材料梯度、几何尺寸以及模型网格划分等因素对裂纹尖端应力关系的影响。

3.1.1 裂纹尖端应力分布

由于裂纹尖端存在应力奇异性，使用Marc 得到的应力值随模型网格尺寸改变而发生变化。由表1可知，FGM板和均匀材料板在几何尺寸、网格划分、裂纹尺寸a/W等完全相同的情况下，材料不同，裂纹尖端应力值不同；材料性质影响应力数值，但并不影响尖端附近应力分布规律；由于两种板左侧材料相同（E1=），FGM 板E2/E1=0.1，均匀材料板应力值σ*y均小于FGM 板应力值σy。当裂纹尖端附近最小网格尺寸emin小到一定程度（1/39mm）时，两种板裂纹尖端应力比值恒定，不随与尖端距离r/W的变化而发生改变（见图5），此结论与文献[14]相同。因此，下文中取用尖端第一个单元节点应力值进行分析。

表1 板裂纹尖端应力分布Tab.1 Stress distributions of crack tip in plate

3.1.2 应力比值影响因素分析

本文中，假定FGM 板由两种材料混合而成，板中左、右两侧（x= 0,W）材料弹性模量比E2/E1反映FGM 材料组分变化，弹性模量E沿x轴方向按照材料梯度指数β=( 1/W)·ln(E2/E1)连续性变化，β= 0（E2/E1=1）时可退化为均匀材料板。图6 中给出了FGM 板和相应均匀材料板裂纹尖端应力比值随裂纹尺寸a/h和指数β变化的曲线图。由图6可见，在裂纹尺寸以及板宽一定的情况下，E2/E1不同，裂纹尖端应力比值不同；应力比值曲线变化幅度随 |β|增大而变大，曲线形状与β值有关。β＜0 时应力比值随a/h的增大先增大后减小，曲线形状开口向下，β＞0时曲线形状开口向上。

结构裂纹尖端应力值与所处位置材料性质有关，裂纹尖端位置沿x轴方向随裂纹尺寸a/h增大发生变化。为方便对照，图7 给出了图6 中FGM 板和均匀材料板裂纹尖端位置弹性模量比值E/E*变化曲线。结果显示，σy/σy*与E/E*相互对应，曲线形状基本相反，该现象反映了裂纹尖端应力值对材料弹性模量的高度依赖性。

3.2 FGM圆筒和均匀材料圆筒之间应力关系

3.2.1 外表面环向裂纹

外部载荷相同的情况下，含环向裂纹圆筒裂纹尖端应力受裂纹所在位置及尺寸、材料性质、构件几何尺寸等因素影响。表2 和图8 中针对外表面环向裂纹，分别给出了均匀材料圆筒和FGM 圆筒裂纹尖端应力分布表和应力比值变化曲线图（内外半径比Ri/Ro= 0.8）。表中，两种圆筒外侧材料相同（Eo=），FGM圆筒Eo/Ei=0.1。对比分析后发现，两种圆筒裂纹尖端附近应力分布规律完全一致，但是应力值大小受圆筒材料性质控制。当圆筒裂纹尖端网格最小尺寸emin=1/38mm，裂纹尖端附近应力比值稳定、数值不随与尖端距离r/h变化而发生改变，此结论与文献[15]相同，下文同样选取裂纹尖端第一个单元节点应力值进行分析。

表2 含外表面环向裂纹圆筒裂纹尖端应力分布Tab.2 Stress distributions of crack tip in hollow cylinder with external circumferential crack

FGM 圆筒体积分数按照幂指数函数沿厚度方向连续变化，材料性质可由材料梯度指数p控制。图9（a）和图9（b）分别给出了裂纹尺寸a/h以及材料梯度指数p不同时FGM 圆筒和相应均匀材料圆筒裂纹尖端应力比值曲线变化图（Ri/Ro=0.8）。由图可知，圆筒内外表面材料弹性模量（Ei和Eo）差异越大，p对应力比值σy/的影响越显著，Eo/Ei对σy/的影响主要体现在a/h较小的情况下；p＞5时，材料性质开始逐渐接近均匀材料状态，材料梯度对σy/的影响减弱。图10给出了图9中圆筒裂纹尖端位置弹性模量比值E/E*曲线图。可以看出，σy/变化规律与该位置对应E/E*变化规律相互对应，反映了应力对材料梯度的高度依赖。

材料梯度对圆筒裂纹尖端应力的影响程度与构件尺寸有关。图11 给出了FGM 圆筒和对应均匀材料圆筒应力比值随内外半径比Ri/Ro变化的曲线图。当材料梯度指数p＜0.1 或p＞5 时，FGM 大部分区域特性接近均匀材料特性。因此，下文中，取p= 1。

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由图可知，内外侧弹性模量比Eo/Ei对应力比值σy/的影响主要体现在Ri/Ro较小的情况下，影响程度随着Ri/Ro改变而有所不同；Ri/Ro=0.1 时，Eo/Ei对σy/的影响随裂纹尺寸a/h增大而增大；当Ri/Ro=0.9时，Eo/Ei对σy/的影响随a/h增大先增大后减小。

3.2.2 内表面环向裂纹

结构尺寸、材料和外部载荷等均相同的情况下，裂纹尖端应力受裂纹所在位置影响。表3和图12针对内表面环向裂纹，分别给出了均匀材料圆筒和FGM圆筒裂纹尖端应力分布表和两者应力比值变化曲线图（Ri/Ro= 0.8）。经过对比分析发现，两种圆筒应力变化规律相同，应力值大小完全不同。对比表2 和表3 发现，裂纹所在位置直接影响应力值大小，但并未影响应力变化规律，此结论与文献[16]的相同。

表3 含内表面环向裂纹圆筒裂纹尖端应力分布Tab.3 Crack tip stress distributions in hollow cylinder with internal circumferential crack

FGM圆筒（Eo/Ei=0.1）emin=1/38 mm FGM圆筒（Eo/Ei=0.1）emin=1/34 mm r/h→0 1/38 2/38 3/38 4/38 σy/MPa σy/MPa a/w=0.7 25.603 12.102 8.3640 6.2826 5.0752 a/w=0.1 75.765 37.903 27.649 22.128 19.096 a/w=0.3 142.24 71.096 51.848 41.473 35.766 a/w=0.5 193.38 96.670 70.463 56.345 48.584 a/w=0.7 233.24 116.53 84.944 67.914 58.542 r/h→0 1/34 2/34 3/34 4/34 a/w=0.1 8.2653 4.2485 3.2029 2.6517 2.3593 a/w=0.3 15.518 7.6241 5.4814 4.3146 3.6616 a/w=0.5 21.084 10.168 7.1699 5.5189 4.5781

对比图8 和图12 可见，当裂纹尖端附近最小网格尺寸小到一定程度（emin=1/38mm）时，应力比值σy/稳定，裂纹所在位置影响σy/数值及其变化规律。当裂纹位于圆筒内表面时，σy/随裂纹尺寸a/h增大而减小；当裂纹位于圆筒外表面时，σy/随a/h增大而减小。

图13 给出了含内表面裂纹FGM 圆筒和相应均匀材料圆筒裂纹尖端应力比值σy/σ*y随裂纹尺寸a/h以及材料性质Eo/Ei变化的曲线图（Ri/Ro=0.8）。由图可知，σy/σ*y随Eo/Ei的增大而减小，材料组合对裂纹尖端应力的影响主要体现在a/h较小的情况下；圆筒内外侧材料性质差别越大，p对σy/σ*y的影响越显著。

图14 中给出了图13 所示圆筒裂纹尖端位置对应的弹性模量比值E/E*曲线图。将两图进行对比后发现，σy/与E/E*的变化规律高度相似，此现象同样反映了应力值对材料梯度的高度依赖。

4 结 论

本文针对工程常见的含裂纹FGM 结构，基于均匀化转换方法，探讨了材料梯度性质、裂纹参数、构件几何尺寸等因素对裂纹尖端应力比值的影响，主要结论如下：

（1）FGM 板和FGM 圆筒结构形式不同，但是均可仅基于裂纹尖端应力比值直接实现SIF 均匀化转换，并且应力均匀化转换公式相同。

（2）外部载荷相同的情况下，含边缘裂纹FGM 结构（板、圆筒）和相应含裂纹均匀材料结构裂纹尖端应力分布情况相同，但是应力值和两者之间应力比值受材料性质、结构尺寸以及裂纹所处位置等因素影响。应力值均随裂纹尺寸增大而增大；应力值和应力比值与裂纹尖端弹性模量变化规律相互对应，数值随裂纹尖端所在位置材料性质而变化；裂纹尺寸以及材料性质一定的情况下，圆筒内表面裂纹应力比值大于外表面裂纹应力比值。

（3）FGM 板和FGM 圆筒材料性质可由材料梯度控制。而裂纹尖端应力不仅与材料组合有关，还受裂纹所在位置影响，裂纹尖端应力比值σy/变化规律和尖端位置弹性模量比值E/E*变化规律相对应。以圆筒为例（取梯度指数p= 1），外表面裂纹下，σy/随圆筒两侧弹性模量比值Eo/Ei增大而增大，E/E*随Eo/Ei增大而减小；内表面裂纹下，两者均随Eo/Ei增大而减小。

（4）材料梯度对FGM 圆筒和相应均匀材料圆筒之间裂纹尖端应力比值σy/的影响程度受圆筒内外半径比Ri/Ro影响，影响程度随Ri/Ro改变而发生变化；内外侧弹性模量比Eo/Ei对σy/的影响主要体现在Ri/Ro较小的情况下。