基于化学反应和微生物生长的时间-温度指示器跨模型匹配方法

李昱珩，马常阳

（1.华东师范大学数学科学学院，上海 200241；2.河南大学 国家食用菌加工技术研发专业中心，河南 开封 475004）

随着人们对食品质量关注、产品信息化追求以及监控手段的日益发展，食品的品质和货架期研究已经迈向了精准预测阶段，品质管理也已由原来的大宗管理逐步向零担化精准管理转变，时间-温度指示器（time temperature indicator，TTI）是在这个过程中形成并较为突出的技术。TTI是一种实时指示食品、药品等产品质量或安全性的智能标签，通过扩散、聚合、酶反应、微生物生长或者电子运算等物理、化学、生物反应将时间-温度历程累积，并通过标签的感官特性精确显示。由于TTI与食品相对独立，具有安全、便捷的特点，可以大量在食品中应用，实现食品品质和货架期指示的精细化。目前已有较多商业化的TTI品牌，例如Oli-Tec、OnVu、checkpoint、eO、Tempix，TRACEO、Monitor Mark、TT Sensor等，并成功在海产品、鲜肉、乳制品、食用菌、果蔬及疫苗等产品中得到初步应用。

TTI类型较多，按照作用机理分为扩散型、聚合反应型、化学型、酶型、生物型和光敏型等，匹配方法包括反应活化能匹配法、模糊数学法、相关性评价法、时间温度容许度（time temperature tolerance，TTT）方法和等量线匹配法等多种方法，但TTI与被监测对象的匹配过程大多基于同一数学模型和参数的前提进行。根据文献分析可知，虽然大多数与食品质量有关的物理、化学、微生物和感官指标等变化都遵循零级或一级反应动力学规律，但也有研究证实Baranyi & Roberts、Gompertz、Logistic、Monod模型等更适合预测微生物生长过程，其二级方程及对应参数不尽相同，因此建立一种通用型匹配方法实现不同类型TTI与品质指标的跨模型匹配是提高TTI匹配精度的有效手段。

鉴于等量线方法的直观性和兼容性及其在反应动力学领域的研究基础，本研究以等量线方法为出发点，分析不同模型间的共同规律，以期为TTI与被监测对象的跨模型精准匹配提供理论基础和应用策略。

1 理论方法与假设

1.1 理论基础

按照等量线方法，若TTI和被监测食品同时服从化学反应动力学模型时，可以通过二者等量线的重叠情况评价二者匹配效果，本研究尝试将微生物模型纳入其中，由此实现化学反应和微生物生长等模型的跨模型匹配。

1.1.1 恒温条件下TTI对食品货架期的指示

图1中和’分别为在合理温度范围内任意两个温度，Q和Q分别为货架期内任意品质变化片段（-th）的初始品质值/响应值和结束品质值/响应值，而为货架期终点的品质值/响应值。3 条等量线分别是研究对象从初始品质（）分别变化到Q、Q和所对应等量线。图中t、t、和’、’、’分别是研究对象在和’温度下到达Q、Q和所对应的时间点，而Δt和Δ’是在和’温度下研究对象从Q变化至Q经历的时间。如图1所示，等量线是由一系列温度、时间信息的点组成的线，其坐标信息指示了不同恒温条件下，研究对象从初始状态到达某一特定状态（尤其是货架期终点或响应终点状态）所需的时间。依据等量线规则，若TTI与食品品质具有吻合的货架期/响应终点等量线，则二者在任一恒温过程中，TTI的响应时间和食品的货架期均是相同的，因此TTI可以指示恒温条件下的食品货架期。

图1 基于等量线的不同温度下的等效转换过程示意图Fig. 1 Contours of different quality values and equivalent transition ratio between two temperatures

1.1.2 非恒温条件下TTI对食品货架期指示

在非恒温条件下，根据马常阳和张虎等的方法，采用等效转换的方式进行分析。首先将非恒温过程分解成足够多的片段，每个片段接近于恒温过程。再将非恒温过程中的每个恒温片段进行等效转换。例如将所有（t→t，）的反应进度按照一定比例（等效转换参数（equivalent transition ratio，ETR）、→’、Δt→Δ’）等效转换到同一温度（’）下，累积后即可形成一个等价于原非恒温过程的恒温过程（’→’，’）。在此过程中，若食品和TTI的ETR在各个温度下均相等，那么二者经历的非恒温过程等效转换成的恒温过程也相同，TTI便可指示对应的食品品质。

基于此，在TTI的响应终点等量线和食品的货架期终点等量线吻合前提下，二者在不同温度下的ETR是否相等，就成为检验TTI能否预测和指示食品货架期的关键。基于等量线的TTI匹配策略如图2所示。

图2 基于等量线的食品与TTI匹配策略图Fig. 2 Strategies of contour lines for the match of food with TTI

本文基于前期研究基础，推导等量线重合与ETR的关系，明确恒温条件的等量线重合与非恒温条件下ETR的关系。

1.2 理论假设

依据等量线的规律，不同温度下品质变化过程可以通过等效方式转换（图1）。ETR计算如式（1）所示，即任意1 个品质变化片段在不同温度下和’的等效转换率。

式中：Δt和Δ’分别是同一品质变化片段在不同温度下的等效时间。

前期研究证明了0～级化学反应动力学方程同时满足针对某一研究对象的关键品质，ETR仅与对应转换温度相关。若2 个研究对象的等量线重合，可证明二者在对应温度下的ETR是相同的，这就保证了二者从非恒温过程向恒温过程转换的一致性。如果其他货架期模型，尤其是微生物模型也能满足此规律，则可以使用等量线方法实现TTI和食品品质在化学反应和微生物生长模型间的匹配。本研究将从线性、Monod（米氏方程）、Gompertz、Logistic模型和Baranyi & Robert模型进行逐一分析。

2 模型推导与验证

2.1 化学反应动力学模型

一般情况下，多数农产品、食品以及TTI的品质指标，包括微生物指标在一定程度均可以使用多级化学反应动力学进行分析，具体方程如式（2）及表1所示。

表1 不同反应动力学级数对应的品质方程f（Q0，Qt）n形式Table 1 Forms of f(Q0, Qt)n for different reaction kinetic orders

式中：（，Q）为级化学反应动力学的方程形式；为级数，其数值仅为0或正整数；和Q分别是初始时和时刻的状态指标值；（）为以绝对温度为函数的品质变化速率；为时间。

品质变化速率函数（）可以是线性函数、幂型函数、双曲线函数、指数函数或以e为底的指数函数等形式，最常见的是Arrhenius方程，具体形式如式（3）所示。

式中：为反应活化能；为气体常数（8.314 J/（mol·K））；为速率常数。

由式（3）可推导出第个品质变化片段对应的时间Δt（式4）和ETR（式5）。根据式（5）可知，对于化学反应动力学模型而言，ETR只与2 个转换温度相关，而与反应级数、品质变化片段所处的位置无关。若令Q和Q分别为和，那么可以推导出ETR即为温度和’恒温过程下对应货架期的比值，如式（6）所示。

2.2 微生物生长模型

2.2.1 线性模型

线性模型方程如式（7）～（9）所示。

式中：为时间；N、N分别为货架期内任意1 个品质变化片段（-th）开始时微生物数量和结束时微生物数量；、N分别为初始微生物数量和时刻的微生物数量；和’分别为温度和’下的微生物增长速率。

由推导结果式（9）可知，ETR与不同温度下的微生物生长速率密切相关，与该研究区段所处位置和区段大小无关。再根据二级预测生物学模型可确定，在热动力学方程中，ETR仅与温度相关，此处不再赘述。

2.2.2 Monod模型

Monod模型方程如式（10）～（12）所示。

式中：为最大生长速率；为半饱和常数；为限制性基质浓度。

由推导结果可知，线性模型的微生物增长速率是常数，等于最大增长速率，所以Monod模型的ETR与线性模型结果相同，Monod模型中ETR也仅与不同温度下的微生物生长速率相关。

同理可得Logistic、Gompertz模型和Baranyi & Roberts模型中ETR对应于微生物生长速率的方程，具体推导结果如2.2.3节至2.2.5节所示。

2.2.3 Logistic模型

Logistic模型方程如式（13）～（15）所示。

式中：为该条件下最大微生物数量；为微生物生长延滞时间。

2.2.4 Gompertz模型

Gompertz模型方程如式（16）～（18）所示。

2.2.5 Baranyi & Roberts模型

Baranyi & Roberts模型方程如式（19）～（22）所示。

由上述公式推导可知，线性、Logistic、Monod、Gompertz、Baranyi & Roberts模型均得到相同结果，即ETR＝’/，在热动力学研究框架内，只与温度相关。若将N设置为货架期终点的微生物数量，N为，那么ETR即为对应温度下（与’）货架期的比值，不会随品质变化而变化。

结合1.2节假设，若TTI和被监测产品的等量线重合，那么二者不仅在各恒温下的货架期相同，且可推导出二者在对应温度下的转换比例ETR也相同，即可保证二者从任意非恒温过程向恒温过程的转换一致，即在非恒温过程中TTI同样可以指示被监测产品的货架期。

3 案例分析

为了验证本理论的可靠性，本部分采用实例对一级化学反应动力学模型和Baranyi & Roberts微生物模型进行阐述。

3.1 一级化学反应动力学模型在ETR上的稳定性

根据前期对‘玫瑰香’葡萄硬度的研究，得到对应的热动力学方程参数：＝63.54 kJ/mol、＝8.314 J/（mol·K）、＝24.14、＝9.21 N、＝2.21 N，由此得到‘玫瑰香’葡萄在-4、0、10 ℃和20 ℃的硬度变化规律，如图3所示。

图3 不同温度下‘玫瑰香’葡萄硬度变化趋势Fig. 3 Change in firmness of Muscat grape at different temperatures

将温度下‘玫瑰香’葡萄硬度从2 N变化到4 N和4 N变化到6 N所需时间分别设定为Δ和Δ，在4 个对应温度下的Δ和Δ以及货架期如表2所示。不同温度下对应Δ或Δ的比值ETR如表3所示。

表2 葡萄硬度在不同温度下经历相同恒温片段变化所需的时间Table 2 Equivalent duration of each interval at different temperatures of grape hardness

表3 一级化学反应动力模型中不同温度间的ETRTable 3 ETR between different temperatures of chemical kinetic model

尽管表3中各ETR是经表2中不同温度下对应Δ或Δ的比值计算得到，但ETR适用于对应温度下任何长度恒温片段的等效转换，也等于对应温度下货架期的比值。同理，等量线可以得到任意2 个合理温度下的ETR，用于对应温度下等效转换。

3.2 Baranyi & Roberts微生物模型在ETR上的稳定性

由罗非鱼微生物生长动力学模型可知：＝5.12（lg（CFU/g））、＝20.12（lg（CFU/g））、b＝0.008 9 h、＝-0.112 ℃、e＝2.718、＝0.085 9、＝1.71。其中为速率常数，为微生物状态参数，b和为平方根二级模型中的参数，货架期终点根据国际食品微生物标准委员会的报道定为7（lg（CFU/g））。由此可模拟不同温度下罗非鱼中微生物数量的增长过程，如图4所示。

图4 不同温度下罗非鱼中微生物数量增长过程Fig. 4 Microbial growth in tilapia at different temperatures

将温度下罗非鱼中微生物数量变化范围5～6、6～7（lg（CFU/g））和7～8（lg（CFU/g））所需时间定为Δ、Δ和Δ，其在4 个对应温度下的Δ、Δ和Δ及货架期如表4所示。根据表4数值通过换算得到微生物生长模型中4 个温度对应的ETR，如表5所示。

表4 罗非鱼中微生物数量在不同温度下经历相同恒温片段变化所需的时间Table 4 Equivalent duration of each interval at different temperatures of microbial populations in tilapia

表5 Baranyi & Roberts微生物模型中不同温度间的ETRTable 5 ETR between different temperatures in the Baranyi & Roberts microbial model

尽管表5中各ETR是根据表4中数据计算得到，但ETR适用于任何长度恒温片段在对应温度下的等效转换，也等于对应温度下货架期间的比值。同理等量线亦可以得到任意2 个合理温度下的ETR，由此可用于微生物生长在对应温度下的等效转换。

3.3 不同模型间等量线的相似性

根据3.1和3.2节已知的化学反应动力学模型和微生物生长模型，可以得到部分品质片段在不同温度下的变化时间以及货架期终点/响应值终点绘制的等量线，二者的品质变化与等量线如图5所示。

图5 不同温度下‘玫瑰香’葡萄和罗非鱼的品质变化过程及对应的货架期终点等量线Fig. 5 Quality changes and corresponding contours of Muscat grape and tilapia at different temperatures

无论是化学反应模型还是微生物生长模型，或二者复合模型，都可以依据货架期信息形成一个与图5类似的等量线，即在一般情况下低温对应的货架期较长而高温对应的货架期较短。TTI的反应机理也大多是依据酶反应、扩散过程、化学反应和微生物生长，因此也遵循这一规律并可以绘制出类似的等量线。每个ETR等于对应温度下的货架期比值，而不同温度下的货架期形成了等量线，因此TTI与被监测产品等量线的重合反映二者ETR相等，即可实现二者从任意变温过程向恒温过程等效转换的一致性，二者也必然会同时到达反应终点。因此，TTI与被监测产品的等量线相对位置或其方程的相似性也就成为了二者匹配的关键条件，即二者等量线重合，即可保证TTI对恒温和变温条件下被监测产品货架期的准确指示。

4 讨 论

反应进度概念的引入打破了不同模型间的壁垒，使得任何反应过程都可以通过反应时间和对应条件进行描述。本研究以温度作为关键条件，不同温度下反应时间的规律成为了不同模型间匹配的关键所在。目前所研究的大部分研究对象均遵循反应动力学模型或微生物生长模型，它们之间具有不同温度下反应时间成比例（即ETR）且稳定的特点，使得可以将变温向恒温转换，从而以恒温过程简单、直观地分析不同研究对象的品质变化。

要实现TTI与被监测产品反应进度的一致，传统方法往往使用相同的动力学模型参数对TTI和被监测产品的各自反应进行模型拟合，而忽略了模型与反应的匹配性。等量线方法从动力学模型出发，基于多模型的共同规律实现跨模型的匹配，可降低因模型拟合度不佳而造成的误差。

如前人研究成果所述，等量线方法虽然是以热反应动力学为基础而开发的TTI匹配方法，但该方法可以省略动力学模型的拟合过程，而直接拟合等量线，通过TTI与被监测产品等量线的重叠情况判断匹配效果，相较于传统方法，过程简单，降低了技术成本，可以实现TTI与被监测产品之间快速、有效地匹配。

5 结 论

本研究利用基于等量线的TTI匹配策略，对现有的多级化学反应模型和多种微生物生长模型进行验证，明确了在化学反应过程和微生物生长过程中，任一品质变化片段在不同温度下的等效转换时间比例（ETR）是恒定、可计算的，且等于对应温度下货架期的比值。基于等量线与ETR的关系，将基于等量线的TTI匹配方法推广至反应动力学模型和微生物生长模型。通过判定TTI与被监测食品的等量线重合情况，可以快速实现微生物型、酶型、聚合反应型等TTI与基于微生物、感官、理化等关键品质指标的匹配。相较于传统方法，等量线方法更有利于TTI的应用和推广。