中考数学“规律探索”题型分析及教学启示——以山西省中考数学试题为例

赵二女 王川龙 韩龙淑

(山西省太原师范学院,030619)

一、问题提出

近年来,“规律探索”题成为山西省中考数学试题的热点题型之一.“规律探索”型问题是在一定条件下,探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题,它往往给出了一组变化的数、式子、图形或条件, 要求学生通过阅读、观察、分析和猜想对材料信息进行加工提炼,从而得出数学规律[1].目前山西省的中考数学试题中,“规律探索”题型主要包括图形变化规律题、代数式变化规律题等.该类题型设计新颖,没有固定的步骤可以套用,需要学生仔细观察,寻找题中蕴含的规律，主要考察学生在观察归纳基础上进行数学抽象概括,发现和解决提出数学问题.

二、山西省中考数学规律探索题的主要类型

1.图形变化规律题

此类问题一般是探索发现有关图形所具有的规律性问题,往往给出一组变化了的图形或条件,通过观察、分析和猜想图形的相同点或不同点,找出图形之间的变化规律,再将图形的变化规律以数或式的形式反映出来,从而得出图形与数式的对应关系,归纳出图形的变化规律,进而解决相关问题[2].此类题考查学生的观察联想、归纳分析、发现问题和解决问题的能力及几何直观素养和数学建模素养.

(2015年山西卷第12题)如图1是一组有规律的图案,它们是由边长相同的正方形和三角形镶嵌而成.第(1)个图案有4个正三角形,第(2)个图案有7个三角形,第(3)个图形有10个三角形,…依次规律,第n个图案有______个三角形(用含n的代数式表示).

分析通过观察,三角形的个数随着图案序号而变化,可以将图案顺序号和对应图案中三角形个数放在一起加以比较.还可以发现,后一个图案中三角形个数比前一个所给图案的三角形个数多3个.借助观察分析,可以归纳得出一般规律,第n个图案有4+3(n-1)个三角形,即3n+1个三角形.

表1 三角形变化规律表

(2016年山西卷第13题)如图2是一组有规律的图案,它们是由边长相等的小正方形组合成,其中部分小正方形涂有阴影,依此规律,第n个图案有______个涂有阴影的小正方形(用含n的代数式表示)

分析在给出的图案中容易发现,涂有阴影的小正方形个数依次增加4个,第一个图案有5个,第二个有5+4个,第三个有5+4+4个.再来看图案顺序号和对应图案中涂有阴影的小正方形个数的关系,我们把这两个变量放在一起进行分析:

图案顺序数:1,2,3,…

涂有阴影的小正方形个数:5,5+4,5+4+4,…

可以发现,涂有阴影的小正方形个数依次增加4个,并且增加的涂有阴影的小正方形个数是对应图案顺序数减1的4倍.因此,第n个就有5+4(n-1),即4n+1个.

点评图形变化规律题看上去图形比较复杂,但实际上只是在原图形基础上有规律地增加得到新图形.解决此类问题,需要学生认真阅读和观察,调动自身思维的活跃性,找到事物的变化规律,从而解答问题.

2.代数式变化规律题

代数式变化规律题通常是给定一列数、式子或者等式,然后需要学生认真观察分析,体会数与式子中蕴含的信息,通过不完全归纳法抽象出一般规律并将其以式子表达出来.主要考察了学生的归纳推理能力和创新能力.

分析解答此题的关键是准确地抓住变与不变,寻找变量变化的一般规律而这些变量往往都是按照一定的顺序给出,将式子和式子顺序数对应起来进行比较分析,容易从中发现规律整理如表2.

表2 代数式变化规律表

(2004年山西卷第7题)观察下列各式子:

请你将猜想到的规律用含有自然数n(n≥1)的代表式表示出来是______.

分析该题是典型的代数式变化规律题,给出一组算式,需要学生通过观察算式的特点,找到算式中的变量和不变量.题干中给出三个已知算式:

通过对上述三个算式的观察,发现式子序数和对应算式存在一定的联系,以上三个算式可以改写成以下形式:

点评解答此类题时可以引导学生先对式子进行特征分析,找出它们的变量和不变量,然后猜测序号和其对应式子的关系,再代入几组数据进行验证.最后归纳得出一般结论.

三、教学启示

1.充分挖掘教材中归纳推理的素材,发展学生的推理能力

规律探索题型的解答需要学生从观察开始,根据已有的知识、经验,从特例中抽象出共性,归纳得出一般规律,注重考察学生的推理能力.新课标把推理能力作为初中阶段核心素养的主要表现之一,推理能力是发展学生实事求是的科学态度和理性精神的重要基石因此,教师要创造性地使用教材,积极开发和利用各种教学资源，在重视双基的同时,培养学生的归纳推理能力[3].

2.注重探索性学习活动,培养学生的数感和符号意识

波利亚在《怎样解题》中将解题过程分为四阶段：第一,理解题目；第二,拟定方案；第三,执行方案；第四,检查已经得到的解答.波利亚指出,解答一个题目的关键是构思解题方案的思路.对于规律探索题,方案的拟定需要学生对数感和符号敏感的直觉,理解题中的数量关系.学生的数感体现在把数字、运算的知识及其简便性运用到需要用数字进行推理的问题解决中[4].这更加体现了数感和符号意识在解决数学问题中的重要性.教师在日常数学教学中应该重视对数感的培养,通过引入贴近生活的实例或问题驱动等方式,提高学生观察、分析的兴趣,创造观察和分析的机会,引导学生亲身经历数与数量、数量关系、运算结果的估计等方面的感悟.

3.以培养观察猜想能力为抓手,启迪学生的创造性思维

规律探索题的解答往往从观察、猜想开始,引导学生明确观察的对象,保证观察按照一定的方向和目标进行.如2004年山西卷第7题解答的关键就在于找到变量的变化规律,而这些变量是随着序号的变化有规律地呈现,把变量与序号放在一起作为研究对象进行观察有利于学生归纳出规律.如果观察的目的不明确,就会导致错误.猜想是解答规律探索题的重要环节,在得出结论前必须根据题中已有信息猜想出结论.再通过寻找证据证实猜想.猜想是进行合情推理的前提,所以,学会猜想并具备猜想能力对解答规律探索题具有重要意义.猜想思维是创造性思维[5],教师可以通过培养学生的观察猜想能力，运用启发性提示语调动学生思维的活跃性,教会学生创造性地解决问题,使创新能力和创新意识的培养落到实处.