寻找联系,探求思路

鲍留兄

(甘肃省广河县广河中学)

新人教A 版数学教材《必修第一册》第五章第5节,在第225页给出了如下一段话:

因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会存在所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,所以进行三角恒等变换时,常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择适当的公式.这是三角恒等变换的一个重要特点.

这段话侧重告诉我们:在分析、解决有关三角恒等变换问题时,往往需要先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择适当的公式.基于此,本文依据这种解题思想结合实例展开分析.

1 寻找联系,推导公式

例1 (教材第217页)思考题:由公式C(α-β)出发,你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗?

例2 (教材第217页)探究题:上面得到了两角和与差的余弦公式.我们知道,用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化.你能根据C(α＋β),C(α-β)及诱导公式五(或六),推导出用任意角α,β的正弦、余弦表示sin(α＋β),sin(α-β)的公式吗?

例3 (教材第218页)探究题:你能根据正切函数与正弦 函 数、余 弦 函 数 的 关 系,从C(α±β),S(α±β)出发,推导出用任意角α,β的正切表示tan(α＋β),tan(α-β)的公式吗?

上述推导过程充分体现了正切函数与正弦、余弦函数之间的紧密联系,即“商数关系”的灵活运用,不仅需要我们关注“切变弦”与“弦变切”技巧的应用,还需要我们关注“同除”技巧的应用.

该推导过程的关键是将角2α写成α＋α的形式,这样可以为灵活运用和角公式创造有利条件,其本质就是通过寻找与和角公式的紧密联系,顺利解题.

2 寻找联系,巧解问题

例5 (教材第225页)求证:

例6 (教材第229页第5题)已知tan(α＋β)＝3,tan(α-β)＝5,求tan2α,tan2β的值.

总之,结合以上举例剖析可知,在处理有关三角恒等变换问题时,有意识地去考虑式子所涉及的各个角之间的紧密联系(主要是加减联系、二倍联系),有利于帮助我们灵活选用和(差)角公式或二倍角公式解决目标问题,突出体现了“联系观点”在解题中发挥的巨大作用.另一方面,如果不考虑角与角之间的紧密联系,那么有关三角恒等变换问题的处理将会变得比较困难或者无法解决.因此,在今后的练习中强化“联系观点”的灵活运用,有利于帮助学生不断提高分析、解决问题的能力,进而提升学生的数学核心素养.