融合力学思维能力培养的实践选题训练教学设计与实施1)——以理论力学中自由刚体运动知识拓展为例

李英杰 刘 杰 左建平 祝 捷 薛东杰 刘 庆

*(中国矿业大学（北京）力学与建筑工程学院，北京 100083)

†(辽宁工程技术大学力学与工程学院，辽宁阜新 123000)

一流课程建设目标要求“两性一度”，即通过增加课程“挑战度”，突出“创新性”，提高学生“高阶性”思维能力。高阶性思维有别于低阶思维能力中的记忆、理解和应用，其强调认知目标中对知识、能力和素质的有机融合[1]。工程力学专业中的“力学思维能力”包括力学建模、理论推导、分析和计算、解决实际问题等，是高阶性思维的具体体现。实践选题训练是一项在实践教学中培养学生力学思维能力的重要教学手段，因此对具有高度抽象的力学理论基础课教学尤为重要[2]。

诸多学者在力学专业基础课教学改革中提出了高阶性思维培养思路：叶红玲等[1]构建了理论力学的“1+4+N”课堂教学体系，梳理了理论力学知识脉络，实践了高阶性课程目标建设；李敏等[3]基于相关课程内容的关联度，力学模型假设及问题的数理本质设计了具有“挑战度”的材料力学课程内容，为高阶性思维能力培养提供了案例实施；王婕等[4]提出大学生创新性思维源于主观能动性激发的观点，强调教师在理论力学课堂教学中应注重引导启发以及互动讨论。尽管诸多研究成果为以“创新型人才”培养为核心的理论基础课教学实施提供了宝贵借鉴，但目前高阶性培养目标下的实践选题训练教学实施仍有待加强。为此，本文围绕高阶性课程目标，构建力学课程知识点关联性结构框架，研究实践选题训练在知识点关联性框架中的定位，从培养学生力学思维能力的角度出发，设计实践选题训练的教学内容。同时以工程力学专业理论力学中的自由刚体运动知识点为例，说明其具体实施过程。

1 知识点关联性框架下的实践选题训练定位

为了说明实践选题训练在知识点关联性框架中的布设定位，参照文献[1]的研究思路阐明高阶性教学目标下知识点关联性的教学框架构筑。课程知识体系的关联性体现在三个层次：一是课程体系内部知识点的关联；二是课程与课程之间的关联；三是课程与实践的关联。构建课程知识点的关联性，需按高阶性课程体系建设重新设定教学目标，以核心知识点为中心关联基础知识、课程内容的相关概念、知识拓展，并结合多种教学方式来完成。本文以自由刚体运动为例探讨如何构建知识点的关联性，首先重新梳理这部分教学内容并设定高阶性的教学目标，具体如下。

（1）能够理解刚体定点运动欧拉角、角速度矢量和角加速度矢量的基本概念；计算定点运动刚体角速度、角加速度以及刚体上各点速度和加速度；分析刚体定点运动中速度和加速度之间关联。

（2）理论联系实际，能分析生活和工程中相关的运动学问题。

（3）能够理论推导定点运动欧拉动力学方程及陀螺仪近似理论。

（4）能够分析陀螺仪的三种动力学特性：定向性、进动性、陀螺效应；能够应用陀螺近似理论求解陀螺规则进动的动力学问题。

（5）能够建立刚体一般运动的运动学与动力学的基本理论与分析方法，提升学生的科学研究创新能力。

依据设定的教学目标建立了知识点的关联性，如图1所示。刚体绕定点运动的核心知识是推导定点运动刚体欧拉动力学方程及陀螺近似理论公式，以及应用陀螺近似理论分析陀螺仪的三种动力学特性，并求解规则进动的动力学问题。相关的基础知识包括刚体简单运动和平面运动的运动学描述、点的合成运动、动量矩定理，相关概念包括：欧拉角、欧拉定理、瞬时转动角速度和角加速度、刚体上各点的速度和加速度。自由刚体运动是刚体绕定点运动的知识拓展，教师引导学生如何进行其运动学描述，及推导自由刚体运动中相对于质心的欧拉动力学方程及陀螺近似理论公式，这部分教学内容是为了强化学生对核心知识的理解和应用，可以结合实例作为实践选题训练提升学生力学思维。可见，实践选题训练体现在课程与实践的关联层次，定位于知识点关联性框架中核心知识点的知识拓展。

图1 刚体绕定点运动知识点关联性

2 力学思维能力培养的实践选题训练内容设计特征

为了培养学生的力学思维能力，实践选题训练内容设计要体现三方面：（1）强化核心概念和方法；（2）揭示问题的数理本质及建立力学模型；（3）理论联系实际。同时选题要具有可实施性、趣味性及可拓展性并兼具挑战性和创新性。

刚体绕定点运动的拓展知识点为刚体一般运动，其速度概念及动力学特性是教学的难点[5]。例如：铁饼运动比赛时，投掷者一手持铁饼，在投掷圈内通过旋转动作使铁饼在最后用力前获得预先动量和对质心的角动量（动量矩），从而掷出尽可能远的距离，这是典型的刚体一般运动，因此可以将铁饼的动力学分析作为实践选题训练。此外，铁饼的运动形式较为简单，且作为奥运会的田径竞技项目较为人熟知，能够引起学生的共鸣，激发学习兴趣。

结合铁饼运动，将实践选题训练内容设计逻辑特征关系绘制如图2所示。铁饼运动分析的数理基础为刚体相对于质心的欧拉动力学方程及陀螺近似理论公式。实践训练要求学生建立铁饼运动学模型，结合课上重点讲授的定点运动公式推导以及学习过的质点系相对于质心的动量矩定理，完成铁饼运动相对质心的欧拉动力学方程及陀螺近似理论公式的解析推导，具有一定的挑战性。最后结合理论分析铁饼动力学特性，分析铁饼自转对提高投掷距离的作用，同时分析铁饼投掷的初速度以及自转角速度匹配度对投掷距离的影响。学生对问题有更多的思考空间，体现了训练的可拓展性，能够培养学生发现问题、解决实际问题的能力和力学创新思维。

图2 实践选题训练内容设计逻辑特征关系图

3 力学思维能力培养的实践选题训练教学架构

实践选题训练具体实施可按照模型建立（力学模型或者运动学模型）、数理基础、力学原理的三段式来架构，通过反复训练和强化，逐渐培养学生的力学思维。

3.1 模型建立

首先对铁饼飞行中的受力状态进行分析，如图3所示。

图3 铁饼的受力状态图

当铁饼以适宜的攻角δ（铁饼重心线与相对风速vrev夹角）抛出时，流经铁饼上表面的气流被压缩，气流速度增大，流经铁饼下表面的气流刚好相反，这就导致上表面附近气体流速高于下表面附近气体的流速，由伯努利定理可知铁饼下表面气体压强比上表面的压强大，上下之间形成了压强差而产生空气作用力[6]。空气作用力沿着vrev方向分解的力为空气阻力D，空气阻力主要指压差阻力，其值为：其中Cd1为无量纲的压差阻力系数，A为铁饼在垂直于相对速度vrev方向的截面积。空气作用力沿与相对速度vrev垂直方向分解的力为升力，其量值为：式中Cl为无量纲的升力系数。铁饼受到的空气阻力、升力的合力作用点在压力中心处，风压中心一般情况下并不与重心重合。进一步研究表明[7]：以右手投掷运动员为例，铁饼按顺时针方向转动，并按图3中投掷方向抛出。铁饼前半部分受到的空气作用力较后半部分要大，另外由于铁饼自转导致的左半部分壁面的速度大于右半部分的速度（顺着铁饼投掷方向看），则左面受到的空气作用力大于右壁面，因此风压中心在铁饼质心主轴连体坐标系的Cx′y′第一象限P点。空气作用力对x′轴的矩将导致铁饼前缘在飞行过程中抬头引起攻角增大，对y′轴之距使得铁饼左侧逐渐倾斜引起翻滚。另一方面，空气作用力相对于质心会产生力矩MC(F) ，其表达式如式（1）所示，在其作用下铁饼运动将发生进动，由于这种运动比较抽象，学生理解难度较大，在3.2节中将对其进行详细地推导说明。

图4 为铁饼飞行的运动学模型。如图4(a)，赋予铁饼一定的角动量，则铁饼可以靠初速vdiscus作惯性飞行，同时又绕其质量对称轴（垂直于饼面的轴）高速旋转，在重力和空气作用力下形成如图4(a)曲线运动轨迹。对于能保持平稳飞行的铁饼（图4(b)），与陀螺运动特性对比，铁饼质量对称轴（垂直于饼面的轴）相当于陀螺轴z′轴，其自转角速度为ω，与铁饼质心的速度相对风速vrev方向（空气阻力方向）垂直的轴为z轴。z和z′轴之间的夹角δ就是攻角，陀螺受到重力矩作用产生进动，铁饼所受重力过重心，但空气作用力相对质心产生力矩MC(F) ，在其作用下铁饼运动与陀螺相似也将产生进动。模型建立过程使学生对核心知识点包含的深刻内涵有所理解，并且使学生在从刚体定点运动到一般运动分析的过程中拓展思维。

图4 铁饼飞行的运动学模型

3.2 铁饼进动动力学的数学本质

建立如图5所示的惯性参考系oxyz和随体参考系o′x′y′z′，随体参考系的原点取在铁饼质心C上，以C为基点，建立一个始终保持平移的坐标系Cζηξ，铁饼的运动可分解为随质心C的平移和绕质心的定点运动。

图5 铁饼飞行运动学参考系

参照定点运动欧拉动力学方程推导过程[8]，完成铁饼对质心的动量矩公式推导（式(2)）。

式中在平移参考系Cζηξ下，ri′为任一质点mi的相对矢径，vir为相对速度，vi为绝对速度。

当x′y′z′是通过刚体质心的惯量主轴时

此式为铁饼对质心的动量矩表达式。公式推导过程需要学生根据核心知识点拓展后自主完成，实践选题训练中要注重力学模型的建立及数学推导的严密性以及公式简化的依据。这个过程使得学生对力学问题数理推导的严谨性有了更加深刻的认识。

在某一瞬时，铁饼自转角速度为ω，绕z轴的角速度为ωH，因此LC=Jx′ωHx′i′+Jy′ωHy′j′+Jz′(ω+ωHz′)k′；LC对时间t求导得

结合式（1）和式（4）可得铁饼规则进动公式为

3.3 铁饼的动力学特性分析

如果铁饼初始投出时不施加旋转角动量，空气作用力将使铁饼翻转，从而使攻角δ变大（如图6(b)所示），攻角在一定范围内增大将增加升力，有利于延长铁饼在空中的飞行时间，但如果攻角过大，铁饼上表面的气流会分离，导致阻力剧增，升力突然下降产生失速[6]。

图6 铁饼不旋转攻角增大示意图

铁饼在空中飞行同时高速自转，如果不考虑空气作用力，重力对质心的矩为0，此时铁饼在飞行中将绕垂直饼面的质心轴z′转动，并且质心轴的方位保持不变，具有定向性。当考虑空气作用力时，铁饼所受力矩矢量如图4(b)所示，与陀螺运动相似，铁饼的对称轴Cz′不会“倾倒”，但绕着z轴发生进动，铁饼偏离运动轨迹平面，但由式（5）可知，由于铁饼的自转角速度很大，进动角速度较小，铁饼进动导致偏离量很小，实验结果也证实这一结论[9]。高速自转使铁饼在空中进动飞行抑制了翻滚和纵转使铁饼飞行平稳，保持其稳定性可以抑制攻角增大延迟失速。为了分析运动员出手时铁饼的自转角速度ω对投掷距离影响，需结合质心运动定理求得铁饼运动方程，对比有无自转条件下铁饼投掷距离。

铁饼在自转稳定飞行情况下的受力图如图6(a)，建立Cxy直角坐标系，得铁饼质心运动定理在x和y方向投影式

为了简化计算，假设风速方向和铁饼质心运动方向共线，则相对速度vrev=v±vwind。空气阻力D在x和y方向上的分量Dx和Dy可以写成

同理，Lx和Ly分别为升力L在x和y方向上的分量，可以写成

式中vx和vy分别为铁饼质心速度vdiscus沿x和y方向的分量；θ为速度vdiscus与水平方向的夹角，其正弦和余弦可用速度分量表示

将式（8）～式（13）代入式（6）和式（7），可得速度表征的运动微分方程（14）和（15）。

在给定铁饼相关初值条件的情况下，可以得到微分方程的数值解。根据实验数据[10]可得到Cl和Cd随攻角变化结果，如图7所示。质量m=1900 g，重力加速度g= 10 m/s2，空气密度ρ=1200 g/m3，出手时质心速度vx(0) = 18 m/s，vy(0) = 18 m/s。设自转稳定飞行条件下铁饼面与x轴平面夹角保持30°不变，此时铁饼迎风的最大横截面面积A取0.01 m2，忽略进动偏转影响。将铁饼不自转抛出时失速条件下计算结果进行对比，失速条件下仅受重力和空气阻力，此时设铁饼的迎风横截面面积为0.031 4 m2。将初始条件代入微分方程（12）和（13）可求解速度，速度对时间积分可得运动方程，通过MATLAB编程绘制铁饼运动轨迹变化曲线，如图8所示。计算结果分别为考虑自转与不考虑自转条件下铁饼运动轨迹，从图中看出运动员出手时铁饼失速的投掷距离明显最小，无论有无风速自转角速度ω都使得投掷距离增大，其影响可达10 m以上，运动员用手腕和手指拨饼的力量加强对于提高投掷成绩作用显著。事实上，铁饼自转角速度达到一定值时，对投掷距离影响就很小了，如果过分追求较大的自转角速度，还会导致铁饼刚出手时的初速度下降从而降低成绩，出手时的初速度和自转角速度应具有最佳匹配性，类似于乒乓球的运动分析，感兴趣的同学可以进一步探讨研究。上述铁饼动力学原理分析过程使学生将理论知识应用于解决实际问题，促进了对核心知识点的内化吸收，培养了学生的创新思维。

图7 空气动力系数

图8 铁饼运动轨迹变化曲线

4 小结

以力学思维能力培养为核心的实践选题训练教学设计与实施中，在目标定位、训练结构布设、师生主客体关系方面提出以下建议。

（1）知识点关联性框架构筑，可在重构高阶性教学目标基础上，围绕核心知识点关联基础知识、基本概念、拓展知识等建立相关知识单元，其有助于学生明晰概念和构筑知识体系；实践选题训练作为重要的教学手段，立足于高阶性教学目标下的知识与实践的关联层次，定位于实现知识点关联性框架中的知识拓展。

（2）实践选题训练可按“模型建立、数理基础、力学原理”三段式布设训练结构，学生完成建模、理论推导、理论联系实际的闭环训练，这一过程不仅仅是知识的简单应用，更要促进核心知识的内化和扩充，着重体现力学思维能力培养。

（3）实践选题训练环节中教师可通过设定较宽泛的完成方法和成果形式，充分激发学生主观能动性。有效结合教师讲授的“客观性”与学生学习的“主观性”，最终达到提升学生力学思维能力培养的目的。但教学实施中也要强调教师在拓展训练中的监督和指导作用，避免学生因知识运用能力不足导致任务执行失败。