牛顿冷却定律及其适用范围的探究

许 飞，杨 扬，张江伟，杜雪奕，朱江转

(华东理工大学 理学院，上海 200237)

牛顿冷却定律的发现是牛顿在热学上的两大成果之一，在许多热学实验中对误差修正起到了极大的作用[1-4]。牛顿冷却定律指出：当物体处于自然冷却状态下，物体表面与周围环境存在温度差且温差较小[5]时，单位时间内单位面积散失的热量与温度差成正比[6,7]。最初的公式表达：

(1)

Q为散失的热量，h为样品的散热系数，A为样品的散热表面积，T为样品的温度，T0为环境温度。有研究表明h的大小与多种因素有关(如样品表面光滑度等[8])，经实验发现，包含该定律的多种输运定律都只适用于近平衡态，因此该定律的适用程度有限，当样品和环境的温差较大时该定律的适用性将下降，修正后牛顿冷却定律表达式[9,10]为：

(2)

α值的大小与样品和环境的温差有关，在温度差较小时可近似认为α=1，而温度差过大后则不能粗略认为α=1，不然会在应用该定律时产生较大误差。

本文对牛顿冷却定律进行了分析，设计了相关实验。通过对数据的处理和分析：验证了牛顿冷却定律会随着样品和环境温度差的变大而适用性下降；计算了修正指数值；通过指数值α的相对误差，给出了牛顿冷却定律的适用范围。

1 实 验

1.1 实验仪器

实验装置如图1所示。

图1 实验装置模式图

所用到的仪器有FD-JSBR型金属比热容测量仪、铜-康铜热电偶、三种材料(铜、铁和铝)金属圆柱体、PASCO温度测量仪和无纸记录仪。铜-康铜热电偶可以用电压差的形式反应出其两端的温度差，冷端置于保温杯中的冰水混合物中(相当于0 ℃)，热端插入金属圆柱体的中心，所以电压差可直接反应出样品的温度。无纸记录仪的采样频率为每秒一次，热电偶产生的电压差传送到无纸记录仪。根据铜-康铜热电偶的热电势调试仪器，实时记录样品温度的变化情况，通过USB接口将数据导出，利用计算机进行最终的数据分析和处理。

1.2 实验方案

首先测得实验时环境温度为8.5 ℃。我们利用的仪器有FD-JSBR型金属比热容测量仪、无纸记录仪和铜-康铜热电偶(其热电势约为0.041 mv/℃)[11]，总体可分为加热部分和测量部分以及最后的数据处理部分。

实验时利用FD-JSBR型金属比热容测量仪对小圆柱体金属块进行加热，小圆柱体金属中心插有热电偶，加热到一定温度时停止加热，然后移去热源使其在防风容器中自然散热。同时热电偶的另一端插入冰水混合物使其保持0 ℃。由于冷热端温度不同将产生电压差，利用无纸记录仪实时记录数据，并通过对电压的换算输出温度值。提取无纸记录仪中的数据，进行实验数据分析[12]。

2 实验结果和分析

根据最初的牛顿冷却定律：

(3)

在实验中样品表面积和表面光滑度等条件没有发生变化，同时对于热量Q有：

dQ=cmdT

(4)

c(样品的比热容)和m(样品的质量)实验中没有变化，由(3)、(4)可得：

(5)

两边积分得：

ln(T-T0)=kt+C

(6)

由于最初牛顿冷却定律认为温差的指数α恒为一，但实际中α不恒为一，所以指数的变化会通过上式中k的反应出来，因此我们令y=ln(T-T0)为纵坐标，时间t为横坐标，进行了拟合。三种材料不同温差下拟合的k值如表1所示。

表1 铜铁铝不同温差范围k值测量结果

为了直观地对比三种材料k值的变化情况，将k随温度变化的情况作图如图2所示。

图2 铝铁铜自然降温下k值变化曲线

由表1和图2可以看出，对于三种材料，温差范围逐步变大时，k值呈逐步上升趋势。分析可得，牛顿冷却定律在温差较大的情况下k值变化较大，说明α值变化也较大，因此可知牛顿冷却定律随着温差的变大适用性会不断减小，因此需要确定牛顿冷却定律的适用范围。

为了计算某些温差点的指数值，对修改后的牛顿冷却定律表达式进行了处理，如下：

(7)

这里以铜为例，针对样品铜在10、15、20、25、30、35、40、45、50 ℃温度点，在其前后五秒分别取了五个样点，算出温度降低的平均速率，以代表在该点处的瞬时温度降低速率。由于牛顿冷却定律适用于温度差较低的情形，所以这里以温差最小组(5～10 ℃)的k值为基准进行计算，结果如表2所示。

表2 不同温度的α估算值

上表是α的估算值，可见α值和k值一样随着温差变大而变大，距离α=1越来越远，另一方面这个数据再次验证了牛顿冷却定律会随着温差变大而适用程度下降。

最后我们计算了不同温度差下，α与α=1的相对变化情况，结果如表3所示。

表3 不同温度差所估算出的α值与1的误差

牛顿冷却定律认为温度差的指数为α=1，但实际上α的值会随着温度差的变大而变化，因此在实际应用中需要确定牛顿冷却定律的适用范围。对上表进行分析，可见随着温差变大指数值的相对误差也在变大，而温差在30 ℃以内时，相对偏差值小于等于3.0%，作者认为这是一个可以接受的范围，即在温差小于等于30 ℃时牛顿冷却定律能够适用，超出该范围则我们需要考虑到指数值的变化。

3 结 语

牛顿冷却定律最初表达式存在一定局限性，本文选取铝、铁、铜三种样品材料，通过实验，验证了牛顿冷却定律的实用性随着环境温度的升高而下降，进一步对牛顿冷却定律指数值α进行了相关计算与分析，给出了50 ℃范围内不同区间的相对误差，确定牛顿定律的适用范围为t≤30 ℃。