利用数量积式圆模型解向量模长最值问题

何 云 (浙江省嵊州中学 312400)

1 背景

在浙江的高考和模考中经常会出现向量的动态问题，实际上是平面几何问题注入动态的几何元素，由这些几何元素运动而产生的位置关系，使向量呈现出新的活力，也提高了向量对空间想象能力及推理论证能力的考查．由于动态向量问题中的几何元素不确定，成为学生思考及求解的思维障碍．

本案例是在高一学习完《平面向量及其应用》一章后的习题课上遇到的一道选择题．根据两个普通班的作业统计，80%的学生不会做，15%的学生根据图形去猜，5%的学生能独立解决．在本节课之前，学生已经学习了平面向量的概念和相关基础知识，会求一些简单的向量模长，但是对于题目中涉及的向量模长的最值问题以及题目中所涉及的几何背景没有生成深刻的认识，推导过程缺乏思维逻辑的严谨性．

向量内容中经常会出现动态向量的“单模长”和“双模长”最值问题，由于高一学生向量知识的系统性不是很完善，所以处理以上问题的思想方法对他们而言几乎是盲区，常感无从下手．为了突破这个思维痛点，笔者作了以下研究．

2 深入剖析，提升能力

2.1 真题展示，立足课堂

分析本题主要考查轨迹意识及动态模长问题，由于两个向量a,b的模长和夹角都是不定元素，为解决本题增加了难度．

师生活动：教师给予学生充分的时间进行思考．

教师：同学们，请问你们选哪一个？

生1：选A．

教师：为什么？能说出你的理由吗？

生1：猜的．

下面笔者又找了几位做对的学生来讲解自己的思路，这几位学生是通过建立直角坐标系，用代数的方法将模长|a-b|转化为函数，然后再求其最值．但是，建系之后由于设的变量太多，学生对表达式的处理能力较弱，有几位学生是再加上半猜的成分将答案选出．采用几何法的学生很少，当问题呈现后，大部分学生还是无从下手．平时在向量解题教学中，笔者已着意培养学生用几何法求向量模长最值的思维，与部分学生交流后了解到其在教师的辅助下可以很好地理解问题的几何意义，解决起来非常简单，但是，当自己独立解决时又无从下手，这就凸显了学生未理解问题的本质．

针对教学中这种意外现象，笔者将此课堂插曲演变成学生生成性学习的宝贵材料．善待教学中的意外，并使之成为珍贵的教学素材，符合新课程理念下高中数学核心素养的要求．

下面笔者根据自己在课堂上收集的生成性素材，结合平时对动态向量模长内容的理解及浙江高考和模考题的研究谈谈自己的看法．

2.2 真题解析，提升能力

“动态”向量问题主要研究平面几何中点或线运动时所涉及的线段长度和角度的变化问题，其问题的本质就是考查学生对动点的“轨迹意识”．这类题目的解法有很多，如代数法、几何法，其中几何法中有极化恒等式、“矩形大法”等．

教师在平时的课堂上只就题论题并不能达到举一反三的目的，也不能深入其本质，这对学生解题能力的提升毫无帮助．教师应正确看待课堂的教学现状，从中发现问题、分析问题并解决问题，通过科学有效的策略构建数学高效课堂．教师应在引领学生多样化思考后再引导学生看透题目的本质，追求解题的实质，这样学生的解题能力才能提升．所以就需教师在课下刻苦钻研，精选例题，深入剖析，追其本质．

2.2.1回归课本，建立模型

课本上的例题和习题为我们提供了非常典型的模型，如人教A版必修第二册第六章《平面几何的向量方法》这一节的例2非常值得我们深入研究．在数学教学中运用哲学的思想看透数学的深度，就数学的本质和属性，揭示数学规律和方法，提高学生的思维品质和数学核心素养．

图1

结论2若a⊥b，则|a+b|=|a-b|；

·拓展1 模长式圆

结论3若|a-b|=k，则向量a的终点轨迹是以向量b的终点为圆心、k为半径的圆(图2)．(其中向量a,b共起点且向量b是已知向量)

图2

2.2.2动态感知，初现模型

例1(2019届温州二模)平面向量e1，e2是方向相反的单位向量，|a|=2，(b-e1)·(b-e2)=0,则|a-b|的最大值为( ).

分析 本题的b与a都是动态向量，根据题目的已知条件(b-e1)·(b-e2)=0,由结论2可知 |2b-(e1+e2)|=|e1-e2|=2，即|b|=1．由题目条件挖掘出当向量b在运动时其模长不变，故向量b的终点轨迹是以向量b的起点为圆心、1为半径的圆，所以当向量a与b共线且反向时|a-b|max=3．

点评 在动态向量模型中，我们要能根据题目给出的已知条件找到“静态的量”，即向量e1,e2在运动的过程中始终保持不变的量．

结论4若(c-a)·(c-b)=0，其中向量a,b的终点A,B固定，则点C的轨迹是以AB为直径的圆．

结论5若(c-a)·(c-b)=0，其中向量a,b的终点A,B不固定，则点C的轨迹是以AB为直径的动圆．(半径动圆心动)

结论5在|a|= |b|=k的条件下， |c|何时取到最大值？如图3所示，向量a,b在以O为圆心、k为半径的圆上动．固定向量b，向量a绕着圆心O动，此时，向量c的终点轨迹圆的圆心和半径也在随着向量a终点A的运动发生改变，由图可知当a⊥b时，向量c的模长取到最大值．

图3

应用设向量a，b为单位向量，若向量c满足 |c-(a+b)|=|a-b|，则|c|的最大值为．

图4

点评 本题向量c终点的轨迹不是一个固定的圆，而是一个圆心和半径都在动的圆，但是在动的过程中向量a,b的终点均在以O为圆心的单位圆上．我们先固定向量b不动，向量a绕着圆心O动，此时，向量c的终点轨迹圆也随着向量a在改变，可以发现圆的运动轨迹只与a和b的夹角有关．由图可知当a⊥b时，向量c的模长取到最大值.

图5

点评 本题e1,e2两个向量的终点固定，化简后由结论3可知向量a的终点轨迹是一个圆．实质上是求圆上的动点A到定点O的距离．

·拓展3 数量积式圆模型2：(c-a)·(c-b)=k(k≠0)．

2.2.3应用模型，突破真题

图6

点评 本道高考题有着丰富的几何意义，主要以圆为背景找两个动点之间的最短距离．如果从条件数量积式模型(b-e)·(b-3e)=0上看，向量b的终点轨迹是以向量e和3e的终点连线为直径的圆．

笔者认为，对于数量积式圆模型应该充分体现其教学功能，主要是引导学生在“动态”过程中寻找“静态”元素，从而更好地建立轨迹意识．教师要给予学生充分的时间进行思考，在思考过程中体悟方法和模型的确立，只有这样的教学才能让学生的解题能力得以提升，同时为后续的拓展奠定基础．

分析 本题与例3的2018年浙江高考向量题异曲同工，无论x怎么变，本题实质上是考查向量b与c终点的最短距离．

以圆为背景的向量在浙江模拟考中一直很高频，下面我们来看一下浙江的一些模考题．

2.2.4深入研究，提升思维

例4(2020年6月富阳中学三模)已知向量a,b,c满足|a|=4,向量a在向量b上的投影为2，c·(c-a)=-3，则|b-c|的最小值为( ).

图7

点评 从向量c的动态过程看，点C与点A1的距离为定值，动中有静，体现轨迹的思想，将所求向量的模长转化为点到直线的距离．与2018年浙江高考向量真题的本质一样，不同点是向量c的终点轨迹圆给出的条件形式有所变化，一个是数量积式圆模型中的k≠0，一个是k=0．

例5(2020年3月浙江十校联盟模拟考)已知向量a,b满足|2a+b|=1,且a·(a-b)=1，则 |a-b|的取值范围为．

分析 本题实际上也是考查数量积式圆模型，令2a+b=c，则b=c-2a且|c|=1，条件a·(a-b)=1⟺a·(3a-c)=1，所以原问题转化为：已知 |c|=1且a·(3a-c)=1，求|3a-c|的取值范围．

点评 从条件可知向量b是动向量，通过转化、配凑使题目满足数量积式圆模型的条件，找动向量3a-c的终点轨迹．

图8

①当k=0时，向量c的终点轨迹为中间的圆;

②当k>0时，向量c的终点轨迹为外面的大圆；

③当k<0时，向量c的终点轨迹为最里面的小圆.

从结论4到结论7我们可以总结为：

本文选取的题目给出动点轨迹为圆的条件各不相同，有的直接给出数量积式圆模型k=0，转化为模长式圆，有的需要通过配方、因式分解等变形处理，再作进一步研究．

3 回顾反思，提升素养

3.1 案例反思，查找问题

高考数学重在考查学生“四基”“四能”，还要考查“数学核心素养”[1]．在课堂上就题论题，学生对问题的理解会一直停留在知识的表面，未深入理解其本质，做再多的题也只会事倍功半．本节课比较可惜的是事前没有对该问题作更深层次的探究，以致课堂上对原问题未即时拓展升华，使学生对模长问题未看透本质，对此类问题的理解只停留在问题的表面，遇到同类题目时可能还是无从下手．

3.2 精选深研，合理拓展

学生所接触的解题思维和方法，刚开始都是从教师或参考书上模仿来的，所以教师要利用好课堂40分钟，课下要对此部分所涉及的知识仔细钻研，提高课堂效率，让学生每节课都有收获．只有教师自己先进行深入研究，在课堂上才能由易及难层层拓展，使学生的解题能力得到提升．就好比“摸着石头过河”，有的人走一次就有经验，有的人多走几次才有经验，学生在课堂上学习也是一样．

3.3 精备课例，构建模型

课例的选择很重要，首先此例要有丰富的背景，不能太难，但又可在此基础上构建模型和进行拓展．模型的建立要符合学生的认知发展，这就需要教师在数学课堂教学中自觉借鉴和运用“赋”“比”“兴”手法提高数学课堂的有效性．“赋”就好比让知识形成的过程更自然；“比”意味着让数学本质的揭示更生动；“兴”预示着让思维提升的渠道更宽广些[1]．在课堂上一定要跳出就题论题的层面，透过现象看本质，培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象等核心素养[2]．