深度融合：数学文化进课堂的应然要求*

柏素霞 (扬州大学附属中学东部分校 225003)

数学承载着人类文明中的思想和文化，数学教育作为基础教育的重要组成部分，必然承担着提升“文化自信”、落实“立德树人”的重任．新颁布的《义务教育数学课程标准(2022年版)》(下称《课标2022》)在“课程理念”中提出，课程内容选择要“关注数学学科发展前沿和数学文化，继承和弘扬中华优秀传统文化”[1]2；在“课程目标”中提出，学生能“对数学具有好奇心和求知欲，了解数学的价值，欣赏数学的美，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心，养成良好的学习习惯，形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神”[1]11．因此，在新课改及“双减”背景之下，如何利用数学文化素材构建有血有肉、充满人文气息的数学课堂，充分体现数学文化的教育价值，培育学生的必备品格和关键能力，从而实现学科育人目标是值得深入研究的课题．

1 当前数学文化进课堂的现状及分析

随着课程改革的不断深入，数学教育越来越重视“数学文化进课堂”的研究和实践．然而当前的初中数学教学实践中，将数学文化融入数学教学的理想案例并不多见，常见以下两种误区：一是形式上“标签”化，课堂中大多以阅读材料、观看视频、讲述故事等单一形式呈现数学文化内容，数学文化元素只是课堂的简单附加，可有可无，仅限于给课堂贴上文化“标签”；二是内容上缺乏“重构”，深度融合不够，以数学史的介绍为主，缺少对前人伟大智慧、深邃思想的深度学习和领悟．总而言之，就是数学文化和教学内容“两张皮”，数学文化入耳了，但入脑、特别是入心不够．

汪晓勤等人根据西方学者的一些观点，将课堂上的数学文化内涵分为知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐和多元文化五个维度[2].课堂实践中，对数学文化不同维度利用得不均衡，就导致数学教学不能全面体现数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值．数学文化进课堂应力求多维度呈现，促进数学文化与课堂教学的深度融合．

2 数学文化与课堂教学深度融合的一个案例

在一次“数学文化进课堂”区域教学研讨活动中，笔者有幸聆听了华东师范大学广陵实验初级中学贺天慧老师的“三角形的中位线”一课，令人眼前一亮，感悟颇多.现呈现此教学案例，与同行交流．

2.1 板块一：梦回《九章》

问题1如图1，中国汉代数学典籍《九章算术》中记载了求三角形土地面积的问题：“今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？”

图1

从古代数学典籍《九章算术》中求三角形土地面积问题引入，引导学生思考三角形面积公式的推导方法，激趣生“疑”，从而引出我国魏晋时期著名数学家刘徽推导三角形面积公式的“出入相补”法．

问题2(播放介绍刘徽“出入相补”法的微视频)视频中，你学到了哪些数学思想和方法？

问题3视频中的三种方法都有什么共同点？(追问)每一种方法都先在三角形上取了两个点，这是两个什么点(图2)？

图2

引导学生感悟“出入相补”法及其蕴含的将三角形转化为平行四边形(包括矩形)去解决问题的“转化”思想，体会古人的智慧，学习数学历史长河中前人宝贵的思维经验，通过追问引导学生关注到三角形两边中点．

2.2 板块二：发现问题

问题4连结三角形两边中点的线段是一条特殊的线段，我们能给它起一个名称吗？

由数学史料中对于三角形面积公式的推导方法，发现新的研究对象——中位线，揭示课题，并给中位线下定义．

问题5三角形的中位线与中线有何区别？三角形有几条中位线？尝试画一画．

通过问题和操作及时巩固三角形中位线的概念(图3)．

图3

问题6我们研究一个新的数学对象，一般都是先研究什么，再研究什么？我们可以按照一个什么路径去研究三角形中位线？

教师调动学生过去的学习经验，形成研究一个新的数学对象的一般思路：定义→性质→应用，并帮助学生规划三角形中位线的学习路径．

2.3 板块三：定理探究

问题7三角形的中位线具有怎样的性质？它与第三条边之间有怎样的关系？你是怎么猜想到的？

问题8通过目测和度量得到的结论有说服力吗？

让学生自己动手画出三角形的中位线，由中位线平分三角形的两条边，自然地启发学生探究中位线和第三条边之间的关系．教师引导学生结合刘徽利用“出入相补”法推导三角形面积公式的过程，从位置关系和数量关系两方面去作大胆猜想，让学生充分表达，阐述观点，再强调猜想仍需进行证明，让学生经历从合情推理到演绎推理的思维进阶．

问题9如何证明你的猜想？尝试写出已知、求证，并寻求证明思路．

问题10你是如何想到证明思路的？可以用刘徽的“出入相补”法证明三角形中位线定理吗？

先让学生独立思考，再进行小组讨论，交流证明方法，最后请各组展示不同的证明思路并交流思路的来源，让学生充分感悟刘徽“出入相补”法对证明思路的启迪作用．最后师生共同完善证明过程，形成三角形中位线定理的文字及符号语言表达．

问题11为什么要在学习完平行四边形后再学习三角形的中位线？

启发学生进一步领悟利用旋转变换将三角形问题“转化”为平行四边形来解决，渗透整体建构的、发展的数学观．

2.4 板块四：新知应用

问题12三角形中位线应用的例题或习题(略)．

问题13在古代两河流域，有四位兄弟幸福和睦地生活着．父亲的去世打破了四兄弟平静的生活，他们为分割父亲留下的一块三角形土地而争论不休，谁都不肯吃亏……请你想一个分割土地的方法，让四兄弟都能满意．

给出古巴比伦泥板书上记录的一个小故事，先让学生自己尝试不同的分割方法，再展示并比较哪一种方法最好．通过比较发现，用三条中位线分割的方法(图4)既能保证土地面积相等，又能使分得的土地形状相同，借此向学生渗透中国古代儒家思想中的中庸之道，体现数学知识的人文精神．

图4

2.5 板块五：反思小结

问题14今天我们学习了哪些知识？它有哪些应用？

问题15今天在我们研究三角形中位线的过程中，你的最大感受是什么？

通过反思交流，让学生再次感受我国古代数学家的智慧创造，领悟前人思想对数学学习的启迪和帮助，增强民族自豪感．

3 深度融合：数学文化进课堂的应然要求

3.1 案例分析

M·克莱因指出，数学教学的主要问题是动机问题．“三角形的中位线”课例从古代数学题入手，引出刘徽的“出入相补”法，让学生自然关注到“连结三角形两边中点”的特殊线段，引发了学习动机，提出了新的研究课题．课中，引导学生从“出入相补”中直观猜想三角形中位线的性质，并古法今用，运用“出入相补”法对三角形中位线定理进行证明，感悟数学知识渊源，触摸古人的光辉足迹，同时推陈出新，享受创造的快乐．课末，运用三角形中位线的性质解决巴比伦泥板书上的问题，体现了数学的“社会角色”和“多元文化”功能．最后，挖掘问题中的德育因子，促进学习品质、情感态度目标的达成．

汪晓勤认为，数学文化内容在课堂中的应用，除了附加式，还有复制式、顺应式和重构式等高层次的运用方式[3].仅仅附加式地运用数学文化，为了文化而文化，无形中增加课堂负担，不能在数学文化素材和数学知识之间建立起内在的联系，不能帮助学生领悟数学知识的本质，难以促进学生对知识的理解．本案例中，对数学文化素材的使用做到了几种方式的有效叠加，如引用巴比伦泥板书上的问题是复制式；由《九章算术》上的问题引出三角形面积公式的推导，继而揭示三角形中位线的概念是顺应式；运用刘徽的“出入相补”法证明三角形中位线定理是重构式．教师对将学术形态的数学史料转化为有价值的教学材料进行了积极的尝试，并取得了较好的效果．

深度融合是数学文化进课堂的应然要求，为了数学的教和学服务，数学文化才能入耳，更能入脑、入心．数学文化素材不仅是课堂的调味品，更重要的是引发学生的学习动机，创设学习情境，提出研究课题，启迪研究思路，具有情境载体、思想引领、方法示范、文化熏陶等多重教育功能．数学史料中的问题和方法也可以成为探究新课、知识应用的理想素材．

3.2 案例启示

(1)在数学文化中提出新的研究对象，涵育理性思维品质

任何一个数学研究对象都不是横空出世，都有它的源头，都有其学习的必要性．研究数学史料，挖掘数学文化内涵，是提出新的研究对象的重要途径．《课标2022》中指出，数学课程培养学生的核心素养，主要体现为“三会”，即会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界．其中数学眼光主要表现包括：“能够在实际情境中发现和提出有意义的数学问题，进行数学探究；逐步养成从数学角度观察现实世界的意识和习惯，发展好奇心、想象力和创新意识．”[1]5因此，借鉴或重构数学文化内容，让数学文化转化为充满教育意蕴的生动素材，将新知置于具体的文化情境中，为所教的数学知识提供动机和目的，引导学生提出新问题，研究新对象，通过数学文化“理解数学”，涵育思维，这是发展学生核心素养的理想选择．

如上述课例的引入课题环节，即是通过“出入相补”法的介绍将历史意蕴悄无声息地融入教学中，实现了概念的引入以及问题的探究，让新知自然发生．

再如，南京的杭秉全老师在执教一节“乘法公式”公开课时，课的结尾处有这样的片段：

师：“今天我们研究了完全平方公式，你能提出一个值得继续研究的问题吗？”

生：“我在想，有没有完全立方公式？”

师：“你的问题提得很好！中国南宋的杨辉，他的研究方向和你一样，他已经出成果了，你可以去了解一下……”

教师没有直接说明“杨辉三角”，而用轻松诙谐的语言创设理性思维情境，引导学生以先贤为榜样，继完全平方公式后对整式乘法进行深入研究，激发学生探索数学的热情，培养永不满足的学习品质和追求新知的科学态度．

(2)在数学文化中生发性质规律猜想，发展逻辑推理能力

数学离不开推理．合情推理用于发现结论,演绎推理用于证明结论，两者相辅相成，缺一不可[4]6-7很长一段时间内，我们的教学更重视演绎推理而忽视合情推理，这不利于学生创新能力的发展．《课标2022》提出：初中阶段的核心素养主要表现包括“推理能力”和“创新意识”，创新意识的内涵具体指向“通过具体的实例，运用归纳和类比发现数学关系与规律，提出数学命题与猜想，并加以验证”[1]11．因此，发展合情推理能力，引导学生大胆猜想，有利于树立学生的创新意识，培养科学态度．而数学文化内容可以为形成猜想提供适切、有趣的学习情境．

如上述课例中，“出入相补”法启发了学生对三角形中位线性质的发现；再如，后续“三角形的中位线”应用课上，可以引导学生通过改变原四边形的形状对瓦里尼翁四边形(中点四边形)的性质进行猜想，并推导证明，同时对“瓦里尼翁四边形”名称的由来进行背景介绍；又如，学习了“圆”的新知后，设计学生通过画圆绘制“莱洛三角形”的拓展活动[5]，并研究它的性质，学生沿着先人的足迹体会发现的价值，体验数学之美，同时，合情推理和演绎推理能力协同发展，既培养了创新精神，又形成严谨的逻辑思维方式．

(3)在数学文化中形成问题解决策略，渗透数学思想方法

数学的发展承载着学科底蕴和文化背景，尤其是数学家在创造过程中突发的灵感、深遂的思想以及因某一问题而顿悟的心境等都是隐性的学习资源．个体理解数学的过程与数学历史发展的过程具有相似性，前人的思想和智慧，前人在解决某个问题时曾经出现的错误或障碍可以使学生获得战胜困难的勇气，更重要的是获得思想方法的启发．

如上述课例中，引导学生从“出入相补”法得到性质证明的思路；再如，在教学“相似三角形”的应用时，学习公元前600年左右，古希腊数学家泰勒斯(Thales)凭借一根细绳测出了金字塔高度的方法，启发学生探究如何测量旗杆的高度，从而实现智慧传承、精神超越．

(4)在数学文化中感悟数学知识应用，增强学以致用意识

数学发展史中流传已久的历史名题有着经典性、历史性、趣味性等特点，是数学知识应用的重要源泉.这些数学问题经过岁月的洗礼依旧历久弥新，对其进行再探索，除了能巩固知识、激发兴趣，还能提高学生对数学发展的洞察力，增强对数学“社会角色”和“多元文化”内涵的理解，改进学生的数学观，培养应用意识．

如上述课例中，古代数学文献中记载的四兄弟等分三角形田地的问题是三角形中位线的典型应用；再如，我国古代数学名著《九章算术》中的“盈不足”问题，可以作为“二元一次方程组的应用”的 学习载体，融入课堂设计；又如，教学“对顶角”时，先介绍《墨经》中记载的“小孔成像”[6]，并组织学生分组进行实验，感知“对顶角”，进而对“对顶角”进行研究，这种课堂组织不仅加强了数学、物理学科的联系，而且让学生体会墨家躬身实践的学习理念，体悟到数学与生活实际的关系，增强学以致用的意识．

当然，数学文化与课堂教学的深度融合需要数学教师有深厚的数学文化底蕴，对数学研究对象的起源、联系、推广、应用等方面的历史、文化素材有全面的了解，在教学设计时能既关注趣味性，又关注有效性、科学性和可学性，使学生在充满文化味的课堂中体验数学知识的探究过程，完成知识内化、吸收的同时获得思维的发展、品格的提升等．在教学时，如何设计更加有利于学生的学是根本，这还需要我们在将理念落实于实践的道路上不断探索．