等边三角形“手拉手”模型构造及解题策略研究

广西南宁市第十四中学（530000）陈 杏

等边三角形“手拉手”模型是指由两个共顶点的等边三角形构成的基本图形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形。如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，所以称这个模型为“手拉手”模型，此模型经常在几何综合题中出现。构造等边三角形“手拉手”模型常与平行、旋转、截长补短等辅助线作法相结合。

一、从教材母题抽象出模型，厘清模型问题本质

很多考试题目的母题都来源于教材，从教材习题提取模型、类比模型和模型变式都是考试命题的方向。三角形全等证明是初中数学教学的重点内容之一，其难点在于要求学生从复杂的图形中抽象出全等三角形。

［例1］（人教版八年级上册第83页第12题）如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证BE=DC。

图1

学生大多能准确地判断出本题是利用三角形全等证边等的问题，但不一定能马上给出解题思路。笔者提示学生将共顶点的等边三角形（如图2）抽取出来，学生很快就发现它们形成“手拉手”模型，并找到一对全等三角形，从而得出证明。在面对多个等边三角形时，教师可以引导学生寻找解决问题的模型——“手拉手”模型，使学生更好地理解和应用几何模型思想，提高解题效率和正确率。

图2

二、作平行线构造等边三角形“手拉手”模型

有时两个等边三角形不共顶点，这时可以通过作辅助线，构造共顶点的等边三角形，从而得到“手拉手”模型。

［例2］在等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF。

（1）如图3，若点D在边BC上，求证：CE+CF=CD。

图3

（2）如图4，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系，并说明理由。

图4

虽然有教材母题的经验，但学生发现本题没有全等三角形，也找不到“手拉手”模型。对此，笔者引导学生添加辅助线。学生尝试作平行线，有学生过点E作BC边的平行线，虽然构造出共顶点的两个等边三角形，但和题目要证明的结论联系不大。笔者引导学生过点D作AB边的平行线DM，发现不但可以得到第三个等边三角形，而且其与其中一个等边三角形共顶点，“手拉手”模型出现（如图5），证明△DME≌△ECF，将CF转换为EM，即可得出证明。学生有了经验，很快可以在图4 中作平行线，构造“手拉手”模型（如图6），从而得出证明。在等边三角形中，作一边的平行线构造新的等边三角形是常用的辅助线作法，找准过哪个点作平行线，即找到了模型，可使问题迎刃而解。

图5

图6

三、旋转构造等边三角形“手拉手”模型

旋转也是构造等边三角形“手拉手”模型的重要途径。在旋转变换中，要注意可以旋转的前提条件，即有边相等旋转即重合，旋转特殊度数后有特殊三角形产生。有时还要注意证明旋转后点的共线。

［例3］如图7，等边△ABC中，P为△ABC外一点，连接AP、BP、CP，∠APB=∠BPC=60°，求证：AP+PC=BP。

图7

对于线段和差的证明问题，通常把不在一条直线上的两条线段放在一条直线上，因此，可以将△APC绕点A顺时针旋转60°（如图8），AC与AB重合，但点P是否在BP上需要证明。利用旋转后∠AP′B=120°，AP=AP′，旋转角∠PAP′=60°，因此△AP′P是等边三角形，所以∠AP′P=60°，得到∠AP′B+∠AP′P=120°+60°=180°，从而得到B、P′、P三点共线，由此，就构造了共顶点的等边三角形△AP′P和等边三角形△ABC形成的“手拉手”模型。

图8

四、截长补短构造等边三角形“手拉手”模型

截长补短是证明三角形全等的重要辅助线作法，对构造等边三角形“手拉手”模型也同样好用。

［例4］如图9，在等腰△ABC中，120° ＜∠BAC＜180°，AB=AC，AD⊥BC，且交BC于点D，以AC为边作等边△ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC交AE于点M。（1）求∠AFC的度数；（2）探究FE，FA，FC之间的数量关系，并证明你的结论。

图9

由（1）可解得∠AFC=60°，这是构造等边三角形的有利条件，笔者鼓励学生在长线段FC上截取FG=FA，从而得到等边三角形△AFG与等边三角形△AEC构成了共顶点的“手拉手”模型（如图10）。

图10

［例5］如图11，在△ABC中，AB=AC，∠ADB=∠BAC=60°，求∠ADC的度数。

图11

这道题不仅有等边三角形，还有含60°角的三角形△ABD，笔者引导学生思考：能否尝试补短？∠ADB的两边中，BD比较短，可将短边BD延长至E，使DE=AD（如图12），从而形成等边三角形△AED，进而构造了共顶点A的等边三角形△ADE和等边三角形△ABC的“手拉手”模型。

图12

五、作等边三角形构造等边三角形“手拉手”模型

当图形中只有一个等边三角形时，也可以在它的一个顶点作另一个等边三角形，从而构造等边三角形“手拉手”模型。

［例6］如图13，E为等边△ABC内一点，∠BEA=90°，∠AEC=150°，求证：BE=2EC。

图13

本题可以EC为其中一边在其右侧构造等边△EDC，这样△EDC就与△ABC构成共顶点C的“手拉手”模型（如图14）。

图14

六、“手拉手”模型的应用

笔者在几何综合题的教学实践中，提出了“四步骤几何模型研究”的教学策略（如图15），以帮助学生实现对模型的构造和对综合问题的解决。

图15

下面以一道模拟题为例说明这个教学策略。

［例7］如图16，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，可以证明△ACD≌△BCE，则AD=BE。

（1）将图16 中的△CDE绕点C旋转到图17，猜想此时线段AD与BE的数量关系，并证明你的结论。

图16

（2）如图17，连接BD，若AC=2 cm，CE=1 cm，现将△CDE绕点C继续旋转，则在旋转过程中，△BDE的面积是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由。

图17

（3）如图18，在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△DCE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD′E′（使∠ACD′＜180°），连接BE′，AD′，设AD′分别交BC，BE′于O，F，若△ABC满足∠ACB=60°，BC的值。

图18

分析：

第一步，标图——显示图形的特征。

引导学生标注图形中相等的线段和角（如图19），将图形的特征显性化，为进一步找到等边三角形“手拉手”模型做好铺垫。

图19

第二步，析图——抽象几何模型。

通过图形标注，学生很容易发现△ACD≌△BCE的条件，即AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE（有共顶点的等边三角形），从而发现AD=BE，这对解决第（1）问起到提示作用。如图17 所示的图形虽然A、C、E三点不共线，但学生仍能发现等边三角形“手拉手”模型（如图20），△ABC和△CDE都是等边三角形，所以AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，△ACD≌△BCE，AD=BE。

图20

第三步，构图——构造几何模型。

在第（2）问中，将△CDE绕点C继续旋转，当△CDE旋转到BC与C到DE的高在同一条直线上时，△BDE面积最大（如图21），此时，教师应引导学生利用旋转将面积问题转化为“手拉手”模型，再由线段相等得到△BDE是等腰三角形，从而求出△BED面积的最大值。因为DE边上的高为2 +cm，所以△BDE面积的最大值为

图21

第四步，变图——利用图形变化进行模型变化。

图22

图23

在一道几何综合题中往往会涉及几个不同的模型，在教学中教师应引导学生熟悉模型，熟记相关结论，从题目中快速抽象出几何模型，从而提高学生的解题速度和效率。

从本文的解法归纳中可以看出，即使是比较复杂的图形问题，所用到的也是简单的基础知识，这就要求教师在平时的教学和备考中，从几何图形的形成、变化过程入手进行研究，教给学生几何模型的构建方法，提高学生解题的正确率，增强学生的解题能力。