装备保障体系关键节点分析

王 琮，沈会良，夏永祥，白光晗，方依宁

（1.浙江大学信息与电子工程学院，浙江 杭州 310063；2.杭州电子科技大学通信工程学院，浙江 杭州 310018；3.国防科技大学智能科学学院，湖南 长沙 410073）

0 引 言

随着信息技术的不断发展，现代战争已逐渐向着信息化作战的方向演变，各种高新技术武器装备日益成为制约战斗力发展的关键。要充分发挥现有装备的作战能力，就要建立起与之相配套的装备保障体系，实现精确保障。装备保障体系是指在动态不确定环境中，由具有一定保障功能的保障实体，按照一定的保障原则，通过多种交通方式下的交通枢纽之间的互联互通，综合集成的以完成特定保障任务的有机整体。近年来，复杂网络理论不断发展，鉴于装备保障体系在体系结构、组成要素、连接关系等方面与复杂网络理论有着相当的匹配性，将复杂网络的研究方法应用于研究装备保障体系中，对装备保障体系的建设和发展有着重要意义。

装备保障体系在肩负重要保障任务的同时，也逐渐成为对方打击的重点目标。尤其是面对信息化战场，对方对己方后勤保障网络的精确打击，使得装备保障网络的抗毁性受到越来越大的考验。研究表明，现实中大部分网络都具有无标度的特性，这些网络对随机攻击具有较强的承受能力，但只需要对一些关键节点进行攻击，那么网络将会一触即溃。国外有关研究表明，摧毁一个系统，只需要使这个系统5%到10%的关键节点同时失效就能够达到目的。美国在2003年发生的北美停电事故，便是部分“关键节点”故障造成的。因此，研究装备保障体系的关键节点识别技术，寻找薄弱环节，从而为进一步优化装备体系结构、进行作战部署打好基础，对未来战争而言，有着重要的意义。

在复杂网络领域中，过去经常使用节点中心性指标来对节点的重要性进行衡量，从而识别关键节点。常用的有节点的度中心性、介数中心性、接近中心性等。然而，这类指标在用于识别关键节点时，都存在一定的局限性。度中心性是一种基于节点局部特征的指标，缺少全局化的视角。介数中心性及接近中心性则是基于全局特征，根据节点间的最短距离路径衡量节点重要性。然而，在一些现实网络中，节点间并非沿最短距离路径传输。这类传统指标仅依照网络拓扑结构衡量节点的重要性，忽略了实际应用需求等因素可能造成的影响。因此，这类指标在实际使用时识别关键节点的能力有限，现在常被当作参照指标来评估其他节点重要性指标的性能。

为了进一步提高识别关键节点的准确性，许多学者在传统方法的基础上，通过结合多个中心性指标或是对中心性指标加以改进，提出了多种新的节点重要性指标。考虑到节点重要性不仅与节点自身的度中心性相关，还与节点邻域范围内节点的中心性有关。文献［11］针对度中心性指标的局限性进行改进，充分考虑每个节点的四阶邻居中包含的信息，称为Local Rank算法。同样考虑邻居节点的影响，文献［12］使用结合节点自身的度中心性及周围邻居节点平均度的方法，对关键节点进行识别，从而得到优于传统指标的结果。文献［13］则在考虑邻域范围内的连边数对节点重要性影响的基础上，进一步考虑节点聚类系数的影响，并得出在一般情况下，邻居节点数量相同时，节点的聚类系数越大，其影响越小。除了考虑节点的邻域性造成的影响之外，节点间的传输路径也是影响节点重要性的关键所在。文献［14］研究了城市交通系统中流量、节点中心性及节点关键性的关系，得出了介数中心性指标与系统弹性间的关联性。文献［15］则对根据全局路由得到的节点介数中心性指标进行了改进，将统计范围由全局改为节点所在的局域，并进一步与接近中心性指标相结合，综合评估节点的重要性。另外，有文献综合考虑多种因素影响，结合多种指标进行多属性排序。例如，文献［20］综合了节点的度中心性、介数中心性及接近中心性3种指标作为最终评估节点重要性的指标，表明节点传输的信息量越多、传输效率越高以及信息控制能力越强，节点越重要。文献［21］综合考虑了节点的局部与全局信息，提出节点的度值越大（对应局部连接能力越强），与周围节点间的距离越短且权重越大（对应全局传输能力越强），则节点的影响力越大。文献［22］则指出了结合多个指标量化节点影响力这一策略的研究价值。为了综合评价节点重要性，一种基于与理想目标相似性偏好排序的多属性排序方法也已被多种研究采用，用于关键节点的识别。除了提出节点重要性指标角度外，部分研究还采用智能算法对关键节点进行识别。

本文在上述复杂网络中关键节点识别方法的基础上，提出一种新的用于装备保障体系中关键节点识别的方法。从保障节点的局部连接能力、全局运输能力周围保障节点的影响等多个角度综合评估保障节点的重要性。对于装备保障体系而言，在维持自身正常运行的状态下，还应支撑相应的任务需求，不同的任务需求可能对关键节点的识别造成影响。装备保障体系在完成保障任务时，面对的任务需求主要包括减少时间成本和降低经济成本两方面。不同场景下两种任务需求的优先级不同，使得保障物资的运输线路规划受到影响，进而导致保障网络中节点的重要性发生变化。因此，本文通过定义一种面向任务需求的路由规划方法，衡量不同任务需求对保障节点重要性造成的影响，并综合路由规划结果，提出一种新的节点重要性指标。通过与另外6种常用的节点重要性评价指标作比较，模拟多种不同的保障任务需求，评估各种指标在识别多个及单个关键保障节点上的性能。

本篇文章内容安排如下：引言介绍了研究背景和现状，针对不足之处提出了本文的改进方法；模型描述部分主要介绍了本文使用到的各类模型，包括用于模拟装备保障体系的网络模型、运输保障物资的路由模型、连边容量及拥塞模型；节点重要性指标部分介绍并定义了本文使用到的节点重要性指标，包括6种对照指标和本文提出的面向任务需求的识别关键节点的指标；实验仿真及分析部分提出了两种评估节点重要性指标性能的方法，并进一步介绍了使用该方法进行实验仿真得到的结果及对应的分析；最后总结部分对全文内容进行了总结。

1 模型描述

1.1 装备保障体系模型

装备保障体系通过多种交通方式下交通枢纽之间的互联互通执行保障任务。装备保障任务的复杂多样决定体系的结构复杂多样，因此装备保障体系建模需要进行层次划分，以表示不同层次之间的交互关系。本文选取航空和铁路两种主要的运输方式，使用由航空网和铁路网组成的双层耦合网络模型模拟装备保障体系。模型中的节点表示具备对应交通模式下的保障站点（机场或火车站）的城市，层内连边表示所在层对应的交通模式下的保障运输线路（航线或铁路）。对于同时具备多种保障站点的城市，其在上下两层网络中都有位于同一位置的对应节点存在，位于不同层但表示同一城市的节点则通过层间连边相耦合。

考虑到实际航空运输网络与铁路运输网络在站点数量及拓扑结构上的差异，分别为两层网络定义不同的节点数量及连边规则。上层航空网由个节点构成。鉴于Barabasi和Albert提出的无标度网络模型的无标度特性已在许多现实异质网络中被证实，因此上层将按照无标度网络模型的连边规则相连。从具有个节点的连通网络出发，每个时间步长内引入一个新的节点并与个已存在的节点相连。新加入节点与一个已存在的节点之间的连接概率（）满足：

式中：k 表示节点的度，即与节点直接相连的节点数目。直至网络规模增长至个节点。

下层铁路网由个节点构成。在建立铁路网模型时，考虑到在实际中，只有相距较近的站点之间才会建立铁路直接相连。距离较远的站点之间需要通过一系列中间节点间接连通。上述特征与空间网络模型的特征较为符合，因此使用随机几何图这一空间网络模型来进行模拟。首先定义网络中所有节点的最长连边距离和最多连边数量，接着对每个节点，随机选择与其相距范围内的节点相连，直接相连的节点个数不超过节点的最多连边数量。

在实际中，由于飞机场常建立于运输流量较大的城市，且具有飞机场的城市往往也配备有火车站。因此在建立装备保障体系模型时，首先建立铁路网模型，包含个节点，代表个配备有车站的城市。将个节点按照随机几何图的规则建立完成后，对铁路网中的所有节点按照度值大小排序，选取前个度值较大的节点（对应个城市），为其配备航空网中对应的节点。航空网络中的个节点按照Barabási和Albert提出的无标度网络的规则相连。最后，位于不同层但表示同一城市的节点间将通过层间连边相连。通过层间连边可以将保障物资由其中一层转运至另一层网络进行运输，即航空和铁路之间的转运。这样就建立起了一个用于模拟装备保障体系的无向双层耦合网络，其中上层航空网络节点稀疏，下层铁路网络节点致密。上层网络中的每个节点都和下层网络中表示同一城市的节点相耦合。

装备保障体系通过系统中的交通线路运输保障物资时，需要付出相应的运输时间、运输费用等代价。通过为网络中的连边定义权重，衡量在连边上运输需要付出的成本。首先以节点间欧式距离作为连边的长度，即节点和节点之间的连边长度d 为

式中：（x ，y ）和（x ，y ）分别为节点和节点的坐标。为了保持统一性，上下两层网络使用同一坐标系。

网络中的每条边定义运输时间成本和运输经济成本两种权值，分别表示在该连边上运输所需的时间和费用。权值的大小由边的实际长度、所在层的运输速度及价格决定。边的长度除以对应层的运输速度得到的是所需的时间成本，即层（＝1，2）上节点和节点之间连边对应的运输时间成本为

类似地，可以用边的长度乘以对应层的单位距离运输价格得到运输的经济成本，即层（＝1，2）上节点和节点之间连边对应的运输经济成本为

由于不同层的运输速度以及单位运输价格不同，因此即使是同一对节点间的连边，在不同层中运输所对应的运输成本也不同。另外，由于本文重点关注保障物资在两层网络中的运输，因此忽略转换交通模式带来的的转运成本，即假设层间连边上的权重默认为零。

最终建立完成的用于模拟装备保障体系的无向加权双层耦合网络当中，上层航空运输网络节点稀疏、运输速度快但运输价格高。下层铁路运输网络节点致密、运输速度慢但运输价格低。网络模型的局部示意图如图1所示。

图1 双层耦合网络局部示意图Fig.1 Two-layer coupled network local schematic

1.2 保障运输路由模型

装备保障体系模型建成后，进一步模拟保障物资的运输过程。考虑实际应用中减少保障时间和降低保障费用的任务需求，本文将网络中的每条连边定义为在其上运输的总成本，由运输时间成本和经济成本组成。规定保障物资沿着总成本最低的路径进行运输。在不同应用场景下，两种任务需求的优先级不同，对应着两种成本在总成本中所占比例的不同。当减少保障时间的需求更优先时，路由应沿着运输时间成本更低的路线进行；当降低保障费用的需求更优先时，路由应沿着运输经济成本更低的路线进行。因此，节点间的保障运输线路规划应随着任务需求优先级的变化而动态改变。

为了反映任务需求的影响，本文提出一种面向任务需求的运输路由规则。

首先定义参数表示经济成本在总成本中所占的比例，则时间成本占总成本的比例为（1-）。层（＝1，2）上节点和节点之间连边对应的总运输成本为

在确定了参数的取值后，节点间按照总运输成本最低原则进行路由。任意一对节点和节点之间沿总运输成本最低的线路可表示为

该线路上的总运输成本满足：

基于该路由规则，节点间进行保障物资运输时可能需要通过层间连边转运，从而使用到上下两层网络上的保障连边。参数取值越大则表明经济成本占总运输成本的比例越大，对应着降低运输费用的需求优先级更高。此时为了降低总运输成本，路由时会更倾向于选择运输价格更低的线路。

1.3 保障连边容量模型

本文将装备保障体系中的保障任务抽象为保障物资在上文所构建的保障网络中节点间的输运过程。考虑在单位时间内保障网络中每个节点对之间都会通过网络按照第1.2节定义的路由规则将保障物资从供应节点输运到需求节点，这样网络中的每条连边上都会流过一定量的保障物资。将正常状态下保障网络中流过某条连边的保障物资的多少定义为该边上的初始负荷（0），并依照Motter-Lai模型定义每条连边上的容量，作为该边上能流过的最大保障物资的度量正比于其初始运输负载：

式中：称为冗余系数。至此，可以得到网络中所有连边上的容量，该容量限制了能在连边上运输的最大负载量，一旦运输的物资量超过了规定的容量，则连边上会发生拥塞，进而影响到整个体系的保障运输能力。

1.4 装备保障拥塞模型

不失一般性，假设在执行保障运输任务时，待运输物资均匀地分配到每对节点，并沿着最低成本路径进行运输。当待运输保障物资总量的值较低时，按照任务需求进行路由规划后，分配到每条连边上运输的负载量均小于连边容量，保障运输任务正常执行。随着的不断增大，各条连边上运输的负载量也在不断增大。当某条连边上分配的负载量超过其容量时，则待运输物资会在该连边上不断累积，最终导致系统陷入拥塞状态。

为了能更好地描述这一过程，定义序参量：

式中：（）表示在时间步时刻系统中的总流量；〈·〉表示对于时间窗口Δ求平均。在自由流状态下，每时刻新加入系统的负载与到达目的地后从系统中移除的负载保持平衡，此时序参量的值为零。但当系统陷入拥塞状态时，每时刻新加入的负载与从系统中移除的负载不再平衡，流量在系统中不断累积，导致序参量的值大于零。系统由自由态转变到拥塞态时，系统中运输的保障物资总量记为R 。R表示系统在没有出现拥塞情况下能够承载的最大负载量，又称为系统的承载量。显然系统承载量的值越大，装备保障体系在没有拥塞状态下能够运输的物资量越多，意味着系统的运输能力越强。

2 节点重要性指标

装备保障体系的主要任务就是将保障物资通过各种交通方式输运到目的地。装备保障体系肩负着重要的物资保障任务，也是对方攻击的重要目标。当网络中有某个节点因打击而失效后，节点及其连边将无法再承担物资运输的保障任务。此时，原本通过该节点进行运输的保障物资需要重新选择其他线路。由于每条线路上的承载量有限，重新规划后的运输线路分配结果可能会增大其他连边上的负载。进而随着系统运输的保障物资总量不断增加，连边更容易出现拥塞，最终使得整个系统的承载量R 下降。节点的失效通过影响系统的承载量进而影响了装备保障体系的保障能力，影响的严重程度反映出了节点的关键程度。基于上述分析，本文将系统中的关键节点定义为其失效后会导致系统承载量下降最多的节点。

因此，为了准确识别出装备保障体系中的关键保障节点，需要定义节点重要性指标进行定量分析。本节将介绍本文使用到的几种节点重要性指标，并提出一种新的综合性指标用于识别关键节点。

2.1 复杂网络节点重要性指标

在进行关键节点识别时，复杂网络科学多采用基于网络拓扑结构的方法。本文选取了3种常用的节点重要性指标作为后续实验中的比较对象。

2.1.1 度中心性

保障节点的度中心性DC（）定义为在节点所在网络层内与节点直接相连的邻居节点的数目。度中心性指标反映了一个节点对系统中其他节点的直接影响力。节点的度中心性值越大，能直接影响到的邻居就越多，节点就越重要。

2.1.2 介数中心性

节点的介数中心性反映了节点对沿最短路径传输的流量的控制力，节点的介数中心性BC（）定义为

式中：表示网络中所有节点的集合；表示节点的总数。σ表示节点到节点的所有最短路径的数目，σ（）表示从节点到节点的所有最短路径中经过节点的最短路径数目。

节点的介数中心性值越大，表明经过节点的最短路径数目越多，因此在网络中越重要。在装备保障体系中，介数值较高的保障节点往往是连接供应节点与需求节点之间的纽带节点，具有较重要的保障作用。在双层耦合网络中，节点间进行最短路径路由时沿上下两层网络进行，通过层间连边实现跨层路由。同时，为了反映网络拓扑结构对节点重要性的影响，节点间的最短路径定义为沿两层网络传输时跳数最少的路径。

2.1.3 接近中心性

节点的接近中心性CC（）反映了节点通过网络对其他节点施加影响的能力，具体定义为

式中：d 表示节点到节点的最短距离。节点的接近中心性值越大，表明节点越位于网络的中心，因此在网络中越重要。

2.2 基于任务需求的节点重要性指标

上述3种复杂网络节点重要性指标，仅考虑了网络拓扑结构对节点重要性的影响。而在不同的保障任务中，任务需求会对系统的路由规划产生影响，进而将沿着不同的运输线路执行物资运输任务。因此，在不同的任务需求下，节点的重要性也会发生变化，而上述基于网络拓扑结构的节点重要性指标无法体现这种变化。

在本文使用的装备保障体系模型中，随着参数取不同的值，每条连边上的经济成本和时间成本在总运输成本中所占的比例不同，进而每条连边上总运输成本的大小会发生变化。为了使总运输成本最低，不同取值情况下的运输线路会发生改变，导致关键节点也会发生变化。因此，参数的变化即反映出了任务需求对系统运输以及节点重要性的影响。由于在复杂网络中，节点的介数中心性和接近中心性指标大小受到节点间最短路径的影响，因此考虑对指标进行改进，进一步考虑任务需求的影响，按照不同参数值下得到的最低成本路径规划结果重新计算节点的中心性值。

改进后的介数中心性BC′和接近中心性CC′的计算方法基本与原来的指标保持一致。节点改进后的介数中心性BC′（）定义为

改进后的接近中心性CC′（）定义为

不同的是，在结合了任务需求后，前者由统计经过节点的最短路径条数变为了统计最低成本路径条数；后者在统计节点到其他节点的最短距离时，同样改为按照最低成本路径下的距离进行计算。两种指标均是由于节点间路由的变化导致指标的大小发生变化。传统的BC和CC二者都属于静态指标，网络模型建立完成后不会再发生改变；而改进后的介数中心性BC′和接近中心性CC′的值会随着参数的变化而变化，对应着在不同任务需求下节点的重要性也会发生改变。

2.3 节点重要性综合评估指标

为了更好地识别出装备保障体系中的关键保障节点，需要综合考虑节点的拓扑因素以及节点的角色功能信息，从局域和全局等多个维度评估节点重要性，并提出一种综合能效节点重要性评估指标。

在局域范围内评估节点重要性时，节点与周围邻居节点间的连边越多，相连的邻居节点越重要，则该节点的连接能力越强，在保障运输中发挥的作用越大。因此，本文选择使用节点所在网络层中的一阶邻居节点度值之和DC′这一指标来描述其连接能力：

在全局范围内评估节点重要性时，通过节点进行保障运输的路径越多则该节点的运输能力越强。使用第2.2节中定义的由路由改进的介数中心性BC′指标衡量全局下的节点重要性。该指标一方面受到系统静态拓扑结构的影响，另一方面受到实际运输中的路由选择的影响。节点改进后的介数中心性BC′的值越大，则全局范围内通过该节点运输的低成本路径越多，节点在保障运输过程中发挥着越重要的作用。

上述DC′指标从局域范围出发，以节点及其相邻节点的连接能力评估节点重要性；BC′指标从全局范围出发，以不同任务需求下节点的运输能力评估节点重要性。综合上述两种指标，提出一种新的衡量节点重要性的指标，考虑邻居度及介数的综合性（neighbor degree＆betweeness centrality，NDBC）指标如下：

将每个节点改进后的介数中心性BC′的值和改进后的度中心性DC′的值归一化后一一相乘，得到每个节点的重要性指标NDBC的值。

作为对照，本文还使用平均邻居节点度k 指标代替DC′指标衡量节点局部重要性，由此得到考虑平均邻居节点度及介数的综合性指标（neighbor average degree＆betweeness centrality，NADBC），即

该指标将用于和本文提出的NDBC指标进行对照，评估NDBC指标的性能。

3 实验仿真及分析

3.1 评估节点重要性指标的方法

本文采用下述两种方法，从不同的角度比较和展示各种节点重要性指标的性能。

3.1.1 方法一

3.1.2 方法二

通过对参数取多个不同值，模拟任务需求的变化对节点间运输线路规划以及节点重要性的影响，在此情况下统计不同指标识别出最关键节点的概率（最关键节点可以通过穷举法遍历所有节点找出）。参数值的不同，代表时间成本和经济成本在总成本中比例的不同，对应着不同的任务需求。这样，一种节点重要性指标识别出最关键节点的概率值越高，则表明该指标能在多种任务需求下保持较好的性能。

3.2 实验仿真参数设定

在本文中，规定装备保障体系中上层航空网络由200个保障节点构成（＝200），下层铁路网络由500个保障节点构成（＝500）。上层网络中的每个节点都与下层网络中代表同一城市的节点耦合。参照现实中飞机与高铁间的速度比，上层网络的传输速度是下层网络的3倍，即＝3。为了简化计算，取＝1／9，则＝3＝1／3。同样，考虑到现实中两种交通模式的运输价格，航空网络和铁路网络之间的运输价格比（／）设置为5∶1。实验仿真中，设定下层网络单位距离的运输价格＝1，则上层网络的单位距离运输价格＝5＝5。网络中的每条连边设置相同的冗余量＝1，即每条连边的容量都等于其初始负载量的两倍。

3.3 实验结果及分析

首先使用第3.1.1节的方法一比较本文提出的节点重要性综合评估指标NDBC与其他6种对照指标在识别多个关键节点上的性能表现。考虑到在实际保障运输中，面对不同的任务需求，经济成本与时间成本各自的比重会不同，即参数的值会发生变化。而参数值的变化会影响节点间运输线路规划，进而对节点重要性造成影响。为了展示出在不同任务需求下的指标识别关键节点的性能，图2中选取了参数分别为0、0.5和1时的仿真结果。

图2 各种节点重要性指标识别的前1%～10%关键节点的性能Fig.2 Performance of the top 1%-10%critical nodes identified by the node importance indices

在图2的每个分图中，7条曲线对应7种节点重要性指标的性能。不难看出，NDBC曲线始终位于另外6种指标曲线的下方。表明由本文提出的节点重要性综合指标NDBC识别出的关键节点对于装备保障体系运输能力的影响更大，即该指标更能有效地识别出容易导致系统严重毁伤的关键节点。

另外，通过对图2中各分图进行对比可以发现，随着参数取不同的值，不同曲线的相对位置在发生变化。也就是说，当参数取不同值时7种节点重要度指标的相对性能的优劣会发生变化。对于仅考虑网络拓扑的3种指标（节点的度、介数和接近中心性）而言，由于没有考虑任务需求的影响，随着参数的变化，曲线的相对位置会发生明显变化。这表明3种指标在识别关键节点上的相对性能的优劣在不断改变，在某一参数取值处能有效识别出关键节点的指标，可能并不适用于另一个取值的情况，即这3种重要度指标不能很好地适用于实际中的多种不同任务需求。例如，对比图2中使用度中心性指标得到的曲线，在取值0时该指标的识别性能仅次于NDBC指标以及BC′指标，性能表现较好；在取值0.5时，识别关键节点的性能表现同样较好，仅次于NDBC指标的识别性能；然而当取值为1时，该指标的识别性能则大幅下降，表现在图2（c）中，对应曲线远位于所有其他曲线的上方，即识别出的关键节点对系统承载量的影响是最小的。由此可见，度中心性指标在识别关键节点时性能不稳定，不能很好地满足实际任务需求的变化。

对于另外4种考虑了任务需求（即值对指标有影响）的指标而言，当值变化时，几种指标的相对性能优劣始终维持不变。从曲线的位置可以看出，NDBC指标始终是最优的，NADBC指标其次，BC′指标第3，CC′指标最差。作为参照的NADBC指标在＝0及＝1时，都表现出了与本文提出的NDBC指标类似的识别性能，均比其他的几种指标的识别效果要好。然而，在参数＝0.5时，NADBC指标的识别效果则表现不如度中心性指标DC。由此可见，使用平均邻居节点度衡量局部重要性得到的NADBC指标在识别关键节点时，随着参数的变化，识别性能表现也不稳定。与其他节点重要性指标相比，本文提出的NDBC指标在值变化时识别性能始终维持最优，在识别关键节点时表现出了较强的稳定性。

上述实验比较了不同节点重要性指标识别多个关键节点的性能。对于实际应用而言，能否识别出系统中最重要的单个节点往往具有重要的意义。对最关键的节点进行保护，能够最大化地减轻系统毁伤，提高系统的抗毁性。按照第3.1节中的方法二，实验模拟7种节点重要性指标在不同任务需求（即参数的值不同）下识别出最重要节点的概率。

图3显示了在多个不同取值下（即模拟多种任务需求），多次重复实验得出的7种节点重要性指标识别出最关键节点的概率。可以明显看出，本文提出的节点重要性综合指标NDBC在7种指标中成功识别出最关键节点的概率最高。这表明在参数取多个不同值，即对应实际中不同的任务需求下，NDBC指标识别出对装备保障体系运输能力影响最大的关键节点的概率更高，从而有利于更好地发现系统中的薄弱环节。

图3 节点重要性指标识别出最关键节点的概率Fig.3 Probability of node importance metric identifying the most critical nodes

通过上述两种实验方法的检验，可以看出无论是在识别多个关键节点还是在识别单个最关键的节点方面，相对其他6种节点重要性指标而言，本文提出的NDBC指标的性能都是最优的。而且，随着任务需求的变化，NDBC指标的性能始终维持相对最优，具有很好的稳定性。

4 总 结

装备保障体系在战争中承担着重要的保障物资运输任务，一旦其中的关键节点由于遭到攻击而失效，将对系统的运输能力产生严重的影响。因此，本文研究了装备保障体系中识别关键节点的方法，提出了一种新的综合性节点重要性指标，对双层耦合交通网络中节点的重要性进行评估，从而识别出系统的关键节点。这种节点重要性指标综合了节点自身及邻居的影响、节点局部连接能力及全局运输能力的影响、网络拓扑结构及任务需求的影响等多个因素。通过与另外6种常用的节点重要性指标对比表明，无论是在识别多个关键节点，还是识别单个最关键的节点上，本文提出的NDBC指标性能都保持相对最优，并且在面对不同任务需求时均能保持良好的性能，具有很强的稳定性。