揭示异同 丰富表达——人教版教材六年级上册“比”单元整体设计的实践研究

□周芳 陈芳

人教版教材六年级上册“比”这一个单元与“除法”“分数”有着十分密切的联系。但是，比有其自己的特征，比的本质是比较，是两个量之间的一种“倍比”关系。人们也可以通过“连比”整体表示三个量甚至更多量之间的两两“倍比”关系，这是除法与分数含义中所没有的。因此，如何从量与量的比较视角认识“比”？如何从“比”与“比”的比较中发现比的基本性质？怎样更好地体现“比的应用”过程中旧题新解的价值？带着这样的思考，我们进行本单元的整体设计与实践研究。

一、梳理——理清教材的编写思路

人教版教材六年级上册“比”单元安排了比的意义、比的基本性质与比的应用这样三个板块内容。这三个板块的学习均以相关的旧知为基础，即从除法解决问题中的数量关系认识比，从商不变的性质、分数的基本性质类推出比的基本性质，利用“平均分”“分数乘法”的数量关系解决比的应用。

（一）丰富关系表达，引出比的意义

在用除法解决问题时，会形成多种数量关系，主要可以分为两类。一类是两个同类量比较后的数量关系，如长方形的长与宽进行比较，“长÷宽=长是宽的几倍”和“宽÷长=宽是长的几分之几”。另外一类是有联系的两个不同类量之间的比较，如行程问题中“路程÷时间=速度”和“路程÷速度=时间”。学生在解决问题时，往往是通过这样的关系式列出算式，求出结果。“比”则是“不求出结果”，直接表示两个量之间的关系。教材用“有时我们也把这两个数量之间的关系说成……”，把除法表示的数量关系用比重新表示。并且，为了使除法与比的关系更加明显，用“15÷10”表示“长是宽的几倍”；用“10÷15”表示“宽是长的几分之几”；“速度”则直接用“路程÷时间”表示。最后结合具体例子，直接抽象出比的意义：两个数的比表示两个数相除。

（二）构建新旧联系，推导比的基本性质

教师可以把学习比的基本性质与应用比的基本性质分成两个层次，即首先通过与商不变性质的比较推导出比的基本性质，再结合具体情境，在解决实际问题的过程中学习比的化简。

很显然，“比的基本性质”与“商不变的性质”“分数的基本性质”有着密切的联系。教材紧紧围绕这种联系，通过在比的意义学习之后的“做一做”的第3题提出问题：“你还记得商不变的规律和分数的基本性质吗？”让学生带着问题进行回忆，接着再依据除法与比的关系，通过具体例子，概括出比的基本性质。在此基础上，教材直接指出：“用比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。”教师要求学生分别化简上一节课中的联合国旗帜与另外一面更大的联合国旗帜的长与宽的比，总结整数比的化简方法，结合具体例子，进一步总结分数或小数比的化简方法。

（三）解决实际问题，学习比的应用

这里指的“比的应用”可以称为“按比分配解决问题”，这一类问题与“和倍问题”的实质是相同的。在这里要依据比的含义或转化成分数乘法的数量关系解决问题。教材将“比的应用”分成三个层次。第一个层次如例2，已知两个量的比与总量，求这两个量，这是比的应用的基本形式。第二个层次是如练习十二的第2题，学生需要自己依据信息提炼出比，再把总量按比分配。第三个层次则是连比解决问题，如练习十二第4题和第10题这样两类，分别对应于已知连比与需要创造连比后，再按比分配解决问题。

在分析其数量关系时，我们发现，“按比分配解决问题”也是一类“平均分”的问题，并且可以使原来的平均分更加公平合理。如练习十二第4题，如果按照班级平均分，人数多与少的班级分到的任务相同，而按人数分配，人数少的班级就可以承担较少任务。

通过梳理可以发现，“比”虽然是一个只有三节新授课的小单元，但是却包含了概念学习、规律探究与解决问题三种课型，它们既相互独立，又有着密切联系。在形成“比的意义”的过程中，渗透着“比的基本性质”；“比的应用”则是对“比的意义”的再认识。

二、反思——发现可以改进之处

通过梳理可以发现，教材十分重视从除法的视角学习比。但是，从比的认识背景、比的基本性质的揭示、比的应用中的旧知新解等方面均可以做进一步改进。

（一）拓展数学背景，揭示比的本质

“比”既是数学术语，也是日常用语。从日常用语的视角，“比”即“比较”，与除法有联系，还与“减法”有关系。在之前的学习中，两个同类量进行比较，除了表示除法关系的“几倍”与“几分之几”之外，还有表示相差关系的“多几”与“少几”。

因此，教师在出示同类量的长与宽时，可以让学生比较长与宽，自己提出问题，再对提出的问题进行分类，从而让学生在减法表示的差比和除法表示的倍比的辨析中，认识本单元的“比”是除法的新表达，由此更加扎实地构建比的意义。

（二）结合解决问题，发现比的性质

从“商不变的性质”“分数的基本性质”中通过类比与迁移，引出“比的基本性质”，体现了数学间的内在联系。同时，学生也可以在解释或解决现实问题时发现“比的基本性质”，从而更好地培养应用意识。

“比的基本性质”与“归一问题（正比例关系）”有着相通之处。创设问题情境，通过观察比值相等的若干个比之间的联系概括出比的基本性质，既复习了比的意义，也可以更好地培养学生的数感与推理意识。如直接出示两面联合国旗帜的长与宽的信息，请学生进行比较，说一说这两面联合国旗帜的长与宽的比有什么联系，逐步引导学生发现比值相等的两个比前项与后项的变化规律。

（三）回溯“和倍”问题，凸显比的应用

“比的应用”采用转化成已经学习的“平均分”或“分数乘法”解决问题。同时，还可以进一步思考，回溯已经学习的解决问题，是否有哪一些数量关系可以转化成“比的应用”加以解决？人教版教材五年级上册“简易方程”中用方程解决问题例4（和倍问题）和六年级上册分数除法解决问题例6（和率问题），均可以把其中的关键句转化成两个量的比，从而构建起“倍”“分率”与“比”之间的联系。

三、重构——让学生经历数学发现的过程

结合三节课的改进之处，如何在具体教学中得以落实？我们需要提供学习材料，创设问题情境，围绕改进之处，重构其中的教学片段。

（一）丰富比的素材，深化比的意义

同类量的比，从学生自主提出问题入手。教师通过谈话引出图1的信息，请学生比较联合国旗帜的长与宽，说一说长与宽有怎样的关系。学生提出如下四个问题：（1）长比宽多多少厘米？（2）宽比长少多少厘米？（3）长是宽的多少倍？（4）宽是长的几分之几？接着请学生口头列出算式不计算，再请学生依据算式，把上面的四个问题分成两类，并说一说分类的理由。学生指出第（1）（2）个问题是相差关系，第（3）（4）个问题是相除关系。教师进一步引导学生比较第（3）（4）个问题，说一说它们有什么区别。学生指出第（3）个问题是“长比宽”，第（4）个问题则是“宽比长”。依据学生的回答，教师用比号表示出关系。

图1

虽然说“比”与“除法”有着密切的联系，但是，在同类量的比中的“连比”却不能直接转化成除法。事实上，“连比”是由有联系的两个及以上的“比”组合而成的。教师在练习时，创设情境，让学生经历连比的形成过程。教师先出示图2的长方体，请学生找一找，依据长、宽和高的信息，你能组成哪一些比？学生组成如“长∶宽=10∶5”“宽∶高=5∶20”等不同的比。教师进一步请学生写出“长∶宽∶高”的比，再与前面两个数的比进行比较，有什么联系与区别，体会“比”与“连比”的关系。

图2

（二）比较比的联系，发现变与不变

课始，教师出示图3，指出上一节课中依据左边的联合国旗帜的长与宽，认识了比，现在又有一面更大的联合国旗帜。请学生分别写出两面联合国旗帜长与宽的比，再说一说两个比有什么联系。

图3

学生依据上一节课的学习经验，分别求出它们的比值。发现它们的比值相等后，教师把它们用等号连接，引导学生继续寻找联系，发现从一个比出发，前项与后项同时乘或除以12，就成了另外一个比。教师提出新要求，请学生从“15∶10”出发，思考还可以通过同乘或除以几，转化成与它比值相同的比吗？学生独立完成后交流，在交流比较中概括出“比的基本性质”和“最简整数比”。

（三）回顾旧有问题，体会数学联系

人教版教材“比的应用”中两种解决问题的思路，是通过对题目中比的信息进行重新理解，将其转化成与“平均分”或“分数乘法”一致的数量关系。在此基础上，还可以把原有的用方程解决问题中的“和倍（和率）问题”进行重新思考，把“分率”与“倍”转化成“比”后再解决问题。

结合例2学习了“比的应用”的两种解题思路后，教师出示分数除法解决问题的例6：我们班全场得了42分，下半场得分只有上半场的一半，下半场和上半场各得多少分？展示教材中的两种用方程解决问题的方法。教师提问，这两种解决问题的方法分别把关键句“下半场得分只有上半场的一半”进行了怎样的改写？学生回答分别改写成“下半场得分是上半场的”和“上半场得分是下半场的2倍”。教师进一步追问：“如果把这一个问题用‘比的应用’解答，关键句又可以怎样改写呢？”学生思考后指出可以改写成“下半场得分与上半场得分的比是1∶2”或“上半场得分与下半场得分的比是2∶1”，接着用教材例2中比的应用中的两种方法进行解答。解答后发现，虽然改写的两个比不同，但是解答的过程却是一样的。最后让学生体会““2倍”分别与“1∶2”“2∶1”的联系与区别，体用“比”与“分率”“倍”之间的内在联系。

数学是一门研究关系与规律的科学。本单元学习的“比”与“除法”和“分数”有着密切的联系。但是，除法是一种运算，分数是一类数，而比是一种关系。因此，要让比与除法、分数相联系，就是要结合具体情境，凸显除法中的数量关系和分数中比的含义。