数学抽象素养下初高中函数教学的衔接问题探析

2022-09-30 08:24殷璐佳
新教育时代电子杂志(学生版) 2022年26期
关键词:初高中实例函数

殷璐佳

(黄冈师范学院 湖北黄冈 438000)

关键字:初高中函数衔接 函数的概念 教学设计 抽象思维

引言

《普通高中数学课程标准》(2017年版2020年修订)指出,数学抽象素养不仅是学生形成理性思维的重要基础,也是学习数学概念需要掌握的思维能力。数学抽象思维的掌握对于学生学习高中函数知识,促进初高中函数的衔接学习都有巨大帮助。近年来,不断有专家学者探究初高中函数衔接问题。霍曼曼[1]通过调查学生学习现状和教学衔接现状分析得出,当前教学衔接不理想的主要原因是知识内容、教学目标、学生认知等,并针对以上问题提出相应策略,以促进初高中函数的教学衔接。郭见孙[2]通过调查得出,初高中三角函数在教材内容、教学方法、课标要求等存在差异,并从APOS理论出发提出了相应的衔接策略。

随着新课程改革的不断深入,初高中数学教材的相继改版,初高中函数衔接问题受到更多学者的关注。截至2022年7月15日,在“中国知网”以“初高中数学衔接”为主题,匹配度为“精确”,共检索到各类文献1180篇;以“初高中函数衔接”为主题,匹配度为“精确”,共检索各类文献205篇。可见,初高中数学衔接问题的研究中,有近六分之一的学者研究函数衔接。虽然不少专家学者对初高中函数衔接都提出了相应的解决措施,但并未从本质上探究初高中函数衔接问题,即函数衔接问题并未彻底解决。因此,本文以数学抽象素养为视角,从学生抽象思维角度探究函数衔接问题,通过对初高中在职数学教师访谈和对人教版初高中函数教材内容的深入探究,分析初高中函数衔接的问题所在,进一步思考探究如何促进初高中函数衔接,帮助学生顺利从初中函数学习过渡到高中函数学习。

一、研究方法及过程

1.访谈对象的选取

为了深入了解初高中函数衔接现状,本研究在选取访谈对象时,采用专家取样方法,即指选取在某方面具有专业技能或经验的人作为研究样本的取样方法[3]。最终选择湖北省黄冈市直属完全中学的数学教师为研究对象,其中初中数学教师3名,高中数学教师4名,均为专家型教师。

2.访谈提纲的编制

在研究相关论文后发现,初高中函数衔接问题涉及的方面较多且复杂,因此,访谈提纲设计为半开放式。经过与指导老师、在职数学教师的讨论和修改,最终确定2个访谈主题:①了解教师对初高中函数衔接的认识及在进行衔接教学时存在的困难;②了解教师如何促进初高中函数衔接。根据这两个访谈主题对初高中数学教师进行访谈,访谈以录音形式进行,并由人工对录音进行文字转录。

二、初高中函数衔接问题

通过对访谈结果和人教版初高中函数教材的分析发现,初高中函数衔接的困难之处主要体现在两个方面:一方面,是初中函数与高中函数知识上存在脱节现象;另一方面,是学生的思维能力没有随着年级的升高而提升。

1.知识点差异

初中对函数的定义是:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数,如果当x=a时y=b,那么b叫作当自变量的值为a时的函数值[4]。重点突出的是x与y之间的某种变化关系,以及可以根据一个变量的值求解出另一个变量的值。

而学生进入高中后所学的函数概念则是:一般地,设A、B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作其关键点是以集合为基础探究函数本质,突出实数集合之间的对应关系f,强调函数本身就是一个对应关系,自变量x在对应关系f的作用下,按照等式右边的式子的法则计算得出f(x)的值。对于刚升入高中的学生而言,函数的理解只是停留在初中的单值对应的程度,由于对应关系f具有较高的抽象性,学生很难在已有的初中函数基础上理解高中函数。学生对于符号f(x)的认识也存在困难,不清楚与初中所学的y有何联系,与f(a)又有什么关系。这些认知困难归根结底是由于高中函数更加符号化、抽象化,学生对新定义的函数概念不理解,没有理解函数真正的本质是什么,只是停留在初中函数概念阶段。

函数的相关学习中,函数性质的探究也是极其重要的。初中所学的一次函数、二次函数、反比例函数等都是画出函数图像后,根据图像探究函数的增减性。而高中则用新的名词“单调性”来重新定义函数的增减性,并且学生需要证明“此函数为什么是增函数或减函数”。高中函数还会探究其奇偶性,引入奇偶函数的概念,而学生在初中只有学习二次函数时探究过函数图像的对称性,并没有深入研究。以上是初高中函数性质的差异,发现高中函数性质相对初中研究的更加深入,难度骤增,学生学习存在较大困难。

因此,初高中函数在概念、性质等方面存在较大差异,初中函数重点探究的是变量之间的对应变化和求值,而高中函数则突出集合之间的对应关系和单调性、奇偶性。知识点衔接存在明显不足,所以,教师在进行初高中函数衔接时,需要注意从知识点上进行衔接教学。

2.学生思维差异

教师们认为,初高中函数衔接除了知识点上的衔接困难外,还有学生思维能力的衔接转换。初中学生学习函数大都是通过画出函数图像,将表达式转变成具体的图像,学生可以直观地感受这个函数所表达的深层含义,无论是y的取值范围还是函数的增减性,此时学生的思维大多处于形象思维阶段。升入高中后,学生们发现,数学知识不再像之前一样可以形象化、具体化,可以利用图像、表格等完全展示出来,只能从表达式中抽象获得相关概念和性质。但此时学生的抽象思维能力还不足以支撑函数的学习,已有的形象思维又无法深入理解函数,以至于学生对初中函数掌握扎实,升入高中后却心余力绌。

例如,复合函数f(f(x)),由于其复杂性,学生无法直接将函数图像画出来,只能从表达式中抽象出定义域、值域、单调性等。而复合函数定义域的求解往往需要换元,换元后“内侧函数的值域做外侧函数的定义域”,没有一个具体的形象引导学生理解这一句话,所以,学生们困惑为什么值域突然变成了定义域。简而言之,初中函数到高中函数的学习,对于学生思维而言最难的是从形象思维到抽象思维的转变。

三、函数概念的教学设计

根据教师访谈结果和初高中函数衔接困难的研究分析发现,教师不仅要注意初高中函数知识之间的衔接,还要注重学生抽象思维的衔接。函数的概念是学习函数模块的基础,而且学好函数的概念对于学生数学抽象能力的要求较高。所以,在初高中函数衔接教学中,首先应当作好“函数的概念”这节衔接课。因此,本文以人教版A版高中数学必修一第3章第1节第1课时——“函数的概念”为例,设计教学过程,帮助学生理解函数本质,也帮助教师在进行教学时更好地促进初高中函数衔接。

片段1:创设情境

问题1:2022年6月5日,神州十四号载人飞船于酒泉卫星发射中心成功圆满发射。在神州十四号飞行期间,卫星发射中心人员时刻关注着神州十四号距离地面的高度随时间的变化。对于这一运动变化中的数量关系,在数学上我们是用什么来描述的呢?

设计意图:从学生们喜闻乐见的航天事业出发,激发学生的学习兴趣,引起探究欲望,同时引出今天研究的主题——函数。

问题2:请同学们列举之前初中学过的函数?

问题3:那么初中所学的函数的定义又是怎样的呢?

问题4:根据初中函数的定义,你能判断y=1(x∈R)是函数吗?

设计意图:通过问题2和问题3,进行初高中函数知识之间的教学衔接,唤起学生对初中函数的记忆,为学习高中函数的概念做准备,以便顺利进行知识迁移。设计问题4,引发学生的认知冲突,使学生感受到初中所学的函数概念不能判断所有表达式,激发学生的求知欲望。

片段2:问题探究

实例一:某复兴号列车加速到340km/h后保持匀速行驶半小时,在这段时间里,列车行驶的路程S(km)与行驶时间t(h)的关系表示为S=340t。

问题1:S是t的函数吗?为什么?

设计意图:实例一采用的是学生熟知的列车运行的情境,拉近数学与学生生活的距离。问题1的设计帮助学生更深层次理解函数的概念,再次巩固初中函数的概念。

问题2:可以画出对应的函数图像吗?

问题3:在实例一中,根据对应关系式S=340t,可以知道,列车进入匀速行驶后,运行1h,行驶了340km。这一说法是否正确呢?

问题4:所以,我们画出的这个图像是正确的吗?正确的图像形状应该是什么样的呢?

设计意图:让学生初步感知判断函数是否正确须先判断自变量的取值范围,同时也体会自变量取值范围和因变量取值范围之间的对应关系。通过函数图像直观感受此函数与初中所学的正比例函数存在的差异,帮助学生进一步理解函数,促进形象思维到抽象思维的转变。

实例二:某电气维修公司要求工人每周至少工作1天,至多不超过6天,每天工资标准是340元,且是每周结一次工资,那么请问如何确定一个工人每周工资w(元)与工作天数d之间的关系呢?w是d的函数吗?

问题1:这里的变量w的变化范围是多少?变量d的变化范围又是多少?你可以用数集分别表示吗?

问题2:这两个数集之间存在什么样的关系呢?

问题3:这个函数的图像你可以画出来吗?

问题3:实例一和实例二中的函数具有相同的对应关系,根据图像可以判断出它们是同一个函数吗?为什么?

设计意图:通过问题1、2,让学生建立使用集合表示变化范围的意识,探讨集合之间的关系来认识函数的对应关系。问题3、4的设计让学生从函数图像中初步直观感知两个函数不是同一个函数,再分析根本原因,使得学生深入认识函数不仅要关注解析式,还要关注自变量、因变量的取值范围。

实例三:图 1是黄冈市某天24小时的气温变化图。

问题1:你能根据图 1得出14时的气温是多少?在什么时刻气温为6℃?

问题2:如何根据图 1确定这一天内某一时刻t h的气温T?你认为这里的T是t函数吗?

图1 气温变化图

问题3:此时I和t需要考虑取值范围吗?假如需要,那么它们的范围分别是多少呢?

设计意图:引导学生从图像中分析问题,体会对任意自变量的值都有唯一确定的值与之对应,同时引导学生分析变量的取值范围,为后续概括函数本质打下基础。

反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高。表1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,根据表1中的数据,你可以得到年份y与恩格尔系数r的关系是怎样的?

表1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况

问题1:根据表1给出的对应关系,你认为恩格尔系数r是年份y函数吗?为什么?

问题2:在实例四中,对于r和y的取值范围有没有要求呢?

设计意图:通过实例四的分析,引导学生学会从表格数据来分析问题,初步体会表格数据中蕴含的函数关系,同时也培养学生的数据分析素养。

片段3:概念提炼

问题1:请尝试用表格的形式将以上4个实例中数学信息进行归纳整理。

问题2:根据表2里面的数据信息,你可以得出它们的共同特征吗?请把表2补充完整。

表2 数学信息归纳表

问题3:通过4个实例我们发现,对应关系不仅可以用解析式表达,也可以用图像、表格的形式呈现,因此,我们采用德国数学家莱布尼茨引入的f来统一表示对应关系。现在同学们可以根据初中函数的定义,重新对函数进行定义吗?

设计意图:运用可视化方法,采用表格的形式,帮助学生梳理4个实例中所含有的全部信息,通过比较分析法找到实例中的共同特征,以完成表头为桥梁抽象出函数的概念。也将学生的思维可视化,建立起学生思维之间的衔接,促进学生形象思维到抽象思维的转变,有助于学生抽象出函数的本质,进而概括得出函数的概念。

片段4:辨析概念

问题2:请同学们在函数的定义中画出你认为的关键词,用自己的话表述,并思考函数是由哪几部分构成?

问题3:如何判断两个函数是否相等呢?

问题4:如果不采用f(x)表示函数符号,可以用其他符号如g(x),F(x)等来表示吗?

设计意图:函数概念相对抽象,晦涩难懂,因此通过学生自己对函数概念的拆分、辨析,深刻理解函数的概念,掌握函数的三要素,进一步建构自己的函数观。

片段5:例题讲解

(1)函数的定义域是多少?

(3)当a>0 时,求f(a)、f(a+2)的值。

设计意图:巩固对函数概念的理解,初步掌握定义域求解的方法,理解f(a)(a为常数)与f(x)的关系,体会从特殊到一般、从具体到抽象的转变,进一步深化对函数符号的理解。

四、相关建议

初高中函数衔接是为了建立初中函数到高中函数的学习台阶,帮助学生顺利从初中数学过渡到高中数学。同时,初高中函数衔接教学也是一个长期而又艰巨的任务。在这个任务中,无论是初中教师,还是高中教师都应当为了学生长期的身心发展而努力。为了帮助初高中数学教师在实际教学中更好地促进初高中函数衔接,提出以下几点建议。

1.注重函数的整体知识结构

教师首先应当以整体性、层次性两个特性出发,分别建立初中函数和高中函数的知识结构,清楚学生在不同学段需要掌握理解的函数内容。接着以发展性为目标从构建的知识结构中找出初高中函数衔接点,促进初高中函数知识之间的衔接。同时教师在进行教学时也要注重学生对函数知识的整体结构的理解,在学完所有初中或高中函数知识之后,可以选择带领学生构建整体函数的知识结构,理解各个知识之间的联系,从而更易掌握函数知识,建立自己的函数观。

2.适当运用动态数学软件

图象具有一定的直观性,使得学生从该函数的图象中直接得出其函数性质,从一定程度上降低了函数知识的理解难度,可以有效促进初高中函数的衔接。由于高中函数相对复杂,图象很难直接画出,因此教师可以利用数学动态软件如皓骏、GeoGebra、几何画板等进行作图,展示具体的函数图象。在教学中加入静态或者动态图象不仅可以很好的吸引学生注意力,还可以直观、形象的帮助学生学习函数概念、性质等,以形象思维促进抽象思维的发展。

3.可视化方法培养学生的抽象思维

高中函数相对初中函数具有更强的抽象性,因此对于学生抽象思维能力的要求更高。教师在进行授课时,可以从创设情境出发,以学生熟知的生活实例或者与之相关的知识为背景,引起学生兴趣。然后根据探究的知识的特点,适当运用可视化的方法,采用图示、表格等形式将探究过程中复杂知识、思维清晰地呈现出来,帮助学生理解知识的形成过程,有效的发展学生的抽象思维,促进形象思维到抽象思维的转变。

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