Delta算子框架下大系统的协同控制研究

2022-09-29 11:18薛艳梅韩金珂

南京信息工程大学学报 2022年5期

薛艳梅韩金珂

0 引言

随着计算机、通信等技术的飞速发展,复杂大系统(Large Scale System)已广泛应用在工程技术[1-4]、社会经济[5]、生态环境[6-8]等各个领域．大系统的特点是模型维数较高、结构复杂、对系统鲁棒性要求较强等．大系统稳定性研究常用局部反馈方法,通过减少子系统间的互联增加大系统稳定性[9]．但文献[10-11]的研究表明互联和协同在大系统稳定性中也有重要作用．文献[10]在自反馈和互联反馈情况下,给出两个系统协同稳定的充要条件,提出两系统谐波控制的概念;文献[11]针对含有不稳定子系统的大系统,设计一种特殊的分散控制器,使其通过有效的协同成为稳定的互联系统;文献[12]针对多无人机系统,在分析最优布站方式基础上,提出一种闭环最优控制方法,有效提升了多机协同跟踪时差无源定位的精度;文献[13]则针对航空火力系统,研究了分布式协同架构下的控制问题．

离散时间系统可由连续时间系统采样得到,适用于计算机实现,但当采样快时在有限字长的计算机中并不稳定．离散时间模型常用移位算子的形式表示,但在短采样周期间隔下存在截断和舍入误差困难的问题．在采样周期趋近于0时,离散Delta算子模型趋近于原连续模型,能有效克服移位算子方法高速采样时的缺点,有效避免传统Z变换引起的数值不稳定问题,使得连续域的各类设计方法可直接应用于离散域．因此Delta算子已成为连续时间模型和离散时间模型的统一描述方法,在计算机高速信号处理、宽带通信与数字采样控制领域具有广阔的应用前景[14]．目前关于Delta算子的研究多集中在数据丢包、时变时延、H∞滤波等方面[15-19]．文献[15]针对二维Delta算子系统在饱和状态下的稳定性问题,给出了系统极限轨迹的一般性质和全局渐近稳定的充分必要条件;文献[16]针对Delta算子系统设计一个多频率区间降价H∞滤波器,降低了现有方法的计算复杂度并提高了H∞性能;文献[17]针对具有双通道丢包、时变时延且范数有界的不确定Delta算子网络控制系统,提出一种基于交换系统的故障检测方法,并给出了期望滤波器参数的显式表达式;文献[18]将交换拓扑网络中具有协作竞争交互和通信时延的多智能体系统的群一致性问题,转化为具有通信时延系统的全局渐近稳定问题;文献[19]针对具有内部参数摄动和外部干扰的高速信号采样系统,提出一种基于Sigmoid函数的Delta算子饱和变速趋近律,实现了不确定Delta算子系统的软滑模控制器设计．

值得注意的是,关于Delta算子的大系统协同控制方面的研究较少．文献[9]将一些连续系统或离散系统的结果整合到Delta算子框架下,通过李雅普诺夫稳定性理论以线性矩阵不等式形式给出了大系统协同稳定的充分条件．

受上述研究启发,本文将Delta算子描述的大系统看作相互独立的子系统,研究Delta算子框架下线性大系统的协同状态反馈控制问题．以线性矩阵不等式形式给出了互联系统协同状态反馈渐近稳定的充分条件,并给出了优化性能指标．本文方法放宽了文献[9]中协同状态反馈控制器设计中对正定矩阵的约束条件,使结果更具一般性．最后仿真实例进一步验证了本文算法的有效性及优越性．

1 预备知识及问题描述

1.1 预备知识

文中Rp×q表示p行q列的实矩阵，AT表示矩阵A的转置,M-1表示矩阵M的逆．A>0表示A为对称正定矩阵,A≥0表示A为对称半正定矩阵．

定义1[14]Delta算子定义如下:

其中,T表示一个采样周期．

引理1[14](Delta算子的性质) 对任意关于时间t的函数x(t)和y(t),有

δ(x(t)y(t))=δ(x(t))y(t)+x(t)δ(y(t))+

Tδ(x(t))δ(y(t)).

1)S<0;

1.2 问题描述

本研究考虑Delta域下独立子系统通过协同控制成为一个互联闭环系统的状态反馈控制问题．

Delta算子描述的两个独立子系统如式(1)、(2)所示:

δ(x1(tk))=Aδ1x1(tk)+Bδ12u12(tk),

(1)

δ(x2(tk))=Aδ2x2(tk)+Bδ21u21(tk),

(2)

其中,x1(tk)∈Rn1和x2(tk)∈Rn2分别表示子系统1与子系统2的状态,u12(tk)∈Rm1和u21(tk)∈Rm2分别表示子系统1和子系统2的控制输入,子系统1和子系统2的系统矩阵分别为Aδ1∈Rn1×n1和Aδ2∈Rn2×n2,控制输入矩阵分别为Bδ12∈Rn1×m1和Bδ21∈Rn2×m2均为已知常值矩阵．

为使大系统协同稳定,首先根据子系统(1)、(2)构造状态反馈协同控制器[9,11]:

u12(tk)=Kδ12x2(tk),

(3)

u21(tk)=Kδ21x1(tk),

(4)

其中Kδ12∈Rm1×n2,Kδ21∈Rm2×n1是将要设计的状态反馈增益矩阵．

联立(1)—(4),可以得到闭环系统:

(5)

定义2[11]如果存在协同状态反馈控制器(3)—(4),使得闭环系统(5)渐近稳定,那么系统(1)—(2)就是协同状态反馈稳定的．

本文进一步考虑如下协同控制器性能指标[9]:

(6)

定义3如果存在协同状态反馈控制器(3)—(4),使得闭环系统(5)渐近稳定,并满足性能指标(6),那么子系统(1)—(2)就是协同状态反馈稳定,并具有性能J．

针对系统(1)—(2),求取Kδ12,Kδ21,使得协同控制器(3)—(4)作用下的闭环系统(5)渐近稳定的控制问题是协同状态反馈控制器设计的可行性问题．设计方法如文中定理1所示．

针对系统(1)—(2),求取Kδ12,Kδ21,使得协同控制器(3)—(4)作用下的闭环系统(5)渐近稳定,并满足性能指标J的控制问题是协同状态反馈控制器设计的优化问题．设计方法如文中定理2所示．

2 主要结论

2.1 协同控制器设计的可行性问题

定理1如果存在正定矩阵X11∈Rn1×n1,X22∈Rn2×n2,W11∈Rn1×n1,W22∈Rn2×n2和矩阵X12∈Rn1×n2,W12∈Rn1×n2,Y11∈Rm2×n1,Y12∈Rm2×n2,Y21∈Rm1×n1,Y22∈Rm1×n2,使得:

(7)

成立,其中

证明建立δ域的李雅普诺夫函数:

V(x(tk))=xT(tk)Px(tk).

(8)

结合引理1、李雅普诺夫函数(8)及表达式(5),可以得到:

δV(x(tk))=δT(x(tk))Px(tk)+

xT(tk)Pδ(x(tk))+TδT(x(tk))Pδ(x(tk))=

TδT(x(tk))Pδ(x(tk)).

(9)

(10)

将式(10)代入式(9)中可以得到:

(11)

由式(11)可知,δV(x(tk))<0 成立的充分必要条件是

(12)

(13)

根据引理2,上述矩阵不等式(13)成立等价于

(14)

将式(5)中的矩阵Aδ代入式(14),并令Kδ21X11=Y11,Kδ12X22=Y22得到

进一步可知,当上述线性矩阵不等式Σ<0时,式(12)也成立．进而

可知在x(tk)≠0时,下述不等式成立:

xT(tk+T)Px(tk+T)-xT(tk)Px(tk)<0．

(15)

这就是说李雅普诺夫函数xT(tk)Px(tk)在δ域中是严格减函数．因此可以得到

xT(tk)Px(tk)→0,k→0.

又因为矩阵P>0是一个常数矩阵,有

x(tk)→0,k→0．

由此可知,在线性矩阵不等式Σ<0成立的情况下,系统(1)—(2)是协同状态反馈稳定的．定理1得证．

2.2 协同控制器设计的性能优化问题

定理2如果存在正定矩阵X11∈Rn1×n1,X22∈Rn2×n2,W11∈Rn1×n1,W22∈Rn2×n2,Z11∈Rn1×n1,Z22∈Rn2×n2和矩阵X12∈Rn1×n2,W12∈Rn1×n2,Z12∈Rn1×n2,Y11∈Rm2×n1,Y12∈Rm2×n2,Y21∈Rm1×n1,Y22∈Rm1×n2,使得线性矩阵不等式:

(16)

成立,其中

J≤xT(t0)Px(t0)．

(17)

证明如定理1所示,取δ域上的李雅普诺夫函数为

V(x(tk))=xT(tk)Px(tk)．

结合式(9)与式(10),令