晶体结合能对晶格动力学性质的影响

陈凤良，樊维佳，周仕明，丘学鹏

(同济大学 物理科学与工程学院，上海 200092)

1 晶体结合能的一般性质

假设固体中晶体结合能为

(1)

其中r为最近邻原子之间的距离，n和m为正整数，且n>m，A和B为常数，且大于0.在平衡位置有

(2)

由此得到平衡时最近邻原子之间的距离为

(3)

此时，结合能最小值为

(4)

由于n>m，Umin<0.另外，得到

(5)

2 体弹性模量

按照体弹性模量定义有

(6)

(7)

其中V0为晶体体积.由此可见，体弹性模量与单位体积结合能成正比，与图1中实验结果相符.

图1 不同化学元素中体弹性模量与结合能成正比[6]，图中空心○代表晶体具有体心立方结构，实心三角形代表晶体具有面心立方结构或密排六方结构

3 最近邻原子之间的力常数

(8)

4 声速

根据晶格动力学理论，在长波近似下得到声速为

(9)

一维单原子链中a=r0，其中M为原子质量，a为晶格常数.

5 德拜频率

根据晶格动力学理论、德拜模型以及方程(9)，可得

(10)

简立方中横波、纵波相同.因此，结合能越高，其德拜频率越高.例如，对于范德瓦尔斯晶体(如Ar、Kr、Xe)，由于结合能和原子质量同步增加，所以它们的德拜频率基本相同[4].

6 熔点

(11)

(12)

很显然，晶体熔点与其结合能成正比，晶体结合能越高，晶体的熔化温度越高.例如，对于范德瓦尔斯晶体(Ne、Ar、Kr、Xe)，其熔点和晶体结合能近似成正比[4].

7 热膨胀系数

(13)

热膨胀系数为

(14)

(15)

图2 不同化学元素室温热膨胀系数与晶体熔点之间的关系[10]

综上所述，晶体力学性质和晶格动力学性质都可以用参数m、n以及晶体结合能表示.晶体结合能涤度影响晶体力学性质，如体弹性模量、热膨胀系数，而且影响晶格动力学性质，如色散关系、德拜频率、声速等.因此，在固体物理教学中将晶体结合能与晶格动力学性质有机结合起来，将有助于学生加深对这两部分内容的理解.