关于数学论文写作问题的问题之一—数学基础知识教学问题的论文分析

⦿山东沂南四中 李树臣

1 引言

任何数学知识都可以逻辑地分解为三大部分：数学概念、数学命题和数学论证.整个数学教材内容可以分为数学概念、数学命题和数学论证三大部分，数学教学在本质上也就是关于数学概念、数学命题和数学论证的教学.

数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式；数学中的定义、公理、公式、性质、法则、定理都是数学命题.这些都是用推理方法判断命题真假的依据；数学证明是在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出某些命题的过程.

数学教育教学最为基础的问题就是如何进行数学概念、数学命题和数学论证的教学.对这些基础知识的教学研究意义重大，这也是老师们最容易进行论文写作的“领域”，围绕基础知识进行教学研究的文章“接地气”，发表的概率也比较大.

2 数学概念教学问题

在数学教学中，教师必须向学生讲清楚概念，让学生明确概念的内涵和外延.学生能否把握概念的本质决定数学教学的效果.对数学概念教学的研究“永无止境”.

教师要明确数学概念的内涵与外延，掌握概念的本质，首先应“宏观”把握数学概念的分类、概念之间的关系及概念的定义方式，然后才能“微观”地进行具体数学概念的教学.

数学概念教学问题是广大一线教师教学过程中经常遇到的问题，也是数学教育教学研究专家研究的基础问题，随便打开一本数学教育教学杂志都能见到关于数学概念教学的文章.我们多年来重视对数学概念教学问题的思考与研究，发表了大量的研究成果.

这些成果中既有关于数学概念教学的理论性研究，如数学概念的分类、数学概念之间的关系、定义方式等，代表作有《论数学概念之间的关系》发表在《山东教育》2007年第6期，《浅谈数学概念的定义方式》发表在《山东教育》2007年第11期，《数学概念教学中的若干问题》发表在《山东教育》2008年第3期，同年被人大《初中数学教与学》第7期全文转载，《再谈数学概念教学中的若干问题》发表在《中学数学》(湖北)2011年第11期.也有关于具体概念教学的问题，如《研究新教材，教好函数概念》发表在《中学数学杂志》2006年第5期，《一元一次方程教学研究》发表在《中学数学杂志》2007年第6期，等等.

案例1数学概念教学中的若干问题.

为帮助教师更好地进行数学概念教学、教学研究以及论文写作，现把概念教学的一些核心观点简述如下.

2.1 正确认识数学概念教学的现状

我国数学教育界历来都十分重视数学概念课的教学，但由于受传统教育思想的影响，使得在进行数学概念教学过程中存在这样或那样的问题，直接影响着教育教学质量的提高.目前概念教学中存在的问题，主要有以下两种倾向：

一是在概念教学中过分重视定义的叙述，对定义是字字推敲、处处斟酌，不厌其烦地举正、反两方面的例子，并且要求学生熟读定义，熟记定义.

二是在概念教学中，不注意揭示概念的形成过程，只注重概念的应用.对于数学概念的引入过程重视不够，没有按照“问题情境—建立模型—求解验证”的过程展开，而是按照“定义+例题”的教学模式强“塞给”学生.这种教学导致学生不能理解和领悟结论的实质.长期接受这样训练的学生是没有创造性的.

2.2 明确数学概念的定义方式

数学概念是用定义来叙述的，定义是揭示概念内涵的逻辑方法.任何定义都由被定义项(Ds)、定义项(DP)和定义联项(是，叫做等)组成.如“两腰相等的梯形叫做等腰梯形”的被定义项是“等腰梯形”、定义项是“两腰相等的梯形”，这两项由“叫做”联在一起就构成了“等腰梯形”的上述定义.一个定义在撇开具体内容后所剩下的逻辑框架或结构模式，通常称为定义方式.熟悉不同概念的定义方式，是学习和研究数学的一个必备条件.在初中常用的定义方式有以下几种：

(1)属加种差定义.

给概念下定义，所采取的最常见、最直观和最基本的方式就是属加种差定义法.因为这种方式符合人们的认识规律，我们认识客观世界都是遵循从已知到未知，用已知解释未知，进而把未知变为已知这样一个往复循环，逐步深入的规律.另外，概念之间的属种关系是实际存在的.因此，如果属概念和其他概念是已知的，那么利用已知的属概念和其他已知的可用来表述种差的有关概念，来解释未知的种概念便成为可能.所以我们说属加种差定义是数学概念最普遍和最常用的一种定义方式.属加种差定义可以用下列公式表示：

邻近的属+种差=Ds.

(2)发生定义和派生定义.

发生定义是一种常见的特殊的属加种差定义方式.它是用一类事物产生或形成情况作为种差所作出的定义，即没有直接说明种差，而是把其放在一个动态的过程中，即发生定义是以概念的发生或形成的本质属性作为种差的定义.

派生定义也是一种特殊的属加种差定义方式，它既不像典型的属加种差定义，对被定义概念的内涵采取直接陈述的方式进行揭示，也不像发生定义那样把被定义概念的种差寓于被定义概念的“发生”或“形成”状况之中，而是采取这样一种模式：假设被定义概念存在典型的属加种差定义，那么将这个典型的属加种差定义所揭示出来被定义概念的内涵，用一个或几个由其导出且与之等价的属性取而代之所形成的定义，就是派生定义.

(3)关系定义.

关系定义是以概念的关系作为种差的定义.它指出的这种关系是被定义概念所具有而任何其他概念所不具有的特性.

从本质上讲，发生定义、派生定义及关系定义都属于属加种差定义的范畴，只是它们所选用的属概念和对种差的表述，采用了自己特定的形态，将种差寓于被定义概念的产生、形成以及与其他概念的相互关系之中.

(4)外延定义.

把属概念划分为它的种概念，这种揭示概念外延的逻辑方法，叫做对概念作分类.也可以说，概念的分类就是把概念所包含的所有单独概念，按照某个标准分别归属，从而弄清概念的适用范围的逻辑手段.通过对概念分类，列举出概念外延包括的全部对象，也可以间接揭示概念的内涵.从这个意义上讲，我们把揭示概念外延的分类结果，等价地叫做概念的外延定义，是合乎逻辑的.这就是说，相对于内涵定义方式，数学概念还存在它的外延定义方式，即外延定义法.

外延定义是通过列举概念的全部对象来下的定义.一般来说，如果某个属概念划分后所得的各个种概念都是已知的，那么可以用这些种概念来给这一属概念下外延定义.在外延定义中，Ds是属，而DP是Ds的诸邻近种概念的总和.

(5)否定式定义.

否定式定义就是用否定一个概念或其本质属性的方法来给另一个概念下定义.例如，平行线就是用否定式给出的：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.”教材中用否定式定义的概念并不多，但这种方式也是比较典型的定义方式.

(6)描述性定义和公理定义.

描述性定义就是采用直观地描述或与其他概念相类比的方法来阐述概念的意义.例如，对于“空间与图形”中最基本的概念——点、线、面、体，教材就是采用实物描述的方式给出的：天上一颗颗闪烁的星星给我们以“点”的形象；划过夜空的流星给我们以“点动成线”的形象；打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，给我们以“线动成面”的形象；当宾馆的旋转门转动时，给我们以“面动成体”的形象.再如，对于线段也是采用实物描述的方式给出的“拔河时，拉直的绳子，给我们一条线段的形象”.像这些没有属概念的数学原始概念，我们找不到能够用来定义它们的已有概念，因而是不能按照“属概念+种差”的基本公式给其以定义的概念，也叫做无定义概念.初中教材中涉及到的无定义概念还有数、量、自然数、值、运算、点、线段、直线、图形、平面、变换等.

公理定义方式，就是用公理来描述被定义概念的本质属性的定义方式.通过揭示关于无定义概念的公理，让学生从公理中细细琢磨体会概念所包含的意义，这种方式比较抽象，在初中一般不直接采用.在某些情况下，将其作为描述性定义的引申和辅助，也是有益的.例如，关于“直线”的公理“两点确定一条直线”对帮助学生体会直线的本质是有意义的.

(7)形式定义.

数学概念除去内涵定义和外延定义，还存在一类形式定义的方式.

例如，“函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)叫做二次函数”就是形式定义.这样的定义虽然能从其中分解出概念的内涵，按规则作外延分类，但又不是从内涵或外延出发而构造相应的模式，它的着眼点在于被定义概念的本质结构.

以上所述的各种定义方式，是从初中数学教材的实际出发，按照不同的分类标准，分别加以总结的.这些定义方式在外延上并不都是并列关系，所以对于同一个数学概念的定义在这些定义方式中的“座位”也不可能是唯一的.例如，“一元二次方程”这个概念可用属加种差的方式定义，也可用形式定义方式来定义.

2.3 把握数学概念教学的宏观策略

数学概念是一大类基础知识，对概念的教学，要明确概念教学的宏观策略：

(1)在思想上高度重视概念教学；

(2)注重数学概念的过程教学；

(3)在数学教学的各个环节都要“凸显”概念；

(4)明确概念教学的微观做法.

对于一个具体的数学概念，教学中要突出下面三个环节：

(1)概念的引入.

概念引入的常用方法有四种：

①用实际事例或实物、模型进行介绍；

②在学生原有的基础上引入新概念；

③从数学本身内在需要引入概念；

④采用类比的方式.

(2)概念的形成.

数学概念是人们在长期的生产实践中，从事物的本质出发总结出来的.学生通过概念引入阶段的学习已经对概念有了比较浅显的感性认识；通过概念形成阶段的学习，在学生透彻理解概念本质属性的基础上，用数学语言给出概念的定义.

①剖析概念的本质；

②讲清概念的定义；

③掌握概念的符号.

(3)概念的巩固和发展.

①巩固新概念；

②通过反例加深对概念的理解认识；

③加深概念之间的相互联系.

由于数学概念的种类繁多，关系复杂，其本质属性又各有千秋，从而形成了较多的定义方式.而对于用不同定义方式揭示其本质属性的数学概念，其教学的“程序”又不一样.

3 数学定理教学问题

教师们对数学定理、数学论证教学的研究下功夫较多，发表的成果也多.这方面的选题很多，可以是关于数学定理教学的“大”问题，如为促进学生推理能力的提高，从而不断提升学生的数学核心素养，笔者发表了下面一些关于加强数学推理训练的理论文章：

(1)《合情推理的教学与研究》发表于《教书育人》2003年第8期；

(2)《应重视合情推理的教学与研究》发表于《中学数学研究》2003年第9期;

(3)《推理及常用的基本推理形式》《数学推理中的分析法》发表于《山东教育》2001年第3期；

(4)《数学定理的教学应分三个阶段进行》发表在《中学数学杂志》2001年第6期；

(5)《深入研究课程标准，加强推理能力的训练》发表在《中学数学杂志》2010年第6期.

对于定理的教学，我们面对的往往是关于一个具体定理的教学问题，例如，笔者发表在核心期刊《中学数学教学参考》1998年的第11期上的关于《圆幂定理的教学设想》就是典型的代表.

案例2圆幂定理教学设想.

我们在“和圆有关的比例线段”这一节中 ,学习了相交弦定理、切割线定理及其推论(可称为割线定理).这三个定理常称为圆幂定理.圆幂定理的教学教师要突出以下三点.

3.1 让学生明确切割线是统一的

图1

我们知道圆的割线是与圆有两个交点的一条直线，而圆的切线是与圆只有一个交点的一条直线.如图1，直线PAB就是一条割线，PT就是一条切线.

在图1中，当割线PAB按箭头方向绕P点旋转(教师一定要设法演示这一过程)时，只要这条直线与圆有两个交点，它就仍然是一条割线.例如图1中的PA1B1还是一条割线.当旋转到A，B两点重合时，直线与圆就只有一个交点了.这时直线的“质”发生了变化：由割线变成了切线.所以我们说圆的切线是割线的一种特殊情况.

这种设计的目的是让学生体会“切割线”的关系：切线是割线的一种特殊情况，在割线的运动过程中，一旦与圆的交点由“两个”变为一个，直线的“性质”就发生了变化.让学生感悟到量变能引起质变的规律.

3.2 从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认知定理

圆幂三个定理之间的关系如图2所示.

图2

在教学中，要通过直观演示引导学生认识上述三个定理的“统一性”.

3.3 启发学生理解定理的实质

启发学生回答点与圆的三种位置关系，然后针对每一种情况分别讨论定理的实质，最后将其统一叙述为：

若过定点P作一动直线与定圆⊙O(其半径是R)交于A，B两点，设定点P到圆心O的距离为d，则PA·PB=|d2-R2|，常数|d2-R2|叫作定点P对定圆O的幂，这个结论就是圆幂定理.

4 数学命题教学问题

近年来，关于数学概念和数学论证的研究较多，而对数学命题讨论的则比较少，因此对数学命题教学进行探究意义重大.中学数学命题教学的基本要求是：使学生深刻理解数学命题的意义，明确其推导过程与适用范围，并灵活运用数学命题解决有关问题.

案例3数学命题教学宜分三步进行.

笔者的《数学命题教学宜分三步进行》发表在为数不多的数学核心期刊《数学通报》2003年第10期上.目前很多老师觉得在核心期刊上发表文章难，笔者的观点是“只要下了功夫，就不难”.《数学命题教学宜分三步进行》的主要观点如下：

4.1 合理引入数学命题

(1)发现式实践引入；

(2)用观察、归纳的方法引入；

(3)根据实际的需要引入；

(4)由“矛盾”引入命题.

4.2 正确理解和证明命题

命题引入后，教学的重点应转向引导学生对命题的条件、结论进行剖析，探讨其证明思路.在教学中主要搞清楚以下三个问题：

(1)切实分清命题的已知条件和结论；

(2)正确分析命题的证明思路，让学生掌握证明的方法；

(3)注意命题的多种证法.

4.3 加强命题的应用教学

数学中的定理、公式、法则等都是包摄程度较高的命题，应用它们可以解决众多的数学问题.命题的应用教学是命题教学中必不可缺少的重要一环.

5 数学解题教学问题

数学教学中，解题是一个重要部分，关于数学解题教学的问题，老师们最有发言权，可以写很多文章.例如，笔者写的《初中数学中常用的解题策略》就发表在《中学数学杂志》2002年第1期，后被人大2002年第10期全文转载.

案例4初中数学中常用的解题策略.

著名的数学教育家波利亚曾指出：“掌握数学就意味着解题.”数学教学的一个很重要的任务，就是教学生学习如何解数学题，教学生学会“数学思维.”学数学，就要解数学题，数学解题学习对学生巩固知识、培养素质、发展能力和促进个性心理发展都具有极其重要的作用和意义.数学教学必须教给学生一定的常用的解题策略.初中学生常用的解题策略有：

(1)枚举法；(2)模式识别法；(3)变更问题法；(4)中途点法；(5)以退求进法；(6)先进再退法；(7)正难则反法；(8)从整体看问题法.

数学习题的解题策略，远不止以上八种，这里介绍的仅是学习中常用的策略.另外，各种策略之间也不是完全孤立的，而是相互关联.因此，在学习中，要指导同学们学会综合、合理地运用它们，以达迅速、准确解题的目的.实践证明，在教学中，指导学生加强对解题策略的研究、总结，有利于提高学生分析问题、解决问题的能力，能促进学生的数学认知结构不断优化与发展，这对于促进学生素质的提高具有重要的理论价值和实践意义.Z