带落速落角约束的高超声速飞行器俯冲轨迹规划方法

梁子璇,黄美伊,冉宇寰,朱圣英

(1. 北京理工大学深空探测技术研究所,北京 100081；2. 深空自主导航与控制工信部重点实验室,北京 100081)

0 引 言

高超声速飞行器凭借其飞行速度高、飞行空域广、突防能力强的特点,已经成为近年来航空航天领域的研究热点。按轨迹/弹道特点的不同,高超声速飞行器通常可以分为滑翔式与巡航式。对于两类飞行器,俯冲段的精确制导都是完成打击任务的关键。在未来复杂多变的作战环境下,离线设计的俯冲轨迹适应性较差,无法保证俯冲段的打击效果。因此,针对多约束条件下高超声速飞行器俯冲段,亟需发展具备在线轨迹规划能力的制导技术。

作为打击任务的最末段,俯冲段要求飞行器在有限的气动力控制下完成待飞航程,并且准确命中目标点。同时,为了保证对目标的打击效果,俯冲段轨迹还需满足一定的落角和落速约束。对于飞行速度高、控制能力弱的高超声速飞行器,复杂的约束使得俯冲段制导问题极具挑战。针对高超声速飞行器的俯冲段制导问题,现有研究多侧重于落角约束的满足。Lu等设计了一种比例导引参数自适应调整的末制导律,可实现飞行器以固定落角命中目标；在此基础上,李惠峰等通过对制导参数进行自适应调整,提升了落点与落角控制精度。考虑俯冲段的机动突防需求,文献[8]和[9]分别基于正弦视线角曲线和螺旋机动轨迹设计了制导方法,在保证落角约束的同时,兼顾了飞行器的突防性能。针对初始条件和气动参数等扰动,文献[10]和[11]基于滑模控制理论设计了俯冲段制导方法,提升了扰动条件下的制导精度。考虑飞行器的姿态动力学,文献[12-14]通过建立分通道模型、低阶非线性系统模型等方法,简化了六自由度制导控制系统的设计过程,并提出了具有鲁棒性的制导控制一体化方法。以上方法虽然实现了较好的落角控制,但并未考虑落速约束,使得终端速度散布较大,一定程度上将影响高超声速飞行器的打击效果。

对于高超声速飞行器而言,考虑到弹头结构约束和战斗部最佳毁伤效果,一般存在最优终端速度或速度区间。为实现最优落速的控制,可以在俯冲段轨迹规划中同时考虑落速与落角约束。针对带落速下限约束的轨迹规划问题,徐明亮等采用高斯伪谱法对俯冲段轨迹进行了优化；杨良等分析了高斯伪谱法的节点选取对轨迹优化精度及效率的影响,为提升高斯伪谱法的计算效率提供了依据。此外,针对以落速最大为目标函数的轨迹优化问题,文献[17]和[18]分别利用凸优化方法与深度神经网络学习理论进行了求解。这些方法主要将落速考虑为不等式约束或优化指标,能够得到期望的俯冲轨迹,但优化问题的求解耗时较长,难以满足在线规划需求。孙未蒙等在落角约束的基础上,结合自适应梯度下降法与模糊模型对落速进行了补偿控制,能够在一定程度上调节飞行速度,但无法精确控制落速。

本文针对高超声速飞行器俯冲段轨迹规划问题,同时考虑落速与落角约束,提出一种快速轨迹规划方法。首先,建立了两段式轨迹规划策略,将飞行过程分为速度调节段与落角控制段。前段引入参数化的控制剖面,使飞行器具有速度调节能力；后者则采用传统的偏置比例导引律,以满足落角约束。在此基础上,为实现落速精确控制并提升规划效率,将控制剖面的参数选取分解为离线多参数优化与在线单参数搜索两部分依次设计。最后,对所提出的轨迹规划方法进行了仿真,验证了其实时性、鲁棒性和任务适应性。

1 动力学及约束模型

在俯冲段,飞行器的机动主要体现在纵向平面内,因此本文仅考虑纵向平面内的轨迹规划问题。以俯冲段飞行器质心初始位置在地面上的投影点为原点建立地面固联坐标系,其中轴由原点指向俯冲段目标点,轴由原点指向飞行器质心初始位置。定义飞行器状态变量

=[,,,]

(1)

式中：为航程,表示飞行器质心在轴上的坐标；为高度,表示飞行器质心在轴上的坐标；为速度大小；为弹道倾角。

飞行器动力学模型为

(2)

式中：,分别为飞行器受到的气动升力、阻力；为飞行器质量,由于俯冲段为无动力(推力)飞行,为常数；为重力加速度。

对于俯冲段轨迹规划问题,飞行器状态变量受到的终端约束为

(3)

式中：为俯冲段终端时刻,一般不做约束；,,,分别为期望的终端航程、高度、速度与弹道倾角。一般以终端高度() =作为俯冲段终止条件。

考虑到飞行器控制能力限制,攻角在飞行过程中受到如下约束

(4)

此外,考虑到结构安全,飞行器过载受到如下约束

||≤

(5)

式中：为过载最大值。

2 轨迹规划方法

2.1 两段式轨迹规划策略

针对带有落速与落角约束的高超声速飞行器俯冲轨迹规划问题,采用两段式规划策略：第一段为速度调节段,通过调整参数化控制剖面改变飞行速度,进而控制落速；第二段为落角控制段,采用带落角约束的导引律实现落角与落点控制。在该策略下,攻角指令可以写为

(6)

式中：为时间,以进入俯冲段为起点；为速度调节段与落角控制段的切换时刻；()为参数化的攻角剖面曲线,对应速度调节段；()为落角控制段的攻角指令,可由法向加速度反解得到。

带落角约束的导引律有多种形式,本文采用文献[19]设计的偏置比例导引律,其基本思想是在比例导引律的基础上增加落角偏差的修正项,并根据待飞时间进行加权,相应的法向加速度为

(7)

式中：为比例系数；为目标视线角；为待飞时间,近似计算公式为

(8)

需要注意,本文研究的俯冲段轨迹不考虑终端时间约束,因此,采用式(8)给出的近似公式即可满足落点与落角控制需求。

为满足过载约束,攻角指令还需进行如下处理：

(9)

2.2 参数化控制剖面设计

为减少设计参数,将速度调节段的攻角曲线()设计为“常值-斜坡-常值”形式的参数化控制剖面,如图1所示。攻角在[0,]内为常值,在(,]内为斜坡,在(,]内为常值,表达式为

图1 参数化攻角剖面Fig.1 Parameterized angle of attack profile

(10)

式中：与为攻角参数,且一正一负；,,为时间参数。这样,通过调节时间参数与可以改变正、负攻角持续时间的比例,进而影响飞行轨迹与速度。

进入落角控制段后,偏置比例导引律将首先采用正攻角以满足垂直打击的落角约束。因此,为避免两段切换时攻角的剧烈变化,采用“负常值-斜坡-正常值”攻角剖面曲线,即<0,>0。

进一步,为满足式(4)中的攻角约束,将式(10)中(,]内的斜坡进行圆弧光滑处理,得到光滑的攻角剖面曲线

(11)

=+4Δ

(12)

式中：

(13)

于是,控制剖面设计转化为攻角参数,与时间参数,的确定。俯冲段轨迹规划时,一方面要具备较快的求解速度,以满足在线规划的实时性需求；另一方面,需对初始条件具有较好的鲁棒性,即应尽可能适应更大范围的初始扰动。综合以上两点考虑,控制剖面的参数确定方案如下：

1) 离线优化攻角参数,与时间参数。定义可行初始位置,并以其范围大小作为优化指标,通过求解优化问题确定参数,与。

2)在线搜索时间参数。在确定离线参数,,的基础上,通过求解单参数搜索问题确定满足各项约束的参数及相应的俯冲轨迹。

需要指出,俯冲段初始条件涉及与初始位置相关的高度和航程,也涉及到速度和弹道倾角等其他状态量。为简化设计,本文用可行初始位置范围的大小近似表征攻角剖面对初始状态扰动的适应能力。由于各初始状态量对俯冲轨迹的影响是耦合的,根据初始位置扰动适应能力设计出的攻角剖面也将对速度、弹道倾角等其他状态量的扰动具有一定的鲁棒性。

2.3 离线多参数优化

定义可行初始位置：对于某一组待优化参数,与,若存在时间参数,使得相应控制剖面下的俯冲轨迹能够满足各项约束,则该轨迹的初始点位置即为可行初始位置。进一步,以标称情况下初始点为基准点的四边形面积近似表征可行初始位置范围的大小,如图2所示。,,,分别表示从点开始,沿轴正向、轴负向、轴正向、轴负向的最远可行初始位置。

图2 俯冲段可行初始位置范围示意图Fig.2 Diagram of feasible zone for initial position of diving phase

设四边形面积为,建立优化目标函数

||)(||+||)

(14)

以函数式(14)为优化目标,以动力学模型式(2)、攻角约束式(4)、过载约束式(5)为过程约束,结合终端状态约束式(3),共同构成了攻角参数,与时间参数的优化问题如下

(15)

(16)

式中：为俯冲段时间上边界,可取= (-)/。

2.4 在线单参数搜索

需要注意,时间参数除影响落速之外,还可能影响俯冲段的落点与落角。当取值过大时,飞行器速度损失严重以致无法到达目标点,即产生较大的负向落点偏差,并伴随落角偏差；取值过小时,飞行器会因速度过高而落点超过目标点,即产生较大的正向落点偏差,并伴随落角偏差。因此,只有当在合理区间内取值时,偏置比例导引律才能保证落点与落角的控制精度。于是,单参数搜索问题可以描述为：搜索使得落速偏差最小,且落点和落角偏差为零(或可接受),数学表达式如下：

(17)

事实上,在偏置比例导引律作用下,落点和落角约束同时满足或不满足,且俯冲段对落角的容忍偏差相对更大。因此,搜索时只需保证落点约束即可。落速偏差Δ与落点偏差Δ随的变化关系如图3所示。图中,为速度偏差曲线的零点,[,]为落点偏差为零的区间。因此,优化问题(17)的解为

图3 落速与落点偏差随t1的变化曲线Fig.3 Terminal velocity and position errors changed with t1

(18)

由于无法获得Δ()与Δ()的解析函数,故式(18)中的,,无法直接得到。为求解带约束的单参数搜索问题,引入关于落点偏差的罚函数

(19)

式中：为落点偏差可接受范围；为罚因子。为优先保证落点约束的满足,罚因子设计如下

=max{-,-0}

(20)

式中：为飞行器速度上边界,可根据动能定理近似计算

(21)

引入罚函数后得到新的优化目标函数

()=|()-|+(Δ,)

(22)

该单参数优化问题可通过割线法求解,迭代过程如下

(23)

需要注意,当式(22)存在零点时,可以得到满足落速、落点、落角约束的俯冲轨迹；当不存在零点时,则得到次优解,即落速偏差最小且满足落点与落角约束的俯冲轨迹。

3 仿真分析

在PC机(CPU：2.9 GHz)的Matlab环境下,对高超声速飞行器俯冲轨迹规划方法进行仿真校验。飞行器气动参数参考文献[20],标称情况下,俯冲段初始与终端条件见表1。

表1 标称初始与终端条件Table 1 Nominal initial and terminal conditions

3.1 标称情况仿真

图4 俯冲段可行初始位置范围Fig.4 Feasible zone for initial position of diving phase

得到离线优化的参数后,对时间参数进行快速搜索,得到标称情况下的多约束俯冲轨迹,如图5所示。飞行器准确地命中了目标点,终端位置偏差为0.15 m；通过调整飞行高度,实现了垂直俯冲的落角控制,落角(终端弹道倾角)为-89.80°。飞行器的速度曲线如图6所示,落速为900.09 m/s,实现了对落速的精确控制。

图5 标称情况俯冲轨迹Fig.5 Diving trajectory in nominal case

图6 标称情况速度曲线Fig.6 Velocity in nominal case

图7 标称情况攻角与过载曲线Fig.7 Angle of attack and overload in nominal case

3.2 扰动情况仿真

实际任务中,飞行器进入俯冲段时位置和速度均可能存在偏差。假设俯冲段初始高度、速度、航程、弹道倾角均服从正态分布,且三倍标准差分别为3 km、 100 m/s、 30 km、 2°。采用蒙特卡洛方法对扰动情况下的轨迹规划方法进行仿真。仿真次数设定为500,规划得到的俯冲轨迹如图8所示。不难看出,在较大的初始状态散布下,飞行器均能通过调整俯冲轨迹实现目标点的精确命中,最大落点偏差为0.22 m。图9给出了俯冲轨迹的落速-落角散布情况,落速偏差在± 3 m/s以内,落角偏差在±0.5°以内,均达到了较高的控制精度。图10为飞行器的过载曲线,所有轨迹的最大过载均满足不大于15 的约束限制。因此,蒙特卡洛仿真结果表明,所提出的轨迹规划方法虽然在优化攻角剖面时仅考虑了初始位置的适应能力,但对初始位置和速度扰动均具有较好的鲁棒性。

图8 扰动情况俯冲轨迹Fig.8 Diving trajectories in dispersed cases

图9 扰动情况落速-落角分布Fig.9 Terminal velocities and impact angles in dispersed cases

图10 扰动情况轨迹过载曲线Fig.10 Overload for trajectories in dispersed cases

3.3 规划效率分析

考虑在线使用需求,对所提出的轨迹规划方法运算效率进行评估。蒙特卡洛仿真中,在线求解时间参数时,每条轨迹平均迭代1.67次,最大迭代5次；Matlab环境下,每条轨迹规划平均耗时0.51 s,最大耗时为1.37 s。事实上,在C++环境下,轨迹规划的耗时还可以大幅缩短。因此,统计结果表明,所提出的轨迹规划方法求解效率高,具有在线使用的潜能。

3.4 可行初始位置范围分析

攻角控制剖面的离线参数优化,旨在提升轨迹规划方法对飞行器初始位置的适应能力,以可行初始位置的范围大小作为优化目标,并以四边形面积近似表征其大小。为验证该表征方式的合理性,在标称初始位置附近生成采样点,依次判断其作为初始位置的可行性,结果如图11所示。可以看出,四边形内的点均可行；四边形外的左上方,由于初始高度越大(初始速度不变),能量越大,允许的初始航程也越小,故该方向上的实际可行范围不是封闭的；四边形外的其他方向,虽然实际可行范围略大,但趋势基本吻合。因此,结果表明,在优化攻角控制剖面的参数时,采用四边形面积近似表征可行初始位置的范围大小是合理的。

图11 初始位置采样评估结果Fig.11 Evaluation results for sampling points of initial position

3.5 任务适应性分析

本文所提出的轨迹规划方法包括离线参数优化和在线参数搜索两部分。当离线参数确定后,在线调整时间参数不仅能够抑制初始扰动偏差,还能应用于不同落速与落角约束的飞行任务。图12给出了落速约束分为800 m/s、900 m/s、1000 m/s所对应的俯冲轨迹,实际落速偏差不超过± 3 m/s。飞行器主要通过控制速度调节段来满足落速约束,故三条轨迹在前半段呈现出较大差异。终端速度越小,速度调节段的负攻角时间越长,使得俯冲轨迹前半段的高度下降越多。由于落角约束不变,三条轨迹在后半段趋于重合。图13给出了落角约束分别为-80°、-85°、-90°所对应的俯冲轨迹,实际落角偏差不超过± 0.2°。与图12中的结果相反,三条俯冲轨迹前半段几乎重合,而后半段区分度较强,这是由于落角约束主要通过落角控制段来满足。综上,仿真结果表明,所提出的轨迹规划方法对不同落速与落角约束的飞行任务具有较好的适应性。

图12 不同落速约束下的俯冲轨迹Fig.12 Diving trajectories with various terminal velocities

图13 不同落角约束下的俯冲轨迹Fig.13 Diving trajectories with various impact angles

4 结 论

本文针对带落速与落角约束的高超声速飞行器俯冲段轨迹规划问题,提出了一种“参数化控制剖面+偏置比例导引”的两段式轨迹规划方法。将控制剖面的参数设计分解为离线与在线两部分：通过离线优化部分参数,提高了控制剖面对俯冲段初始状态偏差的鲁棒性；通过在线求解唯一的时间参数,提升了轨迹规划效率。仿真结果表明,该方法能够得到满足落速与落角约束的俯冲段轨迹,对初始状态偏差具有较好的鲁棒性,并适用于不同落速与落角约束的飞行任务；同时,该方法求解俯冲轨迹时的迭代次数不超过5次,具备在线轨迹规划能力。