基于晶体相场法研究缺口形貌对微裂纹扩展连通的影响★

马文婧，王 进，吕美妮，张宏泽，刘骏晨，张 森，李钊良

（1.广西机器视觉与智能控制重点实验室，广西 梧州 543002；2.梧州学院电子与信息工程学院，广西 梧州 543002）

本文采用基于经典密度泛函理论的晶体相场方法研究不同缺口区域形貌对金属微互连结构界面微裂纹扩展过程中连通行为的影响，主要研究初始缺口区域形貌为双正方形和初始缺口区域形貌为双矩形对微裂纹扩展连通过程中扩展形貌和扩展面积等的影响[1-3]；讨论金属微互连结构界面微裂纹扩展连通过程中的原子间距和原子波动周期受初始缺口区域形貌的影响。

1 计算原理

模拟过程用与时间相关的Cahn-Hilliard动力学方程描述保守的原子密度场变量：

该方程中，F表示自由能函数，ψ表示原子密度，γ表示系统过冷度，∇2为Laplace算子，t表示时间，ζ是随机热噪声项，由于噪声项的影响对本研究而言很小，可予以忽略。采用Euler迭代的数值求解方法对该动力学方程式进行求解。在求解过程中，对∇2的求解只考虑到次近邻格点来保证数值的稳定性。不同初始缺口区域形貌情况下应改变施加方式：第一种为放大的正方形初始缺口（空位聚集）区域形貌，第二种为放大的矩形初始缺口（空位聚集）区域形貌。因为应力施加导致模拟区域发生形变，形变过程中原子密度函数表达式将发生相应的变化。

本文所有物理参数均已进行无量纲化处理，模拟区域设置为512Δx×512Δy的四方格子网络（也称之为512×512 gp（grid point）表示一个Δx×Δy的格点）。形变前后体系动力学方程保持一致，时间步长设置为Δt=0.05，空间步长设置为Δx=Δy=π/3，晶粒取向角为15.0°，采用周期性边界条件进行模拟。采用分布在区域中位线的两端的初始缺口区域形貌进行研究，形貌均为正方形（或者同时均为矩形），且正方形和矩形的面积相等[4-5]。

2 模拟结果与分析

2.1 金属微互连结构界面微裂纹扩展的微观组织分析

下页图1为两种不同初始缺口区域形貌情况下微裂纹扩展连通过程的微观组织形貌演化图。模拟初始设置无量纲化处理后的温度为-1.0。从图1中可以看出，随着演化时间的增加，金属微互连结构界面微裂纹逐渐开始扩展生长，生长过程中主裂纹不断长大；同时随着演化时间的增加，与主裂纹并不连通的二次微裂纹和三次微裂纹逐渐出现在主裂纹周围，并随着演化时间的增加逐渐扩展生长，在演化后期逐渐和主裂纹连通。

对初始缺口区域形貌为正方形的微裂纹的扩展过程进行分析。当演化时间t=2.0×105时，主裂纹就已经开始进行连通生长，而且微裂纹扩展连通的地方呈现阶梯状，且微裂纹扩展连通的地方有新的微裂纹出现，究其原因则是由于微裂纹扩展连通过程中原子的排列不均导致的。

对初始缺口区域形貌为矩形的微裂纹扩展连通过程进行分析。经历相同的演化时间（t=2.0×105），主裂纹还未出现微裂纹的连通生长，就已经有大量的二次微裂纹和三次微裂纹出现；主裂纹扩展长度明显小于初始缺口形貌为正方形的主裂纹扩展长度。

从图1中可以看出，在模拟区域中，无论初始缺口区域形貌为矩形还是正方形，整个演化过程中主裂纹扩展生长呈现阶梯状，无平滑的微裂纹扩展边缘，整个微裂纹扩展连通的状态呈“树枝状”扩展。对比图1（a1）和（b1）、（a2）和（b2）、（a3）和（b3）、（a4）和（b4）中可以看出，相同演化时间情况下，初始缺口区域形貌为矩形的，由于长宽比不同，微裂纹扩展过程中有大量的二次微裂纹和三次微裂纹出现，同时在主裂纹周围分布大量和主裂纹并不连通的小裂纹，在图1（b4）中尤为明显。而初始缺口形貌为正方形的微裂纹扩展过程中，以主裂纹扩展生长为主，在主裂纹周围分布少量的二次裂纹和三次裂纹，扩展速率明显大于初始缺口形貌为矩形的微裂纹扩展。

图1 微裂纹扩展的微观形貌

2.2 金属微互连结构界面微裂纹扩展连通过程微观组织的动力学分析

如图2所示为微裂纹扩展面积占总面积的百分比随演化时间之间的关系。从图2中可以看出，随着演化时间的增加，初始缺口区域形貌为正方形和初始缺口区域形貌为矩形的微裂纹扩展面积占总面积的百分比逐渐增大。相同演化时间条件下，初始缺口区域形貌为正方形的微裂纹在扩展过程中所占面积百分比比初始缺口区域形貌为矩形的微裂纹扩展面积百分比大。说明初始缺口区域形貌为正方形的微裂纹扩展得更快，而初始缺口区域为矩形的微裂纹扩展生长速度明显比初始缺口区域为正方形的微裂纹扩展生长缓慢，虽然初始缺口区域形貌为矩形的微裂纹扩展过程中有大量的二次微裂纹和三次微裂纹，但是扩展面积占总面积的百分比依然低于初始缺口区域形貌为正方形的微裂纹扩展，与图1中反映的生长规律一致。

图2 微裂纹扩展面积随时间的变化关系

两种不同初始缺口区域形貌下主裂纹扩展面积占整个微裂纹扩展面积的百分比如图3所示。从图3中可以看出，随着演化时间的增加，初始缺口区域形貌为正方形和初始缺口区域形貌为矩形的主裂纹扩展面积占总扩展面积的百分比逐渐增大。演化初期，由于初始缺口区域面积相同，主裂纹扩展生长的百分比近似相等，但是随着演化时间的增加，初始缺口区域形貌为正方形的主裂纹在扩展过程中所占面积百分比明显大于初始缺口区域形貌为矩形的主裂纹在扩展过程中所占面积比。结合图2可以看出，微裂纹扩展生长主要以主裂纹扩展生长为主，无论初始缺口区域形貌为正方形还是初始缺口区域形貌为矩形，只要扩展生长过程中主裂纹扩展生长较快，演化后期整个微裂纹扩展面积就相对较大。

图3 主裂纹扩展面积与随时间的变化关系

两种不同初始缺口区域形貌情况下（即图1中直线AB和CD处）微裂纹扩展过程中的原子密度分布，表示的是原子间距在不同初始缺口区域形貌情况下随位置的变化关系。由此看出原子按照一定的周期整齐排列，放大后再观察发现，无论初始缺口区域形貌为正方形还是初始缺口区域形貌为矩形，原子排列周期相同，原子间距无明显的变化，说明微裂纹扩展过程中，原子按照一定的规则均匀整齐的排列，即改变初始缺口区域形貌并不改变原子间距和原子波动周期，也就是说初始缺口形貌的改变对原子间距和原子波动周期无影响。

3 结论

1）初始缺口区域形貌为正方形和初始缺口区域形貌为矩形的微裂纹扩展过程，随着演化时间的增加，均呈“树枝状”扩展。

2）相同演化时间情况下，微裂纹扩展过程中有大量的二次微裂纹和三次微裂纹出现，初始缺口区域形貌为矩形的主裂纹周围分布的与主裂纹并不连通的二次微裂纹和三次微裂纹数量明显高于初始缺口区域形貌为正方形的主裂纹周围分布的微裂纹数量。

3）随着演化时间的增加，微裂纹扩展连通过程中微裂纹扩展面积占总面积的百分比逐渐增加；初始缺口区域形貌为正方形的微裂纹扩展过程中扩展面积占总面积的百分比和主裂纹扩展面积占总扩展面积的百分比均高于初始缺口区域形貌为矩形的微裂纹扩展过程中扩展面积占总面积的百分比和主裂纹扩展面积占总扩展面积的百分比。

4）初始缺口区域形貌的改变并不会引起原子间距和原子波动周期的改变。