新型三平移2PPPa并联机构运动学分析与优化设计

彭红梅， 陈亚，陆彩满，刘艳梨，吴洪涛

(1.江苏安全技术职业学院机械工程系，江苏徐州 221011；2.南京航空航天大学机电学院，江苏南京 210016)

0 前言

少自由度并联机构因具有结构简单、制造成本低、控制容易、实用性强的特点，一直是并联机器人领域的研究热点。与六自由度并联机器人机构相比，少自由度并联机构具有更高的实际工程应用价值。应用最广泛的空间三维纯移动并联机构是Delta机器人。Delta机器人成功应用于并联机床、工业分拣、3D打印等众多领域。

国内外学者针对三维纯移动并联机构研究内容主要包括运动学分析、动力学分析、控制设计、构型综合、尺度综合、性能分析等。文献[5]中对一种T形轴铰链Delta三平动并联机构进行系统研究，根据最小支路位移参数特性综合出一批三维纯移动的并联机构，优选出一种新型T形轴铰链的Delta并联机器人机构，同时建立机构运动学模型和速度模型。文献[6]中提出基于灵巧性的一种新型3-PUU并联机器人，根据运动学方程计算得到机构运动学逆解与机构速度雅克比矩阵，基于运动灵巧性进行尺度综合分析，优化后得到的设计参数为构型设计提供理论参考依据。文献[7]中提出一种三平动非对称冗余驱动(3-S2PS )并联机床机构，建立运动学方程；基于此，利用边界数值搜索法分析工作空间，利用曲线拟合的方法确定杆长和动平台的位置姿态关系。文献[8]中设计三维纯移动的并联机器人机构，根据单开链验证其运动特性，计算其位置分析的正、逆解析解，同时分析机构的输入输出运动解耦性。文献[9]中基于机器人机构结构综合理论设计三自由度正交并联机器人机构，并建立运动学方程模型得到运动正解、逆解解析式。文献[10]中为解决并联机构耦合所带来的控制困难，设计一种新型具有三维移动解耦、运动副简单且完全各向同性的三维移动并联机构，支链呈正交对称分布，通过螺旋理论验证机构的运动性质和自由度，推导出运动学方程正逆解解析式，最后分析机构的工作空间、灵巧度等操作性能。文献[11]中提出一种新型的2RRPaR+PPaP三维纯移动并联机构，基于运动特性和结构设计完成位置运动学分析，同时兼顾工作空间和全局灵巧度的优化目标，选择差分进化算法搜索得到最优化参数，通过算例分析验证优化算法的可靠性。

以拓扑结构综合理论作为理论依据，设计一种结构简单、构型对称、运动解耦的空间三平移并联机器人机构，利用结构布置特点建立运动学方程模型，推导得到运动学正逆解解析式，采用数值搜索法三维可视化分析操作空间性能；同时在研究机构奇异性的基础上，研究工作空间内的全局灵巧度，并绘制灵巧度性能图谱；根据实际设计需求，选择萤火虫算法实现机构的结构参数优化设计，并根据优化后的最优参数值进行算例分析，验证算法的有效性。

1 并联机构结构分析

1.1 机构设计

对称2PPPa并联机构结构简图和三维模型分别如图 1、图2 所示，机构由两条完全相同且对称分布的支链构成，支链结构1⊥2⊥(=1,2)， 其中表示移动副，表示平行四边形机构，且要求1与2移动方向互相垂直。移动副1与2为机构的主动副，因此，机构存在4个主动副，设定主动副的位移表示为(,,,)，静平台的内切圆半径用表示，动平台内切圆半径半径用表示，平行四边形的长边杆长用表示，短边长用表示，另外平行四边形的长边杆和短边杆构成的夹角为。

图1 机构的结构简图 图2 机构的三维模型

1.2 机构的拓扑特性分析

对称2PPPa并联机构支链拓扑结构为1⊥2⊥(=1,2)，利用方位特征方程分析理论计算每条支链方位特征集b：

(1)

(1)支链1、2构成独立运动回路，构成的位移方程数

(2)

(2)并联机构的POC集

(3)

(3)计算机构的自由度：

(4)

(4)支链的约束度分析，独立回路的独立位移方程数为3，根据机构结构设计，主动副和任何时候都必须相同，因此主动副数目为3，因此，SOC的约束度

(5)

计算得到2PPPa并联机构耦合度：

(6)

根据拓扑结构分析可得：机构的自由度为3且能实现空间纯移动，机构的耦合度为0，机构运动具有完全解耦合性，机构的运动学正解分析相对简单，且存在表达式，因此，机构的控制设计、动力学分析相对较简单。

2 位置分析

2.1 位置正解分析

已知机构主动副(,,,)，计算得到机构的位置输出 (,,)。根据动平台的位置输出(,,)，根据平移转换原理，得到坐标(-,,)、(+,,)。已知的坐标为(-,,0)、(,,0)。同理得到的坐标(-,,)、(,,)。根据平行四边形的杆长及其夹角，得到坐标[-+sin(),,-cos()]、[-sin(),,-cos()]。根据的两种不同的坐标表达式联立方程，得到如下等式：

(7)

整合上述等式，推导得到机构的正解表达式：

(8)

2.2 位置逆解分析

机构的逆解计算利用等式(7)进行推导，推导公式如下：

(9)

3 奇异分析

3.1 机构雅克比矩阵

(10)

(11)

其中:为逆雅克比矩阵;为正雅克比矩阵。

若非奇异，则

(12)

若非奇异，则

(13)

3.2 逆解奇异性分析

机构逆解奇异条件为

(14)

令det()=0，即=或=，因此，存在以下两种情况:情况一，支链1的平行四边形长边杆与静平台平行，此情况如图3(a)所示；情况二，支链2的平行四边形长边杆与静平台平行，此情况如图3(b)所示。运动过程中应避免运动到极限位置，即工作空间边界位置。

图3 机构逆解奇异

3.3 正解奇异性分析

(15)

正解奇异满足条件如等式(15)所示，det()=(-)(-)=0，令det()=0的条件是=或{=0,+=2}。情况一：=，支链1驱动副()位移和支链2驱动副()移动位移相同，如图4(a)所示。情况二： {=0,+=2}，此情况下支链1位移和支链2驱动副移动位移关于动平台对称，如图4(b)所示。

图4 机构正解奇异

4 工作空间分析

4.1 工作空间约束条件

工作空间作为衡量并联机构操作性能优劣的重要性能指标，一般在利用机构运动学逆解分析的基础上采用数值法可视化分析形状和大小。机构的工作空间约束条件如下所示：

(16)

4.2 工作空间可视化分析

在上一节逆解分析基础上，选择极限搜索法对机构的工作空间进行可视化分析形状和大小。选择一组参数值，静平台半径=1.2 m，动平台半径=0.5 m,平行四边形的长边杆长=1 m，短边长=0.3 m，驱动副移动距离=1.2 m、垂直驱动距离=0.8 m。

由图5分析可得：机构工作空间形状均匀对称分布，且无空洞情况，沿着和的投影均为长方形，而沿着投影面类似于“三角形”，工作空间较大。

图5 2PPPa机构工作空间三维图

5 并联机构运动灵巧性分析

灵巧度是评价机构运动性能优劣的性能指标。采用极值法分析工作空间内不同位置下的运动灵巧度，通过图形可视化分析不同位置点的运动性能。图6为机构的灵巧度分布，图7是不同高度下工作空间内的灵巧度。

图6 可达工作空间的运动灵巧度分布

图7 不同高度下运动灵巧度分布

由图6、图7分析发现：机构灵巧度整体较大，工作空间中间区域最大可达0.7，工作空间边界区域的灵巧度较低；而且，随着的增加，运动灵巧度较高区域占整个截面面积比例增加。

6 并联机构优化

6.1 模型优化的建立和算法选择

在机构设计中，通常希望在满足约束条件前提下具有较大的工作空间。合理设置尺寸参数有利于提高机构的工作空间，因此，以工作空间体积作为目标函数， 建立数学优化模型Max{(,,,,)}如下：

(17)

针对上述非线性约束的数学优化模型问题，选择萤火虫算法进行参数优化。该算法根据模拟萤火虫的生活习性中闪光机制吸引、移动、合作行为来解决最优问题。萤火虫算法属于以自然为灵感的启发式优化算法。该算法是继遗产算法、粒子群等算法之后的新兴智能优化算法。优化过程中选择萤火虫数量=50、步长因子=02、吸收因子=1、最大迭代次数=50。

6.2 优化算例

根据上一节建立的数学优化模型和算法，采用MATLAB软件进行编程，根据萤火虫算法计算得到最佳目标函数值随进化代数变化曲线以及设计变量随迭代次数的变化。

由图8、图9分析可得：优化目标最大值为2.035 m，最优化对应的尺寸参数、、、、分别是0.9、0.8、1.2、1、1 m。优化所得体积较第4节中算例的工作空间体积增加了12%。基于此参数优化后的工作空间三维图如图10所示。

图8 最佳目标函数值随进化代数变化曲线 图9 设计变量随迭代次数的变化

分析图10可得：优化后的工作空间呈对称分布，且结构紧凑、边界光滑、无空洞,具有较好的工作能力，且优化后的工作空间显著改善，优化后机构操作性能提高12%。因此，也验证优化模型的可靠性以及算法的有效性。

图10 优化后的工作空间

7 结论

(1)提出一种较大工作空间的三维纯移动的2PPPa并联机构，机构构型简单，结构对称分布，可用于工业包装、分拣操作领域，具有较好的应用前景。

(2)根据方位特征方程分析2PPPa机构的拓扑结构特性，验证机构的运动特性和自由度数目。计算得到机构的自由度为3且能具有三维纯移动的运动特性。耦合度分析表明机构运动学较为简单且正解具有解析式。

(3)通过机构的结构特性建立机构的运动学方程，分别得到位置正解、逆解表达式，同时分析工作空间、奇异性、灵巧度等性能指标，分析结果表明：机构具有较大且连续的操作空间、运动灵巧度。

(4)基于萤火虫算法完成以最大化工作空间为目标的参数优化，结果表明：优化后机构操作性能提高12%，优化后对应的参数、、、、值分别为0.9、0.8、1.2、1、1 m。