高校奖学金分配模型构建及其应用研究

邓春远 邹世龙

(大连海事大学 信息科学技术学院，辽宁 大连 116026)

引言

奖学金作为引导、教育、激励学生成长成才的育人载体，其分配方案是高校学生资助工作中的重要环节和内容。而且奖学金的评定和发放与学生的切身利益密切相关，是高校资助管理工作的难点，也是学生关注的热点问题之一。奖学金在学校—院系、院系—年级、年级—专业等二级分配过程中，其数量、金额和类别的分配方案直接体现了学生工作的公平与公正。为了营造健康、积极、正向的学风文化和资助文化，使奖学金合理分配到各院系、年级和专业，科学的分配方法是高校学生工作管理者需要思考的重要问题。

国内学者针对奖学金分配或评定的研究，一方面主要集中在奖学金分配制度和政策、奖学金评定的公允性等方面的定性分析上，其中黄伟梳理抗战时期国家奖学金和其他奖学金的设置情况及申请程序，总结抗战时期高等教育奖学金的成效[1]。洪柳以研究生奖学金为研究视角，以美国科学基金会研究生国家奖学金为借鉴，提出我国研究生国家奖学金现有制度的改进和完善路径[2]。于忠海等人聚焦于奖学金评定制度，强调在奖学金评定过程中要重视以“尊重个体自由发展”为导向的关系正义公平观[3]。

另一方面集中在奖学金分配方案、奖学金评定机制、奖学金分配名额等方面的定量研究上。其中，刘星魁从日常表现和成绩表现两个维度(涵盖15个二级指标)建立奖学金评定体系，构建基于TOPSIS方法的奖学金优选评价模型[4]。贾志绚等人建立适合本学院的奖学金评定规则与评定模型，通过调查确定准则层的判断矩阵, 运用AHP法 (层次分析法) 确定准则层权重系数，最后根据排名情况确定奖学金分配方案[5]。

目前，国内学者在奖学金评定制度、奖学金评定指标体系、奖学金评定公平等定性分析方面的研究较为丰富和成熟，定量研究中学者更侧重于奖学金的评价模型选取、奖学金学生分配次序和奖学金评定系统研究，而考虑层级的奖学金分配方案的定量分析和实证研究较少。综合上述相关研究，为了实现各院系、各年级、各专业间奖学金分配席位的公平性，提出基于非线性整数规划的高校奖学金分配模型，从定性和定量两个维度丰富高校奖学金分配的理论研究和实践应用。

1 奖学金分配模型的构建

1.1 问题描述

一级单位由若干个二级单位构成，每个二级单位是相对独立的集体。在奖学金评定年度，一级单位将若干奖项类别、不同金额的奖学金名额，公平、公正、公开地分配至各二级单位。研究问题可以简述为：在已知一级单位各奖学金名额、类别、金额的情况下，研究一级单位如何向二级单位分配奖学金名额、类别、金额的方案问题，以此实现奖学金数量、金额公平分配的目的。

1.2 模型建立

1.2.1 模型假设

为构建高校奖学金分配模型，作出如下假设：一级单位的总人数以及各二级单位的人数已知；一级单位拥有的奖学金名额、类别和金额已知；同一名称下不同金额的奖学金视为不同类别的奖学金。

1.2.2 参数定义

奖学金类别的集合为Q，其中q∈Q；第q类奖学金的金额为Wq元；第q类奖学金的名额为Gq；二级单位的集合N，其中n∈N；第n个二级单位的人数为Cn。

1.2.3 过程变量

一级单位奖学金的金额总数为W元，一级单位奖学金的名额总数为G人，一级单位总人数为T人，第n个二级单位的理想状态下获得奖学金名额为Rn，第n个二级单位的理想状态下获得奖学金金额为Sn。第n个二级单位的实际状态下获得奖学金名额为R′n，第n个二级单位的实际状态下获得奖学金金额为S′n。

1.2.4 决策变量

分配至第n个二级单位的第q类奖学金的名额为Xnq。

1.2.5 目标函数

模型的目标函数为:

(1)

模型的约束条件为：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

0≤Xnq≤Gq(q∈Q，n∈N)

(11)

Xnq∈Z+

(12)

其中，式(1)为目标函数，考虑到理想分配方案与实际分配方案的差距，为方便求解以各二级单位名额分配和金额分配相对误差之和最小为优化目标；式(2)表示各二级单位分配的奖学金名额之和与一级单位奖学金名额的总数相等；式(3)表示每类奖学金名额之和与一级单位奖学金名额的总数相等；式(4)表示各二级单位分配的奖学金的金额总和与一级单位奖学金的金额总数相等；式(5)表示分配至二级每类奖学金的金额总和与一级单位奖学金的总数相等；式(6)表示一级单位人数与二级单位人数之和相等；式(7)为理想状态下二级单位分配的奖学金名额；式(8)为理想状态下二级单位分配的奖学金金额；式(9)为实际状态下二级单位分配的奖学金名额；式(10)为实际状态下二级单位分配的奖学金金额；式(11)和式(12)为变量的取值范围，定义变量为整数。

2 奖学金分配模型的应用

2.1 案例描述

以某学院2019年级2020—2021年度奖学金评定为例，该年级共有5个专业，每个专业人数分别是96、94、61、65、33人。该年级本年度具有奖学金金额总计178 500元，总名额84个，具体奖学金类别、名额、金额参数见表1。

表1 某学院2019级奖学金名额、类别一览表

续表1

表2 各专业理想状态下奖学金名额和金额配比情况

2.2 模型求解

奖学金在设立时一般以百、千为单位的数额，涉及的类别虽然较多，但是很多类别的奖学金在金额方面相同。由于模型为非线性整数规划模型，为了缩小模型的可行域，在求解过程中将算例中相同金额的奖学金类别进行合并简化处理，重塑算例的参数如表3所示,并通过Matlab2019b软件对算例进行求解。

表3 简化后奖学金名额、类别一览表

在进行求解之前，对数据进行预处理，将二维(5*5)变量转换为一维(1*25)变量。算例以学生工作实际中奖学金分配方案作为初值，如式(13)所示，为了尽可能得到附近邻域内的最优解，在确定数据区间后修改上下界参数，以此缩小搜索范围，将模型迭代直至求得邻域内最优解。

(13)

当b=0时，式(1)以名额绝对误差最小为目标函数，可求得最优解的个数具有非唯一性，以其中一个最优解为例，其分配矩阵如式(14)所示。其中，X11表示分配至第1个二级单位的第1类奖学金的名额为12，Xnq表示分配至第n个二级单位的第q类奖学金的名额。

(14)

当a=0时，式(1)以金额绝对误差最小为目标函数，求得最优解的矩阵如式(15)所示。

(15)

以式(1)为目标函数，设定不同a和b的参数值并对模型进行求解,当a和b的取值分别为0.03和0.97时，目标函数取得最小值,最终求得最优解的矩阵如式(16)所示。

(16)

2.3 应用分析

将三组方案的值与理想方案下的值进行比对，具体分配情况如表4所示。

表4 三种方案下奖学金分配情况对比

从结果比对中可以发现：

(1)奖学金席位分配方案存在多样性。

一般奖学金在设立时类别各不相同，但存在不同类别的奖学金金额是相同的，相同金额不同类别的奖学金的分配席位可以调换位置，而不会改变奖学金分配方案中数量和总额的值，这导致奖学金分配方案的解不具备唯一性。因此，在实际工作中，高校管理者、高校辅导员需要根据专业名称与奖学金名称匹配度、奖学金类别在各专业的席位均衡度等特点对方案进行主观干预和调整。

(2)奖学金金额分配总额具有唯一性。

将实际工作中奖学金分配方案的结果作为初始值，通过领域内空间搜索以获取初始解的优化结果。分别以奖学金名额相对误差最小、金额相对误差最小以及二者之和相对误差最小作为目标，在其邻域内搜索，获得三个不同目标下的局部最优解。通过解的空间可以发现，奖学金席位的分配方案的解具有多样性，但是在最优解下分配至二级单位的奖学金金额具有唯一性，这也充分说明奖学金主观分配的结果有可优化的空间。

(3)分配规则可决定奖学金分配方案。

三个优化目标表现了三种奖学金分配规则，每一个优化目标下的方案解各不相同。在名额相对误差最小的情况下，各个专业实际分配的奖学金总金额与理想状态下分配金额差别各不相同；在金额相对误差最小的情况下，各个专业分配奖学金名额同理想状态下分配名额亦有差别。同理，综合以上二者目标并赋予相应权重，其分配方案随参数变化而变化(如图1所示)。因此，奖学金分配规则直接决定奖学金分配方案，这也要求高校管理者、高校辅导员在分配奖学金时要权衡金额和名额间的分配。

图1 参数b波动情况下优化目标取值范围

3 结论

第一，高校奖学金分配方案应考虑并贴近学生思想政治教育规律和思想政治教育工作实际，应涵盖高校管理者、高校辅导员等主观因素和定量分析的客观因素，在一定程度上平衡奖学金分配的数量和金额。

第二，为了降低高校管理者、高校辅导员的主观判断，算例以辅导员主观分配的方案作为初始解，在其邻域内找到局域最优解，可以得到奖学金分配方案的满意解而并非全局最优解。

第三，通过模型和算例结果分析，奖学金分配方案具有多样性，作为高校管理者、高校辅导员，可以尝试在名额相对误差最优的目标下找到解空间，并遴选出奖学金金额相对误差最小的分配方案。