中华计算中的数学文化

童广鹏

(河南省民权县高级中学 476800)

中华民族在计算机未发明之前，谛造出诸多计算方法与工具，尤其是大衍无限的洛书、卓著非凡的筹算、玄奥神妙的笔算、博大精深的写算等，对推进国际计算发展影响深远．下面结合数学文化题举例浅析之．

1 古今大衍乃洛书

图1

例1

我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2,…,9填入3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，如图1所示．一般地，将连续的正整数1,2,3,…,

n

填入

n

×

n

个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做

n

阶幻方．记

n

阶幻方的数的和即方格内的所有数的和为

S

，如图三阶幻方记为

S

=45，那么

S

=( )．

A．3 321 B．361 C．99 D．33

解析 由题意知，故选A．

命题背景

作为华夏文化源头的《洛书》是中国古代人民在实践中运用古代数学、天文历法、阴阳五行来探索宇宙渊源和矩矱的智慧结晶，可谓是我国宇宙结构模型的鼻祖，在天人合一的文化范畴及履践中震古烁今、彪炳千古，应运而起的传统美学格致的作用更为深远．洛书中呈现的数的组合构成了正自然数范围内“满十进一”的十进制计数法规则的全集，为突显其卓著成效和萌芽时间进而称为加法进位规则集，研究此数理意义正是不同术数模型最精华、最深度的应用规则部分，充分彰显了洛书的内涵．洛书进位规则是处理两数相加有进位时的位间关系的，对应于珠算中用口诀“一上一、二上二……九上九”来处理，这是河图对应的术数方式，标志着加法的产生，加法相对于术数在便捷性、运算速度及记数范围上都有质的飞跃，洛书确是具有“大衍”功能的“大衍之数”．

2 问君能有几多“筹”

例2

《孙子算经》中对算筹计数法的描述是“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当……”，说明计数有纵、横两种形式，计数时为避免混淆将纵、横交错放置，以空位表示零.这是世界上最早的十进位值制计数体系，对世界数学的发展有划时代意义．图2为纵式计数形式，一竖表示1个单位，一横表示5个单位，例如三竖一横表示8．

图2

A．1 B．2 C．3 D．4

解析 正整数1～9中能构成等比数列的三个数一共有四组，分别是1，2，4；2，4，8；1，3，9；4，6，9．其中6，8，9的纵式计数形式中各有一横且9出现两次，共计4横．故选D．

命题背景

古代用算筹来进行计数和计算，以纵横两种排列方式来表示单位数目的算筹，其中1～5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6～9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．纤细、轻巧的算筹完成的运算庞大、繁复，不仅能计数，而且能计算;它能完成四则运算和开方，还能做特定的演算．由此，方能“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．

3 指尖珠算啧盛赞

例3

算盘是中国发明的一种手动操作计算辅助工具，迄今已有二千六百多年的历史．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》，2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图3，我国传统算盘每一档为两粒上珠、五粒下珠，也称为“七珠算盘”.未记数(或表示零)时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”.现有一种算盘(图3(1))共两档，自右向左分别表示个位和十位．档中横以梁，梁上一珠，拨下记作数字5，梁下四珠，上拨每珠记作数字1．现拔动算盘中两枚算珠，如图3(2)则表示51，如图3(3)则表示20．如果拨动图3(1)算盘中的三枚算珠，表示的整数超过24的概率为( )．

图3

解析 拨动三枚算珠，有如下12种可能：

若3枚算珠都在个位，则共有2种情况，分别是3和7；

当十位选梁下1枚算珠，个位2枚算珠时，共有2种情况，分别是12和16；

当十位选梁下2枚算珠，个位1枚算珠时，共有2种情况，分别是21和25；

当十位选梁上1枚算珠，个位2枚算珠时，共有2个整数，分别是52和56；

当十位选梁上1枚、梁下1枚算珠，个位1枚算珠时，共有2种情况，分别是61和65；

当十位选3枚算珠时，共有2种情况，分别是30和70.

综上所述，拨动三枚算珠，可能产生12种情况.其中满足整数超过24的，有7种情况：25,52,56,61,65,30,70，故整数超过24的概率为选C．

命题背景

被称为中国“第五大发明”的珠算是人类计算史上一颗永放光芒的明珠，为人类的进步和发展做出了巨大的、不可替代的伟大贡献．从历史上看，珠算是从筹算演变来的，筹算的数字表示方法也是在十进制中间加入一个单位5，作为表示数的一种方法．方方正正的算盘，噼噼啪啪的拨珠，稳稳当当的功效，却造就了不同凡响的数学技艺．

4 格子乘法看写算

图4

例4

写算，是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算，它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来的．例如计算89×61，将被乘数89计入上行，乘数61计入右行，然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图4，即得5 429．类比此法画出354×472的表格，若从表内的18个数字(含相同的数字，表周边数据不算在内)中任取1个数字，则这个数大于5的概率为( )．

图5

解析 画出354×472的表格，如图5所示，则表内不同的数有0,1,2,3,5,6,8，其中6与8各2个．从中任取1个，则这个数大于5的概率为故选C．

命题背景

写算为中国古算名．“写算”分“写乘”与“写除”两种．写乘，计算完成后犹如铺好的地板，所以程大位称“铺地锦”，系一种格子乘法．中国的“写乘”似从天元式的乘法演变而来，“写除”是程大位改进吴敬的“河图算法”而得来的．

上述几例阐释了洛书、算筹、算盘、写算等中华计算在古今世界科技文化征程中留下的不可磨灭的光辉印记，期待中华计算这颗明珠在数学发展史里永放光芒．