Hudson模型适用性及储层微观建模应用*

石志奇 刘振峰 陈天胜 李 超 何 晓 陈德华

(1 中国科学院声学研究所 声场声信息国家重点实验室 北京 100190)

(2 中国石油化工股份有限公司石油勘探开发研究院 北京 100083)

(3 中国科学院大学 北京 100049)

(4 北京市海洋深部钻探测量工程技术研究中心 北京 100190)

0 引言

裂缝型储层因具有孔隙结构复杂、流体充填状态不均匀、各向异性以及多组多尺度裂缝发育等特征，给裂缝的地震探测和表征研究工作带来许多困难。等效介质理论是研究复杂非均质各向异性储层的有效方法，其核心思想就是将复杂的非均质体等效为一个理想均质体，二者具有相同的物理性质。Hudson 模型将裂缝微观参数与宏观弹性参数联系起来，在裂缝地震探测和表征中得到广泛应用。

Hudson[1-2]在长波长近似和理想连续介质的假设条件下，针对稀疏、孤立分布的单组硬币状裂缝，基于散射理论提出了Hudson 模型，将裂缝介质的弹性模量等效为各向同性背景基质弹性模量与裂缝存在导致的弹性模量修正项之和，成功将裂缝微观性质(密度、纵横比)与地震宏观性质(弹性参数)联系起来；此后Hudson[3]采用平滑方法将模型推广至二阶裂缝密度，以扩大Hudson 模型适用范围。Hudson 模型以解析形式简单、考虑裂缝间的耦合作用和可以分析散射引起的地震波衰减效应等优点而得到了相关研究者的广泛应用。但是由于Hudson模型是建立在诸多假设条件上的，因此许多学者对其适用性进行了大量研究工作。Douma[4]、桂志先等[5]、韩开锋等[6]、镇晶晶等[7-8]分别开展了裂缝纵横比、充填物性质对模型适用性和波场传播特征影响的研究工作。Cheng[9]通过推导与模拟发现随裂缝密度增大，一阶模型弹性常数会出现负值，二阶模型的公式展开不收敛，违背了物理规律，表明Hudson 模型仅适用于低密度裂缝。Liu等[10]从弹性柔度角度出发对Hudson 模型进行了修正，使得Hudson 模型对于高裂缝密度也依然适用。宋永佳等[11]基于球形有效体的等效理论，推导出非均匀体定向排列的横向各向同性介质的有效弹性模量，该模型计算简便且具有二阶精度，同时避免了Hudson 二阶模型在高裂纹密度时不收敛的缺陷。许松等[12-13]将宋永佳等的模型推广至各向异性背景基质的情况，并将水力压裂地层的各向异性测量结果与理论预测结果进行对比，结果的一致性证实了该模型的有效性。

Hudson 模型以及其他学者建立的模型中裂缝之间彼此孤立分布，导致流体不能在其中相互流动，因此该模型是高频模型，不适用于低频条件。同时单独的裂缝模型难以表征矿物基质、流体等影响，为了兼顾含裂缝岩石多方面的物理性质，组合化的建模思路更加符合岩石的真实状况。Xu等[14]针对致密砂泥岩储层提出“基质-骨架-流体”三步走的组合化建模思路。Xu 等[15]沿用Xu-White 模型的建模思路将其应用于碳酸盐岩的岩石物理建模研究中。印兴耀等[16]应用Hudson二阶模型针对致密砂岩裂缝型储层提出一种岩石物理模型构建方法，分析了裂缝参数对纵横波速度的影响，经实际测井资料验证说明组合化方法的有效性。

为明确裂缝间的二次散射作用(即相互作用)对储层各向异性特征的影响，并考察模型应用中应考虑的临界裂缝密度，本文通过数值模拟分析了在干燥裂缝和含水裂缝两种情况下裂缝密度和倾角对Hudson 一阶模型和二阶模型的波场快照、有效弹性常数和各向异性参数的影响，然后基于组合化的建模思路进行等效介质模型构建，最后利用实际测井资料验证Hudson 一阶模型和二阶模型在裂缝型储层建模的应用效果。

1 Hudson模型及数值模拟分析

1.1 Hudson模型简介

Hudson 模型[1-3]在长波长近似和理想连续介质的假设条件下，针对彼此孤立且稀疏分布的硬币状裂缝，基于平均波场的散射理论推导出裂缝介质的等效弹性常数：

式(1)中：C0为各向同性背景基质的弹性模量，C1为裂缝存在而引起的一阶修正项，C2为裂缝之间的相互作用而引起的二阶修正项。其表达式分别为

式(2)中，λ,μ为各向同性背景基质的弹性模量。Ukl为散射算子，与裂缝本身的连通状态和充填状态有关。对于孤立的干燥裂缝，

1.2 各向异性参数

为了解裂缝存在而对各向异性特征的影响，本文利用Thomsen[17]提出的3 个无量纲的各向异性参数对裂缝诱导各向异性进行表征，Thomsen 系数将物理意义不直观的弹性常数进行组合，简化了相速度公式的表达式，参数表达式为

其中，ε表征纵波各向异性，γ表征横波各向异性，δ为纵波与横波之间的过渡参数。在弱各向异性介质中，采用3个各向异性参数和纵波速度横波速度便可将3 种波的相速度表达式简化为

1.3 数值模拟分析

为了解在干燥裂缝和含水裂缝两种情况下裂缝密度和裂缝充填状况对Hudson 一阶模型和二阶模型的地震波传播特征影响，建立了一个裂缝介质模型，x、z方向网格数为500×500，网格间距Δx= Δz= 2 m，震源采用集中力源，中心频率60 Hz，位于模型中心位置。裂缝在模型中水平排列分布，纵横比为0.001，裂缝介质模型的背景基质和流体相关参数引自文献[18]，如表1 所示。采用有限差分数值模拟方法，模拟地震波在裂缝介质中的传播，本文以0.1 s时的波场快照为例进行对比分析。

表1 裂缝介质模型参数取值Table 1 Parameters for the fracture medium model

当裂缝为干燥裂缝时，Hudson 一阶模型和二阶模型在裂缝密度分别为0.05、0.1、0.15、0.2时的波场快照如图1 所示。对于干燥裂缝，随着裂缝密度增大，准纵波和准SV波的各向异性逐渐增强，当裂缝密度大于0.1 时，一阶模型和二阶模型的波场快照差异变得明显，主要体现在一阶模型波场的各向异性明显强于二阶模型，表明裂缝之间的相互作用有降低准纵波、准SV波各向异性强度的作用。当裂缝密度为0.2时，一阶模型波场快照出现畸变。同时随着裂缝密度增大，准SV波能量增强。

当裂缝饱含水时，Hudson 一阶模型和二阶模型在裂缝密度分别为0.05、0.1、0.15、0.2时的波场快照如图2 所示。对于饱含水裂缝，随着裂缝密度增大，准纵波各向异性无明显变化，准SV波的能量和各向异性逐渐增强。对比一阶和二阶模型的波场快照，含水裂缝的一阶模型和二阶模型的波场快照无明显区别。

对比图1 和图2 可以分析充填流体对波场传播的影响。与干燥裂缝相比，裂缝含水时准纵波、准SV波的能量比裂缝为干燥裂缝时弱，同时准纵波各向异性减弱。

图1 Hudson 一阶、二阶模型的波场快照随干燥裂缝密度增大的变化情况Fig.1 Snapshots of the Hudson first-and second-order model with increasing density of dry fracture

图2 Hudson 一阶、二阶模型的波场快照随含水裂缝密度增大的变化情况Fig.2 Snapshots of the Hudson first-and second-order model with increasing density of saturated fracture

为进一步分析Hudson 一阶模型和二阶模型波场快照出现差异的原因，分别考虑裂缝密度和裂缝倾角对弹性常数和各向异性参数的影响，为后期裂缝储层微观建模明确应用条件。

由图3(a)可以看出，对于干燥裂缝，当裂缝密度小于0.1 时，一阶与二阶模型基本表现良好。当裂缝密度大于0.1 时，一阶模型和二阶模型的差异逐渐增大，一阶模型在裂缝密度接近0.2 时c33甚至会出现负值。需要得到特别注意的是，虽然二阶模型在一定程度上扩展了裂缝密度的适用范围，但是在裂缝密度较大时弹性系数随裂缝密度增大不减反增，即二阶展开并不收敛，违背了物理规律，在这种情况下只使用一阶更正比不恰当地使用二阶更正效果更好。同时，二阶模型的各向异性参数低于一阶模型的各向异性参数，这是由于二阶模型考虑了裂缝之间的相互作用，表明裂缝之间的相互作用会降低裂缝介质的各向异性程度；图3(b)显示出对于含水裂缝，Hudson 模型适用的裂缝密度更大。

图3 Hudson 一阶、二阶模型的弹性常数和Thomsen 系数随裂缝密度增大的变化情况Fig.3 Elastic modules and Thomsen coefficients with increasing fracture density for Hudson first-and second-order models

地下裂缝的发育方向各不相同，因此考虑裂缝倾角变化对有效弹性模量和各向异性参数的影响是十分必要的。图4 显示了裂缝倾角对有效弹性模量和各向异性参数的影响。由图可知，随裂缝倾角增大，弹性常数c33、c44增大，即纵横波速度随裂缝倾角增大而增大；纵波速度对裂缝倾角更为敏感，尤其是中低角度的干燥裂缝，c33随倾角增大而显著增大，且一阶和二阶模型有较大的差异，说明对于中低角度的干燥裂缝，裂缝之间的相互作用较大，不可忽略。一阶模型和二阶模型的各向异性参数在裂缝含水时基本没有差异，但对于干燥裂缝，二阶模型的各向异性参数较低，裂缝之间的相互作用降低了裂缝介质的各向异性程度。

图4 Hudson 一阶、二阶模型的弹性常数和Thomsen 系数随裂缝倾角增大的变化情况Fig.4 Elastic modules and Thomsen coefficients with increasing fracture dip for Hudson first-and second-order models

根据以上理论分析可知，Hudson 模型适用于低裂缝密度的储层，当裂缝密度增大时，尤其是干裂缝，一阶和二阶会出现差异，裂缝之间的相互作用不可忽略。另外Hudson 模型适用于高频的实验室条件，为避免其局限性并兼顾储层多方面的物理性质，下文将Hudson 模型与其他模型相结合进行组合化建模，使模型更接近实际情况。

2 组合化建模

本文使用“基质-骨架-流体”组合化的建模思路，根据矿物的体积含量和弹性参数利用VRH 模型估算基质的弹性模量，利用KT、Hudson 模型依次加入孔隙和裂缝求得干骨架的弹性模量，最后利用BK 模型计算饱和岩石的弹性模量。裂缝等效模型建模流程如图5 所示，具体建模过程中所应用的模型如下。

图5 裂缝型储层岩石物理建模流程图Fig.5 Schematic view of rock physics model for fractured reservoir

2.1 VRH模型

根据岩石矿物组成成分的体积含量及弹性模量，忽略岩石内部连接的几何细节的情况下，利用VRH 模型[19]估算固体基质弹性模量。VRH 模型表示为

其中，

式(8)中，fi、Mi分别为第i种矿物的体积含量和弹性含量；MV、MR分别为Voigt 界限和Reuss 界限，MVRH为二者的算术平均。

2.2 KT模型

真实的岩石骨架结构包含着孔隙和裂缝两种孔隙空间，分别利用KT模型和Hudson模型添加孔隙和裂缝构建干岩石骨架并计算弹性模量。Kuster-Toksöz理论[20]给出了其等效模量的计算表达式为

其中，

式(10)中，Km、μm分别为背景基质的体积模量和剪切模量；xi为第i种包含物的体积含量；Pmi、Qmi为第i种包含物的形状参数，不同形状包含物的参数可参见Berryman[21]。

2.3 BK 模型

利用适用于各向异性条件下的BK 模型添加混合流体计算饱和岩石的弹性模量。该模型是由Brown 等[22]对各向同性的Gassmann 公式的推广。将饱和各向异性岩石的刚度矩阵表示为干燥各向异性岩石的刚度矩阵与因饱含流体而产生附加修正项之和，表达式为

3 实际资料应用

选取某地区一口井的实际测井资料，利用图5所示的裂缝型储层建模流程以及第2 节所介绍的模型构建裂缝储层等效岩石物理模型，以分析利用Hudson 模型在微观储层建模中的适用条件。岩石矿物的弹性参数参照岩石物理手册[24]中相关数据，如表2所示。

表2 矿物及流体的弹性模量[24]Table 2 Elastic modules of minerals and fluids[24]

从图6 可以看出，当裂缝密度小于0.1 时，应用一阶模型和二阶模型的模拟结果均可与实测数据取得良好的拟合效果。当裂缝密度大于0.1 的层段，二阶模型比一阶模型拟合效果好，说明二阶模型适用的裂缝密度范围更大，但是二阶模型的应用效果也不理想；与此同时，裂缝倾角对纵横波影响也较大，在裂缝发育程度高、倾角变化范围大的层段，如4869～4873 m，纵波速度比横波速度变化更剧烈，说明纵波速度对裂缝倾角更为敏感，因此利用纵波来进行裂缝勘探与识别比横波更具优势。二阶模型全段的纵波和横波平均误差分别为4.45%、5.38%，均在可接受的范围内。

图6 Hudson 一阶、二阶模型的微观建模结果对比Fig.6 Comparison of microscopic modeling results of Hudson first-and second-order models

影响储层微观建模效果的因素可能有：(1)微观储层建模过程中采用的矿物和流体的弹性常数是根据以往工作获得的经验值，不同层段和地区的经验值存在差异；测井资料的采集质量以及裂缝孔隙度、总孔隙度、饱和度等参数解释的准确程度影响着模拟的实际效果。(2)测井曲线是复杂储层探测范围内的综合响应，而裂缝密度、倾角、方位角等参数是通过成像资料获取，反映的仅是井壁附近裂缝的性质，两种测井方法之间存在的探测范围和分辨率差异使得实测资料与模拟结果有所差异。(3)裂缝纵横比参数获取难度大，数据量小，通过已有数据的拟合只能反映大致趋势。

4 结论与认识

(1)Hudson 模型将裂缝参数与弹性参数联系起来，为分析不同性质裂缝的地球物理响应架起了桥梁。其适用条件为高频条件下的低裂缝密度、小纵横比的裂缝储层，同时二阶模型适用的裂缝密度范围比一阶模型大，裂缝密度在0.2 左右时，二阶模型在干燥裂缝情况下会出现不收敛的现象，违背物理规律，因此应用时需谨慎使用。纵横波速度随裂缝倾角增大而增大，纵波速度对裂缝倾角更为敏感。

(2)单一岩石物理模型具有局限性，且难以表征和刻画复杂的裂缝型储层多方面物理性质，组合化的建模方法则克服了这一缺点，避免了各个岩石物理模型的局限性，对于复杂裂缝储层建模是一种行之有效的方法。

(3)应用实际测井资料对Hudson一阶、二阶模型模拟结果进行验证，裂缝密度大于0.1 时二阶模型模拟结果优于一阶模型，表明在高裂缝密度储层考虑裂缝之间的相互作用是必要的。