梯度调整机制下量子Cournot模型的动力学分析

朱 唯 唯

(兰州交通大学 数理学院， 甘肃 兰州 730070)

20世纪末，量子博弈论[1]的出现形成了量子信息和量子计算的一个新的应用领域，为经济学的研究提供了新的思路和方法。量子博弈论是由Meyer最早提出的，他利用“翻硬币”实验指出两个玩家在进行博弈的时候，实施量子策略的那个人会一直保持赢的状态。Eisert等[2]在“囚徒困境”游戏中发现，玩家采取量子策略会使得模型出现新的平衡点。2002年，李卉等[3]首次把量子纠缠引入到连续策略空间的经典Cournot寡头博弈中，通过Hilbert空间把每一个经典策略都去对应某一个量子态，提出了经典的Li-Du-Massar量子计划，表明量子纠缠可以使得非合作的企业变成合作关系，企业在纳什均衡点所取得的利润会随着量子纠缠水平的提高而提高。量子博弈也被广泛应用于其他经典经济模型的研究，Shi等[4]研究了在等弹性需求函数下的量子Cournot模型，主要借助理论知识分析了在Li-Du-Massar量子计划和Frackiewicz量子计划下企业的利润变化；Zhou等[5]研究了多个玩家的古诺博弈模型，表明量子纠缠会使得玩家的利润将达到最优；Frackiewicz[6]利用Li-Du-Massar量子计划说明了企业之间的量子相关性会扩大Stackelberg双寡头模型中的先动优势。

上述研究都是静态经济博弈模型，静态模型只是一种瞬时状态，不能反映企业战略随时间变化的过程。在动态的经济博弈中，企业的管理者很难收集到对手以及市场有用的全部信息，不能做出完全理性的决策。在这种市场情况的限制之下，很多学者在经济模型中会假设企业是有限理性的，并且对于企业来说考虑有限理性是具备优势的。Agiza等[7]发现使用时滞有限理性的企业有更高的机会达到纳什均衡。Elsadany[8]通过理论与数值结合的方法研究其模型的平衡点及稳定性，说明了系统会通过双路径分岔进入混沌。路正玉等[9-10]假设企业决策制定者都是有理性的，通过理论和数值的方法研究了所建立模型的稳定性以及动力学特征。朱彦兰等[11-12]研究了有限理性下的动态经济模型。田英楠等[13]在量子背景下考虑了具有异质理性期望的Cournot模型。

本文假设企业都选择梯度调整机制，建立了有限理性下量子Cournot双寡头动态博弈模型，研究Nash均衡点处的局部稳定性以及分岔导致的混沌行为，讨论在不同参数之下企业量子决策的演化过程。

1 模型的建立

考虑一个双寡头古诺博弈模型，具体来说，假设目前市场上存在生产同一种产品的两家企业，它们以这种产品每期的产量进行竞争。此外，假设这种商品在t时期的市场价格和产量之间符合线性关系

p=a-b(q1(t)+q2(t))

(1)

式中：q1(t)，q2(t)表示t时期企业1和企业2的产量；a，b都为常数且都大于0。假设用线性函数来表示单位成本与产量之间的关系：

Ci=ciqi,i=1,2

(2)

式中：ci表示单位成本，且a>ci>0。则公司i的单期利润可表示为

∏i(q1,q2)=pqi-Ci,i=1,2

(3)

(4)

(5)

式中：x1>0和x2>0分别表示企业1和企业2的量子决策。

在得到关于市场的基本参数表达式后，把式(4)和式(5)代入式(3)中得到两家企业的量子利润：

(6)

再将企业1和企业2的利润函数对x1和x2分别求偏导，得出企业1和企业2的边际利润为

(7)

假设每家企业并不完全了解市场需求，只能通过对边际利润的估计来对市场做出反应。企业根据局部利润做出决策的方法可以表示为

(8)

式中：αi(qi)为大于0的函数。如果αi(qi)=viqi，i=1,2，就可以得到差分方程

(9)

(10)

式中：vi为企业i的调整速度。

2 平衡点的局部稳定性

令xi(t+1)=xi(t)，则系统(10)的平衡点可以通过求解下面代数方程组得到

(11)

下面4个点都为系统(10)的平衡点

为了使得平衡点有经济意义，E0，E1，E2，E*必须满足非负性，因此参数要满足

(12)

对系统(10)的两个方程分别求x1和x2偏导数可得出其雅可比矩阵为

(13)

利用雅可比矩阵(13)求解平衡点处的特征值，从而分析得出与平衡点相关的局部性质。

命题1E0=(0,0)为不稳定结点。

证明：雅克比矩阵(13)在E0处为

(14)

证明：矩阵(13)在E1处为

(15)

证明：由于E1和E2在实数平面R2关于对角线对称，两个平衡点有着相似的局部性质，因此对命题3的证明过程不再赘述。

从经济学的角度来说，E0表示两家企业的产量都为0，说明两家企业已经走向破产。E1和E2表示其中一家公司的产量为0，说明市场中剩下的那家企业对商品进行了垄断。纳什均衡点E*是每家企业为了达到利益最大化形成的一种非合作的博弈策略组合，保持持续的稳定会有利于企业利润的增加。由平衡点的表达式不难发现，E*的表达式相比其他平衡点比较复杂，这种情况下，继续利用求取特征值的方法判别其局部稳定性比较困难，利用Jury判据来具体分析E*的局部稳定性。

命题4：均衡点E*是局部渐进稳定的，当且仅当下面的参数条件成立。

(16)

式中：A=c1-c2，B=2c1-c2-a，C=2c2-c1-a，D=a-c1，E=a-c2。

则矩阵J(E*)的特征多项式可表示为

F(λ)=λ2-Tr[J(E*)]λ+Det[J(E*)]=0

(17)

其中：Tr[J(E*)]为J(E*)的迹，J(E*)为J(E*)的行列式。

利用上面给出的表达式，Jury判据就可以写成下面3个不等式

(1)F(1)=1-Tr[J(E*)]+Det[J(E*)]>0；

(2)F(-1)=1+Tr[J(E*)]+Det[J(E*)]>0；

(3)Det[J(E*)]-1<0。

式中：F=a-c1-c2;H=c1c2。

只有当系统(10)的参数同时满足Jury判据的3个条件时，系统在点E*处才会是稳定的。只要参数不满足其中一个条件，系统就会通过某种分岔由稳态进入不稳定态。

3 数值模拟

利用雅可比矩阵特征值和1之间的关系以及Jury判据的3个充分条件，研究了4个平衡点的局部稳定性。参数只有在Jury判据所确定参数空间的局部区域内取值时，点E*才会是稳定的。理论分析提供了平衡点稳定与否的条件，在平衡点失去稳定性后的动力学行为可以用数值模拟来做进一步分析。

图1中右侧的颜色分布图依次代29个不同周期，黑色代表超过30的周期，白色代表系统在经过无数次迭代后收敛到无穷远处而形成逃逸轨迹。位于参数空间(γ,c1)右下角的棕绿色区域表示纳什均衡点的稳定域，它是一个一条边弯曲的三角形，从图中可以看出稳定域的大小受参数v2所影响。对于单位成本c1或者量子纠缠度γ，固定其中一个参数，另外一个参数总是会影响系统的动力学行为。纠缠度和单位成本的取值对于系统稳定性的影响是相反的。具体来说，较低的成本对于企业之间更有竞争力，并且企业之间的纠缠度越高市场可能越稳定。

(a)v2=0.572 (b)v2=0.75 图1 关于γ和c1的双参图

图2(a)展示出系统失去稳定性只能通过flip分岔这一种方式。图2(b)是图2(a)在区域[0.5,1.5]×[0.5,1.5]的放大图，在图中可以观察到有V形的周期岛屿嵌入到黑色指示的拟周期区域，这些周期岛屿就是Arnol’s舌。企业1和企业2的量子策略随着v1的变化趋势如图2(c)所示，其中v2=0.752，其余参数与图2(a)中的参数相同。从图中可以发现随着v1的增加企业1和企业2的量子策略先处于纳什均衡稳定态，经历一系列flip分岔序列最终进入混沌态。图2(d)是对应图2(c)的一维最大Lyapunov指数图。在这组参数之下Lyapunov指数图等于0处对应系统发生的第一次flip分岔、第二次flip分岔等。可以发现在系统进入混沌之后Lyapunov指数的值会再次小于0，这说明系统在进入混沌之后会再次进入周期态。单参图、双参图都说明调整速度取值越大，系统越不稳定，所以在实际的市场环境中调整速度不能超过其阙值，否则市场将进入不确定的混乱状态。

(a)关于v1和v1的双参图 (b)区域[0.5,1.5]×[0.5,1.5]放大图

(c)单参图 (d)最大Lyapunov指数图图2 调整速度对量子策略的作用

图3展现了关于企业1调整速度的一维分岔图。从图3(a)中可以发现企业的量子策略在通过分岔进入混沌之后会再次进入稳定的周期7环，通过分岔形成7种“周期泡”，意味着企业的量子策略会经历震荡稳定的状态。图3(c)中企业的量子策略进入混沌状态之后会进入稳定的周期5环，经历flip分岔进入混沌。观察图3(a)和图3(c)发现较大的调整速度使得企业的量子策略先发生分岔进入不稳定态。图3(a)和图3(c)中γ的取值为0.342 2，图3(b)和图3(d)中γ的取值为0.43，与图3(a)和图3(c)相比，在图3(b)和图3(d)中企业的量子策略会先从稳定态分岔进入不稳定态。说明在这组参数下，随着量子纠缠γ的增加，系统越不稳定，出现分岔的可能性越大。

(a)v2=0.53，γ=0.342 2 (b)v2=0.53，γ=0.43

(c)v2=0.65，γ=0.342 2 (d)v2=0.65，γ=0.43图3 单参图

图4展示了向内吸引的焦点演化为混沌吸引子的动力学过程。图4(a)中系统经过多次演化最终的状态为向内吸引的5周期焦点。随着参数v1的演化，5周期焦点通过Neimark-Saker演化成为5个闭不变环。当v1增加到1.247时，5个闭不变环会破裂形成周期态,也就是“锁相”，其形状没有发生变化。当v1的值增加为1.25时，吸引子重组将最终演化成为图4(d)中“梭”状的混沌吸引子。演化过程可以得出系统会通过Neimark-Saker分岔会最终进入混沌态。

(a)v1=1.245 (b)v1=1.247

(c)v1=1.247 (d)v1=1.25图4 一组吸引子的演化

在非线性动力系统中选定不同的几个初值，系统会收敛于几个不同的解，出现多稳态运动，说明初值选择对于系统迭代行为轨迹有着极其重要的影响。把v1的值固定在图5(a)中虚线v1=1.377附近，选取与图4不同的初值，观察其吸引子共存的现象。图6中黄色区域表示系统收敛到黑色吸引子的初值集合，蓝色区域表示系统收敛到红色吸引子的初值集合，绿色区域表示系统收敛到无穷的初值集合。图5(a)中发现若初值选取在黄色区域，系统的轨迹会收敛到黑色的8周期吸引子；初值选取在蓝色区域，系统的迭代轨迹会收敛到红色的6周期吸引子。随着v1的增加，选取在黄色区域和蓝色区域的初值都会分别收敛到图5(b)中的黑色和红色的混沌吸引子。此外，系统由图5(a)演化到图5(b)黄色区域和蓝色区域都在逐渐增大。

(a)v1=1.376 (b)v1=1.384图5 共存吸引子及其吸引盆

4 结 语

通过引入量子纠缠使得企业由独立竞争变成相互合作，在这种背景下假设两家企业都选择梯度调整机制来制定双方的量子决策，建立了梯度调整机制下量子寡头动态博弈的模型。企业的调整速度会通过影响进入混沌的方式来影响系统的动力学行为；拥有较低成本的企业所具有的市场竞争优势越大；量子纠缠对于控制系统的稳定性有着重要的影响，这种影响取决于对参数的选择。此外，系统在演化的过程中所呈现出特殊的动力学行为包括：Arnol’s舌、多稳态运动、flip分岔、Neimark-Saker分岔。