跳扩散市场环境下有红利支付的商期权定价

程鹏翔，李志民，何瑞彬，侯婷婷

(安徽工程大学 数理与金融学院，安徽 芜湖 241000)

目前全球金融市场中有着大量的金融衍生品，如何对金融衍生品合理定价一直以来都是一个重要问题。在传统的布莱克-斯科尔斯期权定价模型中，通常会假设资产的价格服从Geometric-Brown运动，再运用偏微分方程方法或者鞅方法来对期权进行定价，得到欧式期权的解析定价公式[1]。杜雪樵等[2]通过对随机微分方程进行解析，利用测度变化方法和鞅方法得到期权的解析定价表达式。随着学者们的研究发现，模型中资产价格的波动项是服从尖峰厚尾分布的，同时标的资产价格存在着长记忆性。

由于期权中的资产价格在到期日之前并不平稳，会有波动和跳跃，因此研究带跳过程的期权定价问题逐渐引起学者们的注意。Merton[8]通过研究正态跳扩散模型，给出了带跳的欧式期权定价。钱晓松[9]利用偏微分方程方法将亚式期权的定价问题转化为方程的求解问题。张凯华[10]给出了随机红利在服从跳过程情况下的三类期权定价公式。杨晓琳等[11]研究了跳扩散环境下的商期权定价问题。随着金融衍生品定价问题的不断完善，考虑资产支付红利的情况也越来越多，红利的支付在定价中不可忽视。彭勃等[12]研究了考虑股票支付红利的跳扩散模型下欧式看涨期权定价。沙庆宝[13]推导出了在分数布朗运动中，股票支付红利的最值期权的定价公式。

本文主要在杨晓琳[11]所研究内容的基础上，对跳扩散模型进行扩展，提出分数跳扩散模型，并且股票存在红利的支付，研究分数跳扩散模型下有红利支付的商期权定价。

1 跳扩散模型下有红利支付的商期权定价

商期权又称为比率期权，它是以两个资产的比率来做标的物的期权，与其他期权相比，商期权可推导出解析定价公式，这是商期权的独特优势。同时商期权是比率作为标的物的期权，因此具有名义价值，我们需要提前设定票面数量，与商期权价格相乘可以得到总的价格。

假设商期权中两个资产价格服从：

(1)

式中,μi、qi、σi为常数，μi为资产的期望收益率，qi为红利率，σi为波动率。B1(t)与B2(t)都为一维的布朗运动，且其相关系数为ρ；G1与G2为S1(t)和S2(t)发生跳跃时的跳跃比率，当跳跃发生时，S1(t)变为G1S1(t)，S2(t)变为G2S2(t)；w1(t)和w2(t)为两个标的资产价格发生跳跃的次数。令w1(t)与w2(t)是服从跳跃强度为λi的Poison过程，即在区间(t,t+dt)上，标的资产价格发生跳跃的概率为λidt。

(2)

对上式从0到t进行积分可得式(2)，引理1得证。

(3)

(4)

(5)

从而有

(6)

故由上式可得

由以上证明可知定理1成立。

2 分数布朗运动下有红利支付的商期权定价

本节中，我们考虑跳扩散过程中，当积分项为分数布朗运动的商期权定价问题。首先给出分数布朗运动的概念。若过程BH(t)是高斯过程，且满足下列性质：

①E[BH(t)]=BH(0)=0,t>0,

那么称此随机过程BH(t)为分数布朗运动，其Hurst指数H∈(0,1)。

(7)

(8)

(9)

对式(9)从0到t进行积分可得到式(8)，即引理2得证。

(10)

(11)

注意到

I1-I2。

(12)

进一步进行整理可得，

(13)

从而由上式可以得到

由以上可以证明定理2成立。